APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
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APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


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pode ser interpretada como sendo a área da região R1 menos a área da
região R2, onde R1 é a região retangular limitada pelas curvas y = g(x), y = 0, x = \u22123 e
x\u2212 0 e R2 é a região limitada pelas curvas y = f(x), y = 0, x = \u22123 e x\u2212 0.
Área de R1 : AR1 =
\u222b 0
\u22123
9dx = 9[0 \u2212 (\u22123)] = 27u.a. (usando as propriedades de integral
de\ufffdnida).
Área de R2 : Os retângulos inscritos na região R2 estão representados na Figura 1.13. A área
Figura 1.13: Soma inferior da região R2 com 7 retângulos
de R2 é dada por AR2 =
\u222b 0
\u22123
x2dx usando somas de áreas de retângulos inscritos tomamos
uma partição P = {x0, x1, x2, · · · , xn} do intervalo [\u22123, 0], de tal forma que todos os subin-
tervalos de P possuam o mesmo diâmetro, isto é, \u2206x = \u2206x1 = \u2206x2 = ... = \u2206xn. Portanto,
temos que a base de cada um dos retângulos é dada por \u2206x =
0\u2212 (\u22123)
n
=
3
n
e assim
podemos atribuir valores para cada xi \u2208 P como sendo
x0 = \u22123, x1 = \u22123 + \u2206x, x2 = \u22123 + 2\u2206x, · · · , xn = \u22123 + n\u2206x.
Agora vamos determinar as alturas dos retângulos inscritos. Como neste exemplo temos uma
função decrescente, cada retângulo inscrito atinge sua altura no ponto xi, i = 1, 2, · · · , n,
ou seja, a altura de cada retângulo é g(xi) = x
2
i . Assim, a soma de Riemann de g relativa a
partição P e com as alturas de\ufffdnidas é dada por
S(g, P ) =
n\u2211
i=1
g(xi)\u2206x =
n\u2211
i=1
x2i\u2206x = (x
2
1 + x
2
2 + · · ·+ x2n)\u2206x
= [(\u22123 + \u2206x)2 + (\u22123 + \u2206x)2 + · · ·+ (\u22123 + \u2206x)2]\u2206x
=
[(
9\u2212 6\u2206x+ (\u2206x)2)+ (9\u2212 6 · 2\u2206x+ (2\u2206x)2)+ · · ·+ (9\u2212 6 · n\u2206x+ (n\u2206x)2)]\u2206x
= 9n\u2206x\u2212 6(\u2206x)2(1 + 2 + · · ·+ n) + (\u2206x)3(12 + 22 + · · ·+ n2)
= 27\u2212 54
n2
n(n+ 1)
2
+
27
n3
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
= 27\u2212 27
(
1 +
1
n
)
+
9
2
(
2 +
3
n
+
1
n2
)
= 9 +
27
2n
+
9
2n2
14
Portanto, usando retângulos inscritos obtemos que
AR2 = lim
n\u2192+\u221e
(
9 +
27
2n
+
9
2n2
)
= 9u.a..
Logo, a área da região R é
AR = AR1 \u2212 AR2 = 27\u2212 9 = 18u.a..
EXEMPLO 1.5.9 Utilize soma de áreas de retângulos inscritos para calcular
\u222b 4
0
(\u2212x2 \u2212 1)dx.
Solução: O grá\ufffdco de f(x) = \u2212x2 \u2212 1 e os retângulos inscritos na região de integração R
da integral desejada estão representados na Figura 1.14.
Figura 1.14: Retângulos inscritos na região R
Para calcular
\u222b 4
0
(\u2212x2 \u2212 1)dx usando somas de áreas de retângulos inscritos tomamos uma
partição P = {x0, x1, x2, · · · , xn} do intervalo [0, 4], de tal forma que todos os subintervalos
de P possuam o mesmo diâmetro, isto é, \u2206x = \u2206x1 = \u2206x2 = ... = \u2206xn. Portanto, temos
que a base de cada um dos retângulos é dada por \u2206x = 4\u2212(0)
n
= 4
n
e assim podemos atribuir
valores para cada xi \u2208 P como sendo
x0 = 0, x1 = \u2206x, x2 = 2\u2206x, · · · , xn = n\u2206x.
