Introdução à álgebra linear - Carakushanky M. S.

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INTRODUCÃO 
.-
À ÁLGEB� LINEAR 
Mina Seinfeld de Carakushansky 
Professora Assistente e Pesquisadora Assistente do 
Programa de Pós-Graduação do instituto de 
Matemática da UFRJ 
Guilherme Maurício 
Souza Marcos de La Fenha 
Professor Adjunto do instituto de Matemática da UFRJ 
Diretor do instituto de Matemáticà da UFRJ 
Pesquisador Titular dos Programas de Pós-Graduação 
do instituto de Matemática da UFRJ 
EDITORA McGRAW-HILL DO BRASIL LTDA 
SÃO PAULO 
RIO DE JANEIRO 
BELO HORIZONTE 
PORTO ALEGRE 
RECIFE 
AUCKLAND 
BOGOTÁ 
DUSSELDORJ.' 
JOHANNESBURG 
KUALA LUMPUR 
LONDON 
M ÉXICO 
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ST. LOUIS 
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Copyright Q 1976 da E'.ditora McGraw-Hill do Brasil Ltda. 
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1976 
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SÃO PAULO 
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RECIFE - PERNAMBUCO 
.Impresso no Brasil Printed in Brazil 
SLMÁRIO 
PREFÁCIO IX 
CAPITULO 1 - ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA EM R2 E R3 
1. Vetores Geométricos .................. . 
2. Vetores de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 
3 . Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 
4. Geometria Euclidiana no Plano e no Espaço . . . . . . 46 
CAPÍTULO II- SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES 
1 . Sistemas de Equações Lineares . . . · . . . . . . . . . . 65 
2. Álgebra de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 
3. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . 120 
4. Apêndice: Fluxogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 
CAPITULO III - ESPAÇOS VETORIAIS 
1. Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . 138 
2. Dependência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 
3. Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 61 
4. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 
5. Espaços Vetoriais Isomorfos . . . . . . . