Introdução a Estatística
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Introdução a Estatística


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e/ou somas de quadrados.
P.1. Somatório de uma constante k
O somatório de uma constante é igual ao produto do número de termos pela
constante.
k
i
n
=
\u2211
1
= k + k +...+ k = nk
Exemplos:
a) 5
1
10
i=
\u2211 = [(10 - 1) + 1](5) = 10(5) = 50
b) Yj
i=
\u2211
3
12
 = [(12 -3) + 1] Yj = 10 Yj
INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli
5
P.2. Somatório do produto de uma constante por uma variável
O somatório do produto de uma constante por uma variável é igual ao produto da
constante pelo somatório da variável.
kXi
i
n
=
\u2211
1
 = kX kX kX k X X X k Xn n i
i
n
1 2 1 2
1
+ + + = + + + =
=
\u2211... ( ... )
Exemplo:
i
n
i
i
i
nX
X k
= =
\u2211 \u2211= =
1 12
1
2
1
2
,
P.3. Somatório de uma soma ou subtração de variáveis
O somatório de uma soma ou subtração de variáveis é igual à soma ou subtração
dos somatórios dessas variáveis.
Sem perda de generalidade, para três variáveis X Y e W, , tem-se:
( )X Y W X Y Wi i i i i i
i
n
i
n
i
n
i
n
+ \u2212 = + \u2212
====
\u2211\u2211\u2211\u2211
1111
1.4. Somatório Duplo (opcional para o momento. Será discutido oportunamente)
Considere a Tabela a seguir:
1 2 ... j ... s
1 X11 X12 ... X1j ... X1s X j
j
s
1
1=
\u2211
2 X21 X22 ... X2j ... X2s X j
j
s
2
1=
\u2211
... ... ... ... ... ... ... ...
i Xi1 Xi2 ... Xij ... Xis Xij
j
s
=
\u2211
1
... ... ... ... ... ... ... ...
r Xr1 Xr2 ... Xrj ... Xrs Xrj
j
s
=
\u2211
1
Xi
i
r
1
1=
\u2211 Xi
i
r
2
1=
\u2211 ... Xij
i
r
=
\u2211
1
... Xis
i
r
=
\u2211
1
G
Xij \u2192 i = 1,2, ..., r (índice de linha)
 j = 1,2, ..., r (índice de coluna).
 G = total geral
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6
G X X X Xi
i
r
i
i
r
ij
i
r
is
i
r
= + + + + +
= = = =
\u2211 \u2211 \u2211 \u22111
1
2
1 1 1
... ...
 ( )= + + + + +
=
\u2211 X X X Xi i ij is
i
r
1 2
1
... ...
 = = =
= ===
\u2211\u2211\u2211 X X Xij ij
i j
r s
j
s
i
r
..
,
,
1 111
, ou ainda G X X Xij ij
j i
s r
i
r
j
s
= = =
= ===
\u2211\u2211\u2211 ..
,
,
1 111
Total da i-ésima linha: X Xij i
j
s
=
=
\u2211 .
1
Total da j-ésima coluna: X Xij j
i
r
=
=
\u2211 .
1
1.5. Exercícios Propostos
1) Considerando os seguintes valores:
X X X X
Y Y
1 2 3 4
1 2 3 4
2 6 7 9
1 4 5 11
= = = =
= = = = Y Y
Calcular:
a) ( )Yi
i
\u2212
=
\u2211 2 2
1
3
b) ( )X Yi i
i
\u2212
=
\u2211 4
1
4
c) (opcional) 
i
i
j
X
= =
\u2211 \u2211 +
1
3
2
4
2( )
d) (opcional) 
i
i j
j
X Y
= =
\u2211 \u2211 \u2212
2
4
2
3
3( )
R: a) 14 b) -60 c) 63 d) 51
2) Efetuar
a) ( )i ji
2
1
3 1
+
= \u2212
\u2211 b) (opcional)
i j
i j i
i
= =
\u2211 \u2211 + \u2212
3
6
0
2 3( ).( )
R: a) 5(3 + 1/j) b) 429/20
3) Calcule X1 e X3 , dado que:
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7
X X
X X
i
i
i
i
i i
i
i
i
i
= =
= =
= =
=
\u2260
=
\u2260
\u2211 \u2211
\u2211\u2211
42 364
34 324
1
6
2
1
6
2
1
1 3
6
1
1 3
6
,,
R: X1 = 2 e X3 = 6 ou X1 = 6 e X3 = 2.
4) Calcular: (opcional)
a) ( )i j
ji
+
==
\u2211\u2211
2
4
1
5
b) i j
ij
\u22c5
==
\u2211\u2211
1
6
5
9
a) 90 b) 735
2. PRODUTÓRIO
2.1. Introdução
O símbolo produtório é utilizado para facilitar a representação dos produtos.
Utiliza-se a notação \u220f , letra grega pi maiúsculo.
Representação: X X X Xi n
i
n
=
=
\u220f 1 2
1
. .....
Fatos:
1) b b bn1 2. . .... = bi
i
n
=
\u220f
1
2) b b b b b b
n fatores i
n
n
. . ....