Agora vamos determinar as alturas dos retângulos inscritos. Como neste exemplo temos
uma função decrescente e negativa, cada retângulo inscrito atinge sua altura no ponto xi\u22121,
i = 1, 2, · · · , n, ou seja, a altura de cada retângulo é f(xi\u22121). Assim, a soma de Riemann de
15
f relativa a partição P e com as alturas de\ufffdnidas é dada por
S(f, P ) =
n\u2211
i=1
f(xi\u22121)\u2206x
= [f(x0) + f(x1) + f(x2) + · · · f(xn\u2212i)]\u2206x
=
{\u22121 + [\u2212(\u2206x)2 \u2212 1] + [\u2212(2\u2206x)2 \u2212 1] + · · ·+ [\u2212((n\u2212 1)\u2206x)2 \u2212 1]}\u2206x
= \u2212n\u2206x\u2212 [12 + 22 + · · ·+ (n\u2212 1)2](\u2206x)3
= \u2212n · 4
n
\u2212 (n\u2212 1)n(2n\u2212 1)
6
·
(
4
n
)3
= \u22124\u2212 32(2n
2 \u2212 3n+ 1)
3n2
= \u22124\u2212 64
3
+
32
n
\u2212 32
3n2
Portanto, usando áreas de retângulos inscritos obtemos que\u222b 4
0
(\u2212x2 \u2212 1)dx = lim
n\u2192+\u221e
(
\u221276
3
+
32
n
\u2212 32
3n2
)
= \u221276
3
.
1.5.10 Teorema do Valor Médio para Integrais
TEOREMA 1.5.11 Se f : [a, b]\u2192 R é contínua, então existe c \u2208 [a, b] tal que
\u222b b
a
f (x) dx =
f (c) (b\u2212 a).
EXEMPLO 1.5.12 No Exemplo 1.5.4 obtemos que
\u222b 4
0
(x2 + 1)dx =
76
3
. Determine, se existir,
um número que satisfaça o teorema do valor médio para esta integral.
Solução: Como f(x) = x2+1 é uma função contínua no intervalo [0, 4] o Teorema do Valor
Médio para Integrais garante que existe c \u2208 (0, 4) de modo que\u222b 4
0
(x2 + 1)dx = f(c)(4\u2212 0).
Assim,
c2 + 1 =
76
4 · 3 \u21d2 c
2 =
16
3
\u21d2 c = ±4
\u221a
3
3
.
Observe que c = \u22124
\u221a
3
3
não está no intervalo que procuramos a solução. Portanto, c =
4
\u221a
3
3
satisfaz a conclusão do Teorema 1.5.11.
O Teorema do Valor Médio para Integrais tem uma interpretação geométrica interessante
se f(x) \u2265 0 em [a, b]. Neste caso
\u222b b
a
f(x)dx é a área sob o grá\ufffdco de f de a até b, e o número
f(c) do Teorema 1.5.11 é a ordenada do ponto P do grá\ufffdco de f com abscissa c (veja a
Figura 1.15) Traçando-se uma reta horizontal por P a área da região retangular limitada
por essa reta, pelo eixo x e pelas reta x = a e x = b é f(c)(b\u2212a) e que, pelo Teorema 1.5.11,
é a mesma que a área sob o grá\ufffdco de f de a até b.
OBSERVAÇÃO 1.5.13 O número c do Teorema 1.5.11 não é necessariamente único. De fato,
se f for uma função constante então qualquer número c pode ser utilizado.
OBSERVAÇÃO 1.5.14 O número
1
b\u2212 a
\u222b b
a
f(x)dx é dito valor médio de f em [a, b].
16
y
xca b
P(c, f(c))
y=f(x)
Figura 1.15: Interpretação geométrica do Teorema 1.5.11
1.6 Teorema Fundamental do Cálculo
Seja f : [a, b]\u2192 R uma função contínua integrável. Vamos \ufffdxar o limite inferior a e variar
o limite superior. De\ufffdniremos a função
F (x) =
\u222b x
a
f (t) dt \u2200x \u2208 [a, b].
