Controle I   Apostila
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Controle I Apostila


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q C
dT
dtt
= 2 - - - - - 
Resistência Térmica 
q
R
T
f
= 1 21 
3.4.3 Interconexão de Elementos de Sistemas 
 
A forma com que os elementos de um sistema são conectados gera um novo conjunto de 
relações, que independem das características dos elementos e das suas relações dinâmicas. 
Existem duas maneiras diferentes de conectar elementos de sistemas: 
Conexão Série 
25 
 
e = e1 + e2; f = f1 = f2 
 
Conexão Paralelo 
 
e = e1 = e2; f = f1 + f2 
 
 
As relações em um sistema composto podem ser colocadas como restrições de 
compatibilidade de esforço e de continuidade de fluxo. 
RESTRIÇÃO DE COMPATIBILIDADE DE ESFORÇO 
ek
k
n
=
=
\u2211 0
1
 
RESTRIÇÃO DE CONTINUIDADE DE FLUXO 
fk
k
n
=
=
\u2211 0
1
 
Estas restrições podem ser aplicadas aos mais diversos tipos de sistemas físicos, para 
obter ao seus modelos matemáticos (equações diferenciais que os descrevem). 
26 
Em resumo, modelagem matemática pode ser interpretada como abaixo: 
 
\uf8f4\uf8f4
\uf8f4\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u21d2
\u2193\u2193
=\u2194=
\u2193\u2193
=++
matematico modelo F.T estado de riáveisav
 combinação 
dt
dx vdinâmicas relações Ri vvasconstituti relações
 
0vv vtivasinterconec Restrições 
 básicas relações
321
 
3.4.4 Sistemas Mecânicos Translacionais 
 
Analogia: força corrente 
 e velocidade 
 f força 
 
Ex1: 
 
Restrição Interconectiva (RI): 
 
Relações Constitutivas (RC): 
bvf 
dt
df 
k
1 v 
dt
dv Mf bkm === 
 
Relações Dinâmicas (RD) 
 
 
dt
dx b kx 
dt
xd M f
 bv vdt k 
dt
dv M f Logo ; 
dt
dx v
2
2
++=
++== \u222b
 
 ( ) F(s) )s(XK Bs Ms 2 =++ \u21d2 
K Bs Ms
1 
)s(F
)s(X
2 ++= 
27 
 
 
 
 x(t) )t(x
f
M
1 x
M
b - x
M
k- x 
 x x 
 (t)x v(t) )t(x
1
21 2
21
2
=
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
+=
=
== &
&
&
 
 [ ]x0 1 y f
1
0
 x 
M
b- 
M
k-
 1 0
 x =\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee+\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=& 
 
Ex2: 
 
RI: 
 
RC: 
 );dtv - dtvk( f ; ) v- vb( f ;
dt
ydM f uykuyb2
2
m \u222b \u222b=== 
 
RD: 
 
 
dt
du v 
dt
dy v uy == 
 
 0 u) -k(y )u - yb( ym =++ &&&& \u21d2 ku ub ky yb ym +=++ &&&& \u21d2 u
m
k u
m
b y
m
k y
m
b y +=++ &&&& 
 
 
28 
 
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
+\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
+=
+=\u21d2+=
=
2
1
2
1
2
1
21
21 2221
2
x
x
 1] [0y u 
m
b
m
k
 
x
x
 
m
b - 1
m
k - 0
 
x
x
u
m
k x
m
k - x
u
m
b x
m
b - xx u
m
b - x
m
b x x
y x
&
&
&
&&
 
 
Ex3: 
 
 
RI: 
 
 
 
RC\u2013RD: 
 
 
0 zk )z - z (b zb zm
f zk )z - z (b zb zm
zm f zm f
z f zb f
)z - z (b f )z - z (b f
zk f zk f
221232221
112131111
22m2111m
 2b211b1
123b32133b
22k2111k
=+++
=+++
==
==
==
==
&&&&&
&&&&&
&&&&
&&
&&
&
 
 
29 
Estado: 24231211 z x; z x; z x; z x && ==== 
 
 
\uf8f4\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
++=
+++=
=
43
3
2
2
2
2
3
4
2
32
4
1
1
1
1
4
1
3
2
1
31
2
21
 x x
x
m
k - x
m
b
 x
m
)b b (
 - x
m
f x
m
k - x
m
b
 x
m
)b b (
 - x
 x x
&
&
&
&
 
 
 
Ex4: Transformador mecânico 
 
RI: 
 
RC: 
 Bv fb 
dt
df
k
1 v 
dt
dvM F km === 
 
RD: 
2
1
1
2
1
1 F ky yB yM l
lF Bv vdt k 
dt
dvM Logo,
 
dt
dy v
l
l=++\u21d2=++
=
\u222b &&&
 
3.4.5 Sistemas Mecânicos Rotacionais 
 
Ex1: 
30 
 
RI: 
 
 
RC: 
 
22B2
2
2
213B311B1
1
1
B T 
dt
d T
) - (B T B T 
dt
 d T
2
1
\u3c9=\u3c9\u399=
\u3c9\u3c9=\u3c9=\u3c9\u399=
\u399
\u399
 
 
RD: 
 
