Lista de Exercícios de Cálculo 1

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Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo I - Func¸o˜es de uma varia´vel Real
1. Resolva a desigualdade e exprima a soluc¸a˜o em termos de intervalos, quando poss´ıvel.
(a) 2x+ 5 < 3x− 7
(b) 3 ≤ 2x− 3
5
≤ 7
(c) x2 − x− 6 < 0
(d) x2 − 2x− 5 > 3
(e) x(3x− 1) ≤ 4
(f) |x+ 3| < 0, 01
(g) |3x− 7| ≥ 5
(h) | − 11− 7x| > 6
2. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de cada func¸a˜o, utilizando transformac¸o˜es.
(a) y = 4x − 3
(b) y = 4x−3
(c) y = −2−2x
(d) y = 1 + 2ex
(e) y = 1− 1
2
e−x
(f) y = 2(1− ex)
3. Comec¸ando com o gra´fico de y = ex, escreva as equac¸o˜es correspondentes aos gra´ficos que
resultam ao
(a) deslocar 2 unidades para baixo
(b) deslocar 2 unidades para a direita
(c) refletir em torno do eixo x
(d) refletir em torno do eixo y
(e) refletir em torno do eixo x e, depois, em torno do eixo y
4. Comec¸ando com o gra´fico de y = ex, encontre as equac¸o˜es dos gra´ficos que resultam ao
(a) refletir em torno da reta y = 4
(b) refletir em torno da reta x = 2
5. Encontre o domı´nio de cada func¸a˜o
1
(a) f(x) =
x+ 1
x3 − 4x
(b) f(x) =
4x
6x2 + 13x− 5
(c) f(x) =
√
2x− 3
x2 − 5x+ 4
(d) f(x) =
√
4x− 3
x2 − 4
(e) f(x) =
1
1 + ex
(f) f(x) =
1
1− ex
(g) g(t) = et − 1
(h) g(t) =
√
1− 2t
6. Encontre a func¸a˜o exponencial f(x) = Cax cujo gra´fico e´ dado.
(a) (b)
7. Suponha que voceˆ receba uma oferta para trabalhar por apenas um meˆs. Qual das seguintes
formas de pagamentos voceˆ prefere?
(a) Um milha˜o de do´lares no fim do meˆs.
(b) Um centavo de do´lar no primeiro dia do meˆs, dois centavos no segundo dia, quatro no
terceiro dia, e em geral, 2n−1 centavos de do´lar no n-e´simo dia.
8. (a) O que e´ uma func¸a˜o injetora?
(b) A partir do gra´fico, como dizer se uma func¸a˜o e´ injetora?
9. (a) Seja f uma func¸a˜o injetora com domı´nio A e imagem B. Como e´ definida a func¸a˜o
inversa f−1? Qual o domı´nio de f−1 Qual e´ a imagem de f−1
(b) Se for dada uma fo´mula para f , como voceˆ pode encontrara´ um fo´rmula para f−1?
(c) Se for dado o gra´fico de f , como voceˆ encontrara´ o gra´fico de f−1?
10. A func¸a˜o f e´ dada pelo gra´fico. Determine se f e´ injetora.
2
(a)
(b)
(c)
(d)
11. A func¸a˜o f e´ dada pela expressa˜o. Determine se f e´ injetora.
(a) f(x) =
1
2
(x+ 5)
(b) f(x) = 1 + 4x− x2
(c) g(x) = |x|
(d) g(x) =
√
x
(e) f(t) e´ a altura de uma bola t segundos
apo´s ser chutada.
(f) f(t) e´ sua altura com t anos de idade.
12. Se f for uma func¸a˜o injetora tal que f(2) = 9, quanto e´ f−1(9)?
13. Se g(x) = 3 + x+ ex, ache g−1(4).
14. E´ dado o gra´fico de f .
(a) Por que f e´ injetora?
(b) Determine o domı´nio e a imagem de f−1.
(c) Qual o valor de f−1(2)?
(d) Obtenha uma estimativa para o valor de f−1(0)
3
15. Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o inversa.
(a) f(x) =
√
10− 3x
(b) f(x) = ex
3
(c) y = 2x3 + 3
(d) y = ln(x+ 3)
16. Use o gra´fico dado de f para esboc¸ar o de f−1.
(a) (b)
17. (a) Como esta´ definida a func¸a˜o logar´ıtmica y = loga x?
(b) Qual o domı´nio dessa func¸a˜o?
(c) Qual a imagem dessa func¸a˜o?
