A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
60 pág.
Apostila Parte 1

Pré-visualização | Página 10 de 13

)()()1( PXPXPX  e )()()1( PYPYPY  
Para checar se o transporte das coordenadas foi processado corretamente, em 
poligonais fechadas, os valores de X e Y de chegada encontrados devem ser iguais aos valores de 
X e Y de saída. 
10.10. Cálculo do Azimute e Distância entre pontos de coordenadas conhecidas 
Dados dois pontos conhecidos: 
A: (XA ; YA) 
B: (XB ; YB) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 54 – Azimute e Distância 
Podemos calcular o azimute da direção AB e a distância entre A e B no plano de 
projeção utilizando a seguinte formulação: 
Y 
 
 XB – XA 
 B 
 YB – YA DHAB 
 Az 
 
 A 
 X 
Topografia A 39 
PUC-Campinas Engenharia Civil 
AB
AB
AB YY
XX
Aztan


 então 
AB
AB
AB YY
XXarctgAz


 
2
AB
2
ABAB )YY()XX(DH  
onde: XB – XA = X e YB – YA = Y 
Para calcularmos o azimute da direção AB é necessário sempre tomarmos as 
diferenças de coordenadas B – A, considerando o sinal. 
Estas fórmulas são gerais e válidas para todos os quadrantes. 
Para a aplicação da fórmula de cálculo do azimute da direção AB indicada acima, 
calcula-se inicialmente as diferenças de coordenadas X e Y e determina-se um ângulo 
preliminar Az’AB e então se calcula o azimute da direção AB pelas regras seguintes: 
X Y Quadrante Azimute AB 
+ + I Az’AB 
+ – II Az’AB + 180° 
– – III Az’AB + 180° 
– + IV Az’AB + 360° 
Exemplos: 
Figura 55 – Azimutes - exemplos 
Se estivermos calculando a direção em rumo, o ângulo calculado na expressão já 
é o rumo procurado, sendo que o seu quadrante é definido pelo sinal das projeções X e Y, 
com a seguinte notação: X positivo = E e X negativo = W; analogamente Y positivo = N e 
Y negativo = S. 
10.11. Amarração de Detalhes 
Quando executamos levantamentos topográficos utilizamos a poligonal como 
amarração para o levantamento dos pontos de detalhe (feições naturais e artificiais do terreno, 
p.ex.: cercas de divisa, construções, matas, cursos d’água etc.). 
10.11.1 Amarração de Detalhes por Perpendiculares 
É o caso da figura abaixo, onde se deve medir os alinhamentos Aa, ab, bc, cd, de, eB e, 
também, os alinhamentos aa’, bb’, cc’, dd’ e ee’ para que o contorno da estrada fique determinado. 
Y 
 
 XB – XA 
 B 
 YB – YA DHAB 
 Az 
 
 A 
 X 
1º Quadrante 
Y 
 
 XB – XA 
 A 
 YB – YA DHAB 
 
 
 B 
 X 
3º Quadrante 
Topografia A 40 
PUC-Campinas Engenharia Civil 
 
Figura 56 – Perpendiculares 
10.11.1.1. Alinhamentos Perpendiculares 
É possível levantar uma perpendicular a um alinhamento, utilizando-se um 
diastímetro, através dos seguintes métodos: 
 Triângulo Retângulo 
Este método consiste em passar por um ponto A, de um alinhamento AB conhecido, uma 
perpendicular. Utilizando-se os doze (12) primeiros metros de uma trena, dispõe-se, 
respectivamente, dos lados 3, 4 e 5 metros de um triângulo retângulo. 
Como indicado na figura a seguir, o 0 e o 12o metro estariam coincidentes em C, situado 
a 3 metros do ponto A. O 7o metro (soma dos lados 3 e 4) e representado pelo ponto D, se ajusta 
facilmente em função dos pontos A e C já marcados. 
 
