Lista 2 Gabarito

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Gabarito: I Lista de Exercícios de Geometria Analítica 
 
1. Determine o vetor v = (vx; vy) que translada do ponto A para o ponto B nos 
itens abaixo: 
(a) v=( 3; 1); 
(b) v=( -2; 5); 
(c) v=( -3; 3); 
(d) v=( 5; -2) 
 
2. Responda o que se pede: 
(a) B=(3; 3) 
(b) B=(3; 3) 
 
3 – Dados os vetores v=(1,2), w=(-2,3), p=(x,-2) e q=(1,-1), 
a) α=1/7 
β=-3/7 
b) x=2 
 
c) que -3p-w=v+αq 
x =2/3 
α=-1 
 
4. Resolva as seguintes equações para α e b: 
(a) α =3/2; b= - 3/2 
(b) α=-6; b=11 
(c) α=22/3; b=3-5/12 
 
5 – Seja um barco cuja posição em relação a um farol é dada por: 
N(t)=(10+2t , 15-5t), onde t é o tempo. 
a)Encontre a posição do barco para t=3, t=5 e t=15. 
t x(t) y(t)
3 16 0 (16; 0)
5 20 -10 (20; -10)
15 40 -60 (40; -60)
 
b)O barco se chocará em algum momento com um recife cujas coordenadas são:R1=( 
15 ; 2,5). Em que tempo? 
Precisamos que para algum t: 
N(t)=R1 
(10+2t; 15-5t)=(15; 2,5) 
10+2t=15 15-5t=2,5 
2t=5 -5t=-12,5 
t=2,5 t=2,5 
Como os valores de t coincidem, ou seja as coordenadas do barco coincidem 
com as coordenadas do recife para um mesmo valor de t, então barco se 
chocará com o Recife. 
 
c)E no recife localizado em R2=( 18 ; -6)? Justifique a resposta. 
Procedendo da mesma maneira: 
N(t)=R2 
(10+2t; 15-5t)=(18; -6) 
10+2t=18 15-5t=-6 
2t=8 -5t=-21 
t=4 t=4,2 
Como os valores de t não coincidem, ou seja as coordenadas do barco não 
coincidem com as coordenadas do recife para um mesmo valor de t, então 
barco não se chocará com o Recife. 
 
6 – Um móvel parte da origem O=(0,0), e após 10 minutos encontra-se em P1=(2,3). 
Move-se então 3km na direção 45º - sudeste, chegando em P2. A partir de P2 move-se 
agora 1km ao norte e 1km a leste chegando em P3. 
a)Quais as coordenadas de P2? 
Aplicando as equações de translado no plano temos. 
x2=x1 +vx 
 = 2 + vx 
Y2=y1 +vy 
 =3 + vy 
 
Para encontrar as coordenadas retangulares do vetor V 
temos: 
vx=│V│cosθ 
 =3cos(-45)=3√2/2 
Vy=│V│senθ 
 =3sen(-45)=-3√2/2 
Portanto: 
x2= 2 + 3√2/2 
Y2=3 -3√2/2 
 
b)Qual a distância de P2 à origem? 
Lembrando que se v translada do ponto A para o B então genericamente d(A, B)= 
│V│. Ainda das equações acima temos: 
Xb=xa +vx 
 vx = x2 - xa 
yb=ya +vy 
 vy= yb - ya 
Logo d(A, B)= │V│ 
 =√( vx
2+ vx
2) 
 =√(( xb - xa)
2 + ( yb - ya)
2) 
No caso como desejamos d(O, P2) e O=(0; 0) então teremos: 
d(O, P2)=√(( x2 - 0)
2 + ( y2 - 0)
2) 
 =√(( 2 + 3√2/2)2 + (3 -3√2/2)2) 
 =√(4+6√2+4.5)+(9-9√2+4.5) 
 =√(22-3√2) 
 
c)Quais as coordenadas finais de P3? 
De P2 a P3 temos um deslocamento de 1 km para Norte e 1 km para leste. Desta 
forma se chamarmos o vetor deslocamento de w teremos w=(1; 1). 
Desta forma: 
 X3=x2 +wx 
 = (2 + 3√2/2) +1 
 =3+ 3√2/2 
Y3=y2 +wy 
 = (3 -3√2/2) + 1 
 =4-3√2/2 
d)Qual a distância de P2 a P3? 
Como a distância de P2 a P3 é o módulo do vetor translação de P2 a P3, então: 
d(P2, P3)= │w│ 
 =√( wx
2+ wx
2) 
 =√( 12+ 12)= √2 
 
