Lista Distâncias

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VI Lista de Exercícios: Distâncias 
 
1) Considere um ponto P0=(2; 1; 0) e a reta r(t) = (0; 1; 1) +t(0;1;0). 
a)Verifique se P0 pertence à reta. 
b)Encontre os pontos da reta que distam de 3 do ponto P. 
c)Qual o ponto da reta r(t) Qmin mais próximo de P0 e qual a distância? 
d)Verifique que o vetor que liga P0 a Qmin é ortogonal a reta. 
 
2)Seja o ponto P=(1,1) no plano. 
a)Encontre a equação do circunferência centrado em P de raio 1. 
b)Verifique se a reta r(t)=(0,1)+t(1,1) intercepta a circunferência descrita acima. 
c)Encontre a equação da reta que tangencia a circunferência acima no ponto 
Q=(2,1) (dica:use o resultado do ítem d da questão 1). 
 
3) Quais são os pontos do espaço X=(x,y,z) tais que a distância a p=(1,0,0) é 
igual a distância ao ponto Q=(1,-1,0)? Qual a figura geométrica formada por 
tais pontos? 
 
4)Quais os pontos do plano que equidistam do ponto P0=(2,3) e a reta 
r(t)=(1;1)+t(1;0)? Qual a figura geométrica formada por tais pontos? 
 
5) Considerando a reta e os planos abaixo: 
 
10222:
)1;1;0´()1;0;1(1;1;2:
2
1


zyx
tt 
)0;1;0()0;1;1(:)( hhr 
. 
a)Verifique que Π1 é paralelo a Π2 
b)Encontre a distância de Π1 a Π2 
c)Considere uma reta paralela a Π1 que passe pelo ponto (2; -1; 1) que não se 
intersecciona com a reta r (certifique-se disto). Encontre a distância entre esta 
reta e r(h) e os pontos mais próximos possíveis de uma e outra reta. 
 
6)Nosso spray consegue atingir moscas que estão a uma distância máxima de 
2 metros. Seja a nossa velha e conhecida mosca. Com trajetória parametrizada 
por M(t) = (1,0,2)+t(0,1,-1) e considere o spray posicionado no ponto 
P=(0,-1,0). 
a)Qual a distância do spray à mosca em t=0? 
b)O spray poderá alcançar a mosca em algum ponto? 
c)Qual é o ponto da trajetória da mosca mais próximo do spray e qual a 
distância? 
 
7) Lembrando-se de Túlio Maravilha já que seu chute parametrizado por B(t): 
(2, 1, 4)+t(2; 4; -1) não foi pego por Dassaiev o goleiro do time Martian Bulls de 
trajetória D(t´)=(1, 2, 0)+t´(3, 3, 2), encontre: 
a)Em t=0 qual a distância entre a bola e o goleiro? 
b)Supondo que a visão de Dassaiev alcança 2 u.c. quais os pontos limites em 
que ele veria a bola se ficasse parado? 
c)Os pontos em que as trajetórias estão mais próximas. Qual a distância? 
 
8)Considere a reta paralela ao eixo X que passa pelo ponto P0=(1; 0; 0). 
a)Encontre a equação dos pontos que distam 2 u.c. da reta. Qual a forma 
geométrica formada por tais pontos? 
b)Encontre a intersecção destes pontos com um plano paralelo aos eixos Y e Z 
que passa pelo ponto Q=(2; 2; 2). Qual a forma geométrica formada por tais 
pontos? 
 
9)Considere uma superfície geométrica (cone) parametrizada por: 
x=tcos(θ) 
y=tsen(θ) 
z=t 
t ϵR . 
Mostre que: 
a)Os pontos da superfície satisfazem a equação x2+y2=z2 
A intersecção desta superfície com um plano ortogonal a Z que passa pelo 
ponto P=(0; 1; 2) é uma circunferência de raio 2. 
b)Mostre que a intercecção desta superfície com um plano ortogonal ao 
eixo Y que passa pelo ponto P=(0; 1; 2) formam hipérboles. 
c)Mostre que a intersecção deste plano com um plano paralelo a 
v=(1;0;0) e w=(0,1,1) que passa pelo ponto Q=(0; 2; 0) forma uma parábola.