Lista Retas Gabarito

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V Lista de Exercícios –gabarito 
 
1) Dadas as retas abaixo verifiquem se elas passam pelos pontos P 
abaixo: 
a) r1:(1; -1; 2) + t(1; 1; 0); P1=(3,5; 1,5; 2) 
 (sim em t=2,5) 
 
b) r2: (3; 2; 1) + t´(-1; -2; 1) P2=(4; 4; 2) (não, t’=-1 e t’=1) 
c) r3: (0; -3; 1) + t´(1; 2; -2) P3=(5,5; 8; 10) (não, t’=5,5 e t’=-5,5) 
 
2) 
a) r1:(1; -1; 2) + t(1; 1; 0) r2: (3; 2; 1) + t´(-1; -2; 1) 
Sim: t=1; t’=1 em Q=(2; 0; 2) 
θ=150º. 
 
b) r1: x(t)=2-t r2: (2; -4; -5) + h(-1; 1; 2) 
y(t)=-t 
 z(t)=-1+t 
Não: h=2; h=4 
θ=61,2º. 
 
c) r1: x-2 = y+1 = -z r2= (3; 1; 3) + m(0; 0; 1) 
 2 
sim em (3, 1, -1) 
θ=114,6º. 
 
3) Uma mosca encontra-se em t=0 no ponto P0=(2;1;2) da cozinha. Observa 
então um torrão de açúcar no ponto PA=(3; 2; 1). 
a)Encontre o vetor velocidade para que a mosca alcance o torrão após 2 
segundos. 
Considerando o voo parametrizado pela equação abaixo 
 
Devemos ter no caso: 
 e para que em t=2 desejamos encontrar 
v tal que: 
 
 
 
 
 
 
E o vôo passa a ser parametrizado por: 
 
 
 
 
 
 
b)Em t=0, observamos tal mosca e nos preparamos para acionar um spray. 
Este pretende interceptá-la após 1 segundo. Considerando que o spray 
encontra-se no ponto PS = (4; -1; 1,5). Qual deve ser o vetor velocidade para 
triunfarmos em nossa empreitada mosquicida? 
Neste caso em t=1 o spray que saiu de PS = (4; -1; 1,5) (portanto ponto inicial) 
deve alcançar a mosca. Esta estará num ponto intermediário (em t=1) de sua 
trajetória dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação do spray será então: 
 
 
 
 
 
De forma que: w=(-1,5; 2,5; 0) 
 
 4) Um OVNI adentra o nosso espaço aéreo seguindo a trajetória dada por: 
Povni = (100, -200, 1000)+t(50, 100, -50). Em t=5 saem de nossas base nossos 
caças prontos a interceptá-lo, seguindo trajetória Pcaças = t´(60; 80; 50) . 
a)Qual o ângulo entre as trajetórias do OVNI e dos caças? 
 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
b)Os caças alcançarão o OVNI? 
Paramétricas:OVNI: 
 
 
 
 
Caça: 
 
 
 
 
Igualando: 
 
 
 
 
Cuja solução ‘é t=10; t’=10. Mas como os caças saem 5 segundos depois, 
deveríamos ter t=10 e t’=5. Logo não se encontram. 
 
5) Zelão, desejando alcançar seu 10 gol na carreira, lança-se ao ataque e quica 
a bola alçando-a a uma trajetória dada por: B = (2; -1; 0)+t(3; 1; 0,7). O 
arqueiro lança-se ao vôo após 0,5s. do chute de Zelão segundo a trajetória G = 
(6 ; -4; 0) + t´(-2; 8; 1,4). 
a)O goleiro impedirá Zelão de comemorar o seu décimo gol? 
Sim, no ponto (5; 0; 0,7) pois t=1 e t’=0,5, pois o goleiro sai 0,5 depois 
b)Qual o ângulo entre a trajetória da bola e do Goleiro? 
θ=83,7º. 
 