e)Qual a distância de P3 em relação à origem? 
Procedendo da mesma maneira que no item b teremos: 
d(O, P3)=√(( x3 - 0)
2 + ( y3 - 0)
2) 
 =√(( 3 + 3√2/2)2 + (4 -3√2/2)2) 
 =√(9+9√2+4.5)+(16-12√2+4.5) 
 =√(34-4√2) 
 
7. Faça o que se pede: 
(a) Desenhe os vetores a = (3; 2), b = (2;-1) e c = (7; 1). 
 
α 
 
(b) , (c) juntos. 
 
 
 
 (d) Determine os valores exatos de α e de β. 
Α =1.285714 
Β =1.571429 
 
8. Duas forças F1 e F2 com magnitudes 10N e 12N agem sobre um objeto num 
ponto P como mostrado na figura. Determine a força resultante F agindo em P 
assim comoseu módulo direção e sentido. (Indique a direção determinando o 
ângulo mostrado na figura.) 
-1.5 
-1 
-0.5 
0 
0.5 
1 
1.5 
2 
2.5 
0 2 4 6 8 
V2 
V3 
V1 
~1,2V1 
~1,8.V2 
 
 
Temos que F=F1+ F2 
F1=( F1x; F1y ) 
F1x = │F1│cosθ1=10cos(135) 
 =10(-√2/2)=-5√2 
F1y = │F1│senθ1=10sen(135) 
 =10(√2/2)=5√2 
 
F2=( F2x; F2y ) 
F2x = │F2│cosθ2=12cos(30) 
 =12(√3/2)=6√3 
F2y = │F2│senθ2=12sen(30) 
 =12(1/2)=6 
 
F= ( F1x; F1y ) + (F2x; F2y ) 
 = ( F1x + F1y ; F1y + F2y ) 
 =(-5√2; 5√2)+( 6√2; 6) 
 =(-5√2 + 6√3; 5√2 + 6) 
 
Para descobrir a intensidade da força bem como a orientação desta (direção e 
sentido) teremos: 
│F│=√ Fx 
2 + Fy
2 
 =√(-5√2 + 6√3)2 + (5√2 + 6)2 
 
= 
 
 
 
 
 
Θ=arctg(Fy/Fx) 
 = arctg(Fy/Fx) 
 
 
 
 
9. Um barco está tentando atravessar um rio mas está sendo arrastado pela 
correnteza. 
Sem a correnteza, a velocidade do barco seria de 5m/h, atravessando 
diretamente o rio; com o motor desligado, o barco seria empurrado pelo rio com 
uma velocidade de 3m/h rio abaixo. Encontre a velocidade do barco com o 
motor ligado atravessando o rio de fato. (Assuma que as velocidades podem 
ser representadas geometricamente como vetores no plano). 
 
Vcorrenteza =(0;3) Vbarco=(5;0) 
Vefetivo=Vcorrenteza + Vbarco=(0;3)+(5;0)=(5;3) 
 
10. Sejam u = (4α; b), v =(1; ½) e w = (4; α) vetores tais que u // v, v // w. 
Suponha também que α, b є R. Determine o vetor u. 
U=kV para algum k є R 
(4α; b)=k(1; ½) 
4α=k 
b=k/2 
v=cw para algum c є R 
(1; ½)=c(4; α) 
1=4c→ c=1/4 
Da outra equação 
½=cα 
Substituindo c=1/4 em ½=cα 
½=1/4α 
2 = α 
Substituindo α encontrado acima: 
 k=4.(2) = 8 
b=k/2= 8/2=4 
Encontrado o α e o b, substituindo em u = (4α; b), o vetor u portanto vale u = 
(8; 4) 
 
11. Um vetor que tem comprimento 10 faz um ângulo de π/6 com o eixo x. 
Encontre suas componentes. 
V=(vx; vy) 
vx=10cos(π/6)=10.(√3/2)=5.√3 
 vy=10sen(π/6)= 10.(1/2)=5 
v=(5.√3; 5) 
 
12. O capitão de um barco deseja viajar na direção do sul a 40 milhas náuticas. 
Se a correnteza marítima se move preponderantemente na direção nordeste a 
16 milhas náuticas por hora, em que direção e com que intensidade o barco 
ligado deveria se mover ? 
 