Figura 57 – Triângulo Retângulo 
Obs.: para locar as paredes de uma casa, o mestre de obras normalmente se utiliza de 
uma linha com nós. Esta linha representa um triângulo retângulo de lados 0,6m : 0,8m : 1,0m; 
equivalente ao triângulo retângulo de 3m : 4m : 5m mencionado anteriormente. 
10.11.2. Amarração de Detalhes por Triangulação 
Devendo-se medir os alinhamentos a e b, além do alinhamento principal DB, 
para que o canto superior esquerdo da piscina representada a seguir fique determinado. 
Para que a amarração não resulte errada, a base do triângulo amarrado deve 
coincidir com um dos lados do triângulo principal ou secundário, e, o vértice daquele triângulo 
será sempre um dos pontos definidores do detalhe levantado. 
Topografia A 41 
PUC-Campinas Engenharia Civil 
 
Figura 58 – Triangulação 
A referida piscina só estará completamente amarrada se os outros cantos 
também forem triangulados. 
10.11.3. Amarração de Detalhes com Aparelhos 
Podemos utilizar a poligonal como amarração para o levantamento dos pontos de 
detalhe, sendo levantados, a partir das estações da poligonal, os ângulos horizontais e as 
distâncias dos pontos de detalhe. 
 
 
 
E1, E2, E3, E4 = pontos da poligonal 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 (cêrca) 
 Pontos de detalhe 
2 (construção) 
3 (construção) 
4 (construção) 
5 (cêrca) 
6 (cêrca) 
7 (curso d’água) 
8 (curso d’água) 
9 (curso d’água) 
10 (curso d’água) 
11 (curso d’água) 
12 (cêrca) 
Figura 59 – Levantamento dos Pontos de Detalhe com Aparelhos 
Neste caso é importante salientarmos que o tratamento matemático a ser dado aos 
pontos de detalhe é o mesmo que na poligonal principal só que não há neste caso a etapa de 
cálculos de compensação destes pontos. 
Devemos então fazer a resolução da planilha em duas etapas: na primeira 
calculamos a poligonal principal, e na segunda executamos os cálculos dos pontos de detalhes. 
Topografia A 42 
PUC-Campinas Engenharia Civil 
 
11. Área da poligonal 
A área de uma superfície plana limitada por uma poligonal fechada pode ser 
determinada analiticamente quando se conhecem as coordenadas ortogonais dos seus vértices. 
Na figura a seguir, o método analítico consiste em, dadas as coordenadas (X, Y) de 
pontos de uma figura fechada qualquer, determinar a área desta figura. 
 
Figura 60 – Pontos da Poligonal 
 As coordenadas do ponto de partida e de chegada devem ser as mesmas  X1 = Xn e 
Y1 = Yn (poligonal fechada). 
11.1. Método de Gauss (cálculo por determinantes) 
O cálculo da área em topografia pode também ser feito através da integração do 
contorno da figura considerada. 
Como as figuras, ou áreas, são formadas por segmentos de reta, a integração é 
simplificada sendo a soma das áreas de trapézios, como exemplificado na figura a seguir. 
 
Figura 61 – Integração da poligonal 
 As coordenadas do ponto de partida e de chegada devem ser as mesmas  X1 = Xn e 
Y1 = Yn. 
 Percorrendo a poligonal, multiplicam-se as abscissas (Xi) dos pontos pelas ordenadas 
dos pontos seguintes (Yi+1) = 1 = produto positivo. 
 Na seqüência, multiplicam-se as ordenadas (Yi) dos pontos pelas abscissas dos pontos 
seguintes (Xi+1) = 2 = produto negativo. 
 Os resultados de cada multiplicação, entre si (Xi . Yi+1) e (Yn . Xn+1), são somados, 
algebricamente. 
 A área final é dada pela relação a seguir: 
Topografia A 43 
PUC-Campinas Engenharia Civil 
 
   21