" #$$ %$$
= =
=
\u220f
1
3) cX cX cX cX c X X X c Xi n
i
n
n
n
n
i
i
n
= = =
= =
\u220f \u220f1 2
1
1 2
1
. ..... . . .....
4)
( )( )X Y X Y X Y X Y X X X Y Y Y X Yi i n n n n
i
n
i
i
n
i
i
n
= = =
\uf8eb
\uf8ed\uf8ec
\uf8f6
\uf8f8\uf8f7
\uf8eb
\uf8ed\uf8ec
\uf8f6
\uf8f8\uf8f7
= = =
\u220f \u220f \u220f1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1
. ... . ... . ...
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8
5) i n n
i
n
=
\u220f = =
1
12 3. . ..... !
6) ( )log log . ... log log ... log logX X X X X X X Xi n
i
n
n i
i
n
= = + + + =
= =
\u220f \u22111 2
1
1 2
1
2.2. Exemplo:
Sabendo-se que:
X X
Y Y
1 2 3
1 2 3
2 3 5
3 5 7
= = =
= = =
 X
 Y
Calcular:
a) X X X Xi
i =
\u220f = = =
1
3
1 2 3 2 3 5 30. . . .
b) Y Y Y Yi
i
= = =
=
\u220f 1 2 3
1
3
3 5 7 105. . . .
c) 3 3 27 30 8103
1
3
1
3
. ( )X Xi i
ii
= = =
==
\u220f\u220f 
d) X Y X Yi i
i
i
i
i
i
. . ( )( )
= = =
\u220f \u220f \u220f= \uf8eb\uf8ed\uf8ec
\uf8f6
\uf8f8\uf8f7
\uf8eb
\uf8ed\uf8ec
\uf8f6
\uf8f8\uf8f7 = =1
3
1
3
1
3
30 105 3150 .
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Seja uma variável X, assumindo os seguintes valores:
X = {5, 2, 3, 0, 1, 2, 6, 9, 4, 8} n=10
Calcule:
a) Xi
i=
\u2211
1
10
 b) Xi
i
2
1
10
=
\u2211 c) X i
i=
\u2211\uf8eb\uf8ed\uf8ec
\uf8f6
\uf8f8\uf8f71
10 2
 d) 
X
X
i
i
i
i
2 1
10 2
1
10
10
10 1
\u2212
\uf8eb
\uf8ed\uf8ec
\uf8f6
\uf8f8\uf8f7
\u2212
=
=
\u2211
\u2211
e) ( )Xi
i
\u2212
=
\u2211 4
1
10
 f) ( )Xi
i
\u2212
=
\u2211 4 2
1
10
 g) 
( )Xi
i
\u2212
\u2212
=
\u2211 4
10 1
2
1
10
 h) 
X i
i=
\u2211
1
10
10
INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli
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2) Sabendo-se que X i
i
= \u2212
=
\u2211 6
1
5
 e X i
i
2
1
5
12=
=
\u2211 , calcule:
a) ( )4 5
1
5
X i
i
+
=
\u2211 b) ( )X Xi i
i
\u2212
=
\u2211 2
1
5
 c) ( )X i
i
\u2212
=
\u2211 3 2
1
5
3) Desenvolver e calcular: (opcional)
a) ( )i bj
ji
+
==
\u2211\u2211
2
6
1
3
 b) ( )i j
ij
\u2212
==
\u2211\u2211
1
5
1
2
 c) ( )i j
ji
+
==
\u2211\u2211 3
0
2
1
2 2
d) cb
ji ==
\u2211\u2211
0
8
1
7
 e) i
ji
2
1
5
1
4
==
\u2211\u2211
4) Utilizando os dados da Tabela abaixo, calcule:
 j
i
1 2 3 4
1 8 7 5 9
2 4 0 10 2
a) X i
i
1
1
2
=
\u2211 b) X j
j
1
1
4
=
\u2211 c) (opcional) X ij
ji ==
\u2211\u2211
1
4
1
2
 d) Xij
j
j
=
\u2260
\u2211
1
3
4
e) X j
j
2
2
3
=
\u2211 f) 1
21
2
4
X jj
j
=
\u2260
\u2211 g) 6 1
1
3
4
X j
j
j
=
\u2260
\u220f h) X j
j
j
2
1
2
4
=
\u2260
\u220f
INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
--Departamento de Informática/CCE
INF 161 - Iniciação à Estatística; INF 162 \u2013 Estatítica I
Lista de Exercícios: Somatório e Produtório
1) Escrever usando notação de somatório ou produtório, conforme o caso:
a)
X Y X Y X Y1 1 2 2 4 4
2
2 2 2
\u2212
+
\u2212
+
\u2212\uf8eb
\uf8ed\uf8ec
\uf8f6
\uf8f8\uf8f7
b) a!
c) ( ) ( ) ( )X Y X Y X Y1 1 1 2 1 3+ + +
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )322212312111 YXYXYXYXYXYX +++++
e) ( ) ( ) ( )X Y X Y X Yn n1 1 2 2\u22c5 \u22c5 \u22c5!
2) Considere os seguintes valores:
X X X X X X X X
Y Y Y Y Y Y Y
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
2 4 6 8 10 12 14 16
1 3 5 7 9 11 13 15
= = = = = = = =
= = = = =