 
Vresultante=Vmotor+Vcorrenteza 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
0 1 2 3 4 
Vcorrenteza 
Vefetivo 
Vbarco 
A orientação do sistema foi 
adotada com achamos melhor. 
(0; -40)=(Vx;Vy)+(Vcorr X; Vcorr Y)) 
Vcorr X=16.cos(π/4)=16(√2/2)=8.√2 
Vcorr Y=16sen(π/4) =16(√2/2)=8.√2 
Vx=0- Vcorr X=0-8.√2=-8.√2~ - 11.3137085 
Vy=-40- Vcorr X=-40-8.√2-51.3137085 
 
 
13. A velocidade de uma aeronave em relação ar é chamada “airspeed", 
enquanto que a velocidade absoluta do avião, ‘groundspeed", é a velocidade 
real que resulta dos efeitos combinados da ‘airspeed" e velocidade do vento. 
Suponha que uma velocidade da aeronave em relação ao ar, a ‘airspeed", é 
140mph. Se o avião deseja viajar para a direção oeste e o vento está soprando 
preponderantemente para o norte a 20m/h,encontre a velocidade absoluta do 
avião, a “groundspeed", e a direção do movimento do avião. 
 
 
V vento = (0; 20) 
V airspeed = (vx; Vy) 
Tal que: 
V X=140.cos(θ) 
V Y=140sen(θ) 
Vres=V(groundspeed)=V vento + V airspeed 
=(0; 20)+ (vx; Vy) 
Desejamos que: 
Vres=(W; 0), onde W é negative (para oeste) 
Logo: 
W=0+Vx=140.cos(θ) 
0=20+140sen(θ) 
Da segunda equação obtemos θ: 
Θ=asen(-20/140) = 
 
-60 
-50 
-40 
-30 
-20 
-10 
0 
10 
20 
-15 -10 -5 0 5 10 15 
Vcorrenteza 
Vmotor 
Vresultante 
=-8.213 
ou 
=180+8.21 = 188,21 
 
Para que a coordenada x seja negativa o ângulo correto é 188,21 
Então: 
W=140cos(188,21)= -138.564 
Logo: 
Vres=(W; 0)=( -138.564; 0) 
 
14. Cordas de 3m e 5m de comprimento são atadas na decoração natalina que 
está suspensa sobre uma praça. A decoração tem massa de 5Kg. As cordas, 
atadas em diferentes alturas, fazem ângulos de 52º. e 40º. com a horizontal. 
Determine a tensão em cada fio e a magnitude de cada tensão. 
 
 
Fazendo a soma vetorial temos: 
F1x = │F1│cosθ1=│F1│cos(40) 
F1y = │F1│senθ1=│F1│sen(40)F2=( F2x; F2y ) 
F2x = │F2│cosθ2==│F2│cos(360-52) = │F2│cos(308) 
F2y = │F2│senθ2=│F2│sen(308) 
 
FP=(0; -mg)=(0; -50) 
(aproximando g=10) 
 
0= ( F1x; F1y ) + (F2x; F2y )+ (0; -50) 
 = (│F1│cos(40) + │F2│cos(308) ; │F1│sen(40) + │F2│sen(308) -50 ) 
Temos então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 – Dados os vetores v = (2,3), m=(2,2), encontre: 
a)Encontre a e b tais que: 
v = a i + b j 
b)Encontrar o versor em associado a m. 
c)Encontrar um vetor en unitário ortogonal a em 
d)Encontre α e β tais que: 
v = αem + βen 
e)Interpretar α e β geometricamente. 
F1 
F2 
 
FP 
 
16 - Dados os vetores v=(2,1), w=(-2,3). 
a)Encontre um versor associado a w e um associado a v. 
b)Encontre a projeção de v na direção de w, e projeção de w na direção de v. 
c)Qual o ângulo entre os vetores? 
d)Qual o ângulo entre o vetor u=2v+w com o eixo X?. E com o eixo Y?