(d) Esboce a forma geral do gra´fico da func¸a˜o y = loga x se a > 1.
18. Determine se f e´ par, ı´mpar ou nenhuma das duas.
(a) f(x) = 5x3 + 2x
(b) f(x) = |x| − 3
(c) f(x) = (8x3 − 3x2)3
4
19. Esboce o gra´fico de f(x) =

x+ 2, se x ≤ −1
x3, se |x| < 1
−x+ 3, se x ≥ 1
20. Dadas as func¸o˜es f(x) =
2x
2x− 4 e g(x) =
x
x+ 5
, determine (f + g)(x), (f − g)(x), (f/g)(x)
e os seus respectivos domı´nios.
21. Dadas as func¸o˜es f(x) = x2 − 3x e g(x) = √x+ 2, determine (f ◦ g)(x), (g ◦ f)(x) e os seus
respectivos domı´nios.
22. Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de cada func¸a˜o. Na˜o use calculadora.
(a) y = log10 (x+ 5)
(b) y = − lnx
(c) y = ln(−x)
(d) y = ln |x|
23. Determine o domı´nio de f e f−1 e seu domı´nio
(a) f(x) =
√
3− e2x (b) f(x) = ln(2 + lnx)
24. Esboce o gra´fico das func¸o˜es e determine o per´ıodo de cada uma.
(a) cos(pix)
(b) cos
(
x− pi
2
) (c) sen
(
x− pi
4
)
+ 1
(d) 2sen(x+ pi)− 1
5
Respostas
1. (a) (12,∞)
(b) [9, 19]
(c) (−2, 3)
(d) (−∞,−2) ∪ (4,∞)
(e) [−1, 4
3
]
(f) (−3, 01,−2, 99)
(g) (−∞, 2
3
] ∪ [4,∞)
(h) (−∞, −17
7
) ∪ (−5
7
,∞)
2. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
3. (a) y = ex − 2
(b) y = ex−2
(c) y = −ex
(d) y = e−x
(e) y = −e−x
4. (a) 8− ex (b) e−x+4
5. (a) D(f) = {x ∈ R | x 6= 0, x 6= 2 e
x 6= −2}.
(b) D(f) = {x ∈ R | x 6= 1
3
e x 6= −5
2
}
(c) D(f) = {x ∈ R | x ≥ 3
2
e x 6= 4}
6
(d) D(f) = {x ∈ R | x ≥ 3
4
e x 6= 2}
(e) (−∞,+∞)
(f) (−∞, 0) ∪ (0,∞)
(g) (−∞,+∞)
(h) (−∞, 0]
6. (a) f(x) = 3.2x
(b) f(x) = 2.
(
1
3
)x
7. b)
8.
9.
10. (a) injetora
(b) na˜o e´ injetora
(c) na˜o e´ injetora
(d) injetora
11. (a) injetora
(b) na˜o e´ injetora
(c) na˜o e´ injetora
(d) injetora
(e) na˜o e´ injetora
(f) na˜o e´ injetora
12. f−1(9) = 2
13. g−1(4) = 0
14. -
15. (a) f−1 = −1
3
x2 + 10
3
, x ≥ 0
(b) f−1 = 3
√
lnx
16.
7
17. (a) E´ definida como a inversa da func¸a˜o exponencial com base a, isto e´,loga x = y ⇐⇒
ay = x
(b) (0,∞)
(c) R
(d) -
18. (a) ı´mpar
(b) par
(c) nem par e nem ı´mpar
19.
20. (f + g)(x) =
4x2 − 4x+ 10
2x2 + 6x− 20, D(f + g) = (−∞,−5) ∪ (−5, 2) ∪ (2,∞)
(f − g)(x) = 10− 4x
2x2 + 6x− 20, D(f − g) = (−∞,−5) ∪ (−5, 2) ∪ (2,∞)
(f/g)(x) =
2x+ 10
2x− 4 , D(f/g) = (−∞,−5) ∪ (−5, 2) ∪ (2,∞)
21. (f ◦ g)(x) = x+ 2− 3√x+ 2, D(f ◦ g) = [−2,∞)
(g ◦ f)(x) = √x2 − 3x+ 2, D(g ◦ f) = (−∞, 1] ∪ [2,∞)
22. (a)
(b)
(c)
(d)
23. (a) Domf = (−∞, 1
2
ln3], f−1(x) = 1
2
ln(3− x2), Domf−1 = [0,√3)
8
(b) -
24. (a)
(b)
(c)
(d)
9