 
6) 
1-b)Vamos calcular a distância de P2 a r2 de uma das formas 
Considerando o ponto (3; 2; 1) pertencente a r2 e (4;4;2), já que não 
pertencente à r2, montamos o vetor w=(wx; wy; wz) que liga um ponto a outro 
(3;2;1)→(4; 4;2); 
4=3+wx→ wx=1 
4=2+wy→ wy=2 
2=1+wz→ wz=1 
w=(1; 2; 1) 
Como vimos se projetarmos este vetor na direção da reta obtemos o vetor 
projeção w// paralelo à reta. Então w=w//+w┴, onde w┴ é a componente de w 
ortogonal à reta, e desta forma d(r2;P2)=│w┴│ 
Começamos encontrando w//=αe// : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
α= w.e//= 
 
w//=αe//= 
Então a componente de w ortogonal à r2 é w┴=w- w// 
w┴=(1; 2; 1)- (2/3; 4/3;- 2/3)=(1/3;2/3;5/3) 
E portanto a distância será dada por: 
│w┴│=((1/3)
2+(2/3)2+(5/3)2)1/2=(√30)/3 
(PODERIAM TER ACHADO POR PITÀGORAS A DISTÂNCIA 
DIRETAMENTE) 
Se ainda desejarmos encontrar o ponto da reta Pmin=(xmin; ymin; zmin) mais 
próximo de P2 sabemos que: 
 
 
4= xmin+(1/3)→ xmin=11/3 
4= ymin+(2/3) → ymin=10/3 
2= zmin+(5/3) → zmin=1/3 
Pmin=(11/3; 10/3; 11/3) 
 
1-c)r3: (0; -3; 1) + t´(1; 2; -2) P3=(5,5; 8; 10) (não, t’=5,5 e t’=-5,5) 
Neste caso vamos calcular usando outro método, vamos encontrar 
Pmin=(xmin; ymin; zmin), 
impondo que 
 
 é sempre ortogonal à reta r3 e portanto ao vetor 
diretor da reta v3=(1; 2; -2). 
Montamos o vetor 
Como Pmin pertence à reta, então: 
 =t’ 
 =-3+2t’ 
 =1-2t’ 
 
 
 
Impondo a ortogonalidade, temos: 
 
 
 
 
 
Pmin será: 
 =0,5 
 =-3+2.0,5=-1 
 =1-2.0,5=0 
 
 
A distância será o módulo do vetor 
 
 
 
 
 
2b) 
Vamos impor que o vetor w┴ que liga os pontos de mínimo Pmin de r1 e Qmin de 
r2 devem obedecer ao fato que o vetor de Pmin a Qmin deve ser ortogonal a 
ambas as retas e portanto aos vetores diretores v1 ,v2 respectivamente. 
Como Pmin deve pertencer a r1 e Qmin Pmin deve pertencer a r2 
Pmin x(t)=2-t Qmin: x(h)=2-h; 
y(t)=-t y(h)=-4+h 
 z(t)=-1+t z(h)=-5+2h 
Então o vetor w┴: Pmin → Qmin é na forma: 
(2-h-(2-t);(-4+h)-(-t);(-5+2h)-(-1-t))= 
w┴=(-t+h;-t+4-h;+t+4-2h) 
Então: 
w┴.v1=0 
(-t+h;-t+4-h;+t+4-2h).v1=0 
w┴.v2=0 
(-t+h;-t+4-h;+t+4-2h).v2=0 
 t+6-3h=0→t+6-3.3/2t=0→-7/2t=-6→t=12/7 
3t-2h=0→3/2t=h→h=3/2.12/7=18/7 
Substituindo nas paramétricas: 
x(t)=2-t →2-12/7=-2/7 r2: (2; -4; -5) + h(-1; 1; 2) 
y(t)=-t →-12/7 (2;-4.-5)+18/7(-1;1;2)=(-4/7;-10/7;1/7) 
z(t)=-1+t →-1+12/7=5/7 
E w=(-t+h;-t+4-h;+t+4-2h)=(2/7;-2/7;4/7) 
Então d(r1; r2)= │w┴│= ((2/7)
2+(-2/7) 2+(4/7) 2) 1/2 =(√24)/7=2√6/7