Lista 3

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III Lista de Exercícios – Geometria Analítica 
 
1) Seja um vetor v = (-1, 2), e m=(1, -1) 
a)Encontre um versor em . 
b)Encontre α e β na expansão abaixo. 
v= α i + βem 
(para i=(1,0)) 
c)Porque α ≠ v.i e β≠ v.em ? 
 
2) Considere v = (1 , √3). 
a)Encontre um versor ev associado a v. 
b) Encontre │v│ (=módulo de v) e θv(orientação de v). 
c) verifique que: 
vx= │v│cos θv 
vy= │v│sen θv 
e portanto 
(ev)x= cos θv 
(ev)y= sen θv 
 
3) Mostre que e1 = (cos θ,sen θ) é versor e encontre um versor e2 ortogonal a e1. 
b)Considere θ = 30t, onde t é o tempo. Encontre e1 e e2 para t=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
c)Desenhe estes pares de versores nos pontos p=(2cos θ,2sen θ), onde θ = 30t. 
(obs: costuma-se chamar o versor e1 = (cos θ,sen θ) de versor r). 
 
4)Considere o conjunto de forças abaixo: 
F1=(1,-1), F2=(2,-1), F3=(0,3), F4=(-1,-2), Fr=F1+F2+ F3+F4 
Encontre a projeção destas forças (incluindo Fr) nas direções dos versores abaixo: 
i = (1,0), j=(0,1) 
e=(1/2 , √3/2) 
e=(√2/2 , √2/2) 
b)Encontre a projeção da força resultante na direção de F2 
 
5)No esquema abaixo 
 
a) encontre a força resultante Fr=F1+F2+ F3+F4 
b) a projeção de cada força na direção da resultante. Qual é a soma destas projeções? 
c) um versor F┴ ortogonal à Fr 
d) a projeção de cada força na direção de F┴. Qual é a soma destas projeções? 
 
6) Sejam os vetores: 
u=(1,1,-1), v=(0,-1,0) e w=(-1,0,1). 
a)Verifique se existem α, β, e γ tais que: 
m=(2,1,-2) = αu + βv + γw 
b)Interprete geometricamente este resultado. 
 
 
30º
. 
F1 
F2 
F3 
F4 
15º. 
│F1│=6 
 
│F2│=10 
 
│F3│=4 
 
│F4│=10 
 
 
 
7) Sejam os versores: 
e1=(√2/2; 0; -√2/2), e2=(0,-1,0) e e3=(√2/2; 0; √2/2). 
a)Verifique que estes versores são ortogonais entre si 
b)Encontre α, β, e γ tais que: 
m=(2,1,-3) = αu + βv + γw 
 
8)Sejam os vetores: 
u=(1,0,-1) e v=(2,-1,2). Encontre um vetor m ortogonal ao eixo x tal que: 
v = mxu 
 
8) Determinar um vetor unitário que seja ortogonal ao eixo Z e que forme um ângulo 
de 60º. com o versor i. 
 
9) Sejam os vetores v = (1, -2, 1) e w=(1, 1, 1) 
a)Mostre que v e w são ortogonais. 
b)Encontre um vetor u ortogonal a v e a w simultaneamente 
Encontre os versores eu, ev, ew associados a u, v, e w. 
c)Encontre α, β, e γ tais que: 
m=(2,1,-3) = α eu + β ev + γ ew