Caso f (t) seja sempre positiva, então F (x) será numericamente igual a área do trapezóide
curvilíneo da Figura 1.16.
y
x
f(x)
a x x+ x
F(x)
F(x+ x)
Figura 1.16: Representação geométrica de F (x)
TEOREMA 1.6.1 Seja f : [a, b] \u2192 R uma função contínua no intervalo [a, b], então a
função F (x) =
\u222b x
a
f (t) dt é uma primitiva da função f , ou seja, F \u2032 (x) = f (x).
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DEMONSTRAÇÃO: Utilizando a de\ufffdnição de derivada, temos que
F \u2032 (x) = lim
\u2206x\u21920
F (x+\u2206x)\u2212 F (x)
\u2206x
= lim
\u2206x\u21920
1
\u2206x
[\u222b x+\u2206x
a
f (t) dt\u2212
\u222b x
a
f (t) dt
]
= lim
\u2206x\u21920
1
\u2206x
[\u222b x
a
f (t) dt+
\u222b x+\u2206x
x
f (t) dt\u2212
\u222b x
a
f (t) dt
]
= lim
\u2206x\u21920
1
\u2206x
\u222b x+\u2206x
x
f (t) dt,
porém, pelo Teorema 1.5.11, sabemos que existe c \u2208 [x, x+\u2206x] tal que\u222b x+\u2206x
x
f (t) dt = f (c) (x+\u2206x\u2212 x) = f(c)\u2206x
e portanto
F \u2032 (x) = lim
\u2206x\u21920
f (c)
quando \u2206x \u2192 0 temos que c \u2192 x como f é contínua, obtemos que f (c) \u2192 f(x) e assim
\ufffdca demonstrado que
F \u2032 (x) = lim
\u2206x\u21920
F (x+\u2206x)\u2212 F (x)
\u2206x
= f (x) .
Uma consequência desse teorema é o corolário que segue:
COROLÁRIO 1.6.2 Se f : [a, b]\u2192 R for contínua no intervalo [a, b], então F : [a, b]\u2192 R é
derivável em (a, b) e F \u2032 (x) = f (x) .
A função F : [a, b]\u2192 R, de\ufffdnida acima, é denominada primitiva de f : [a, b]\u2192 R e pelo
Teorema 1.6.1 toda função contínua num intervalo [a, b] possui primitiva em [a, b].
TEOREMA 1.6.3 Se f : [a, b]\u2192 R for contínua em [a, b] , então\u222b b
a
f(x)dx = G(b)\u2212G(a)
onde G é qualquer primitiva de f, isto é, uma função tal que G\u2032 = f.
DEMONSTRAÇÃO: Seja F (x) =
\u222b x
a
f(t)dt. Pelo Teorema 1.6.1 sabemos que F \u2032(x) = f(x),
isto é, F é uma primitiva de f. Se G for qualquer outra primitiva de f em [a, b], então elas
diferem por uma constante, isto é,
G(x) = F (x) + c.
Assim,
G(b)\u2212G(a) = [F (b) + c]\u2212 [F (a) + c] =
\u222b b
a
f(t)dt\u2212
\u222b a
a
f(t)dt =
\u222b b
a
f(t)dt
18
Trocando t por x obtemos \u222b b
a
f(x)dx = G(b)\u2212G(a)
como queríamos demonstrar.
A notação usual é \u222b b
a
f(x)dx = G(x)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
b
a
.
O teorema fundamental do cálculo permite que sejam determinadas as integrais de\ufffdnidas
das funções contínuas em intervalos fechados sem usar o método visto para encontrar somas
superiores e inferiores.
EXEMPLO 1.6.4 Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo encontre a área sob o grá\ufffdco
de f : [0, 4]\u2192 R de\ufffdnida por f (x) = x2 + 1.
Solução: Pelo Teorema 1.6.3 a área desejada é dada por
A =
\u222b