22
2
2213
2 1311
1
1
2
2
1
1
B 
dt
d ) - (B
) (B B 
dt
d T
dt
d 
dt
d 
\u3c9+\u3c9\u399=\u3c9\u3c9
\u3c9\u2212\u3c9+\u3c9+\u3c9\u399=
\u3b8=\u3c9\u3b8=\u3c9
 
 
 
323121231132
2
21
3221
2
3
2
3323121231132
2
21
3221
322
2
3322311
1
1
322
3
31311
1
322
3
2
22222313
231311
BBBBBBs]I)B B(I)B B[(sII
)B (B sI 
)s(T
)s(
B-B BBBBBBsI)B B( sI)B B[(sII
)B (B sI 
)s(T
)s(
)B (B sI 
B- )B B sI )(B B sI ( 
)s(
)s(T
)s(
) B B (sI
BB - )s() B B sI ( )s(T
)s(
) B B (sI
B )s(
)s(B )s(sI )s(B - )s(B
)s(B - )s()B B sI ( )s(T
+++++++
++=\u3c9
//++++++++
++=\u3c9
++
++++=\u3c9
\u3c9++\u3c9++=
\u3c9++=\u3c9
\u3c9+\u3c9=\u3c9\u3c9
\u3c9\u3c9++=
 
 
Ex2: Modelo de uma hélice 
31 
 
 \uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
=
++=\u3a4
2
22 1
2 11
1
c ) - k(
 ) - k( B 
dt
dI 
\u3b8\u3b8\u3b8
\u3b8\u3b8\u3c9\u3c9
 
3.4.6 Sistemas Eletromecânicos 
 
Princípios: 
 
Maquinas Elétricas Rotativas 
 
Maquinas de C.C: São bastante utilizadas e controle, pois podem 
ser representadas por modelos simples e 
lineares em uma vasta operação. 
 
Geradores C.C. 
32 
 
aaa
f21f21ff
e R R 
ikk )linear ( ik ; k ; L R 
++=
=\u21d2==+=
dt
diie
ee
dt
di
ie
a
ag
gg
f
ff \u3c9\u3c6\u3c6\u3c9
 
 
Aplicando Laplace: 
 
 
ff
g
f
g
fggffff
sL R
k
 
)(E
(s)E 
(s);Ik (s)E (s);)IsL R ( )(E
+=
=+=
s
s
 
Motores C.C 
 
 \u3c9=\u3b8+\u3b8==\u3a4\u3c6=\u3a4 bb2
2
aff2a2 k e ; dt
dB 
dt
dJ iikk ; ik 
 
 
Motor C.C Controlado Pela Armadura 
])(Js[)(
)(
)(])BsJs)([()()()BsJs()()(
)()()()(
)()BsJs()(
 ;
2
2
2
2
2
btaaaa
t
a
btaaatb
t
aaa
baaaa
at
bbbaaaaa
afaff
ff
kkBRsBLJRLs
k
sE
s
sskksLREkssks
k
sLRsE
ssksIsLRsE
ssIk
keeiLiRe
BJ
ikiikk
ik
++++=\u21d2
\u21d2+++=\u21d2+++=\u21d2
\u21d2
\uf8fe\uf8fd
\uf8fc
++=
+=\u21d2
\uf8f4\uf8f4\uf8fe
\uf8f4\uf8f4\uf8fd
\uf8fc
=++=
+=\u3a4
==\u3a4
=
\u3b8
\u3b8\u3b8\u3b8
\u3b8
\u3b8
\u3c9
\u3c9\u3c9
\u3c6
&
 
se: 
33 
 
)1()(
)( +\u3a4=\u21d2\u2248 ss
k
sE
sL
m
m
a
a
\u3b8\u3b8 
onde: 
motor do tempode constante 
)(
motor do ganho 
)(
bta
a
m
bta
t
m
kkBR
JR
kkBR
kk
+=\u3a4
+=
 
 
Ex1: Gerador + motor C.C 
 
 
[ ]
[ ]
 
k))(( )(
k
)(
)(
)(k))((
k
)(
)(
k
)(]k))([()(
)(k)()()(
)()()(
k
 k ;e 
e ;
b
t
b
t
t
b
b
t
bg
g
taaff
g
f
taa
g
ff
f
g
taa
f
t
aag
at
a
bb
a
aaa
fg
f
ffff
kBJssLRsLRs
k
sE
s
sskBJssLR
k
sLR
sE
k
sskBJssLRsI
s
k
BJssLRsE
sBJssIk
BJi
ee
dt
diLiR
ik
dt
di
LiRe
++++=
+++\u22c5+=
+++=
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee +++=
+=
+==\u3a4
=++=
=+=
\u3b8
\u3b8
\u3b8
\u3c9
\u3c9
\u3c9\u3c9
\u3c9
&
 
 
3.4.7 Sistemas Fluídicos 
 
(Q) Vazão ) f ( Fluxo
(P) Pressão ) e ( Esforço
\u2192
\u2192
 
34 
 
 
Ex1: 
 
 
1ARs
R
)s(Q
)s(H ; )s(H
R
1As)s(Q
in
in +=\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb += 
 
Ex2: 
 
Ex3: Tanque pressurizado com fluido compressível 
 
Conservação de massa: 
 
dt
dQQ
dt
Vd
dt
dmassa \u3c1
\u3c1\u3c1
\u3c1\u3c1\u3c1 VQ 
dt
dV )( ==== 
Para líquidos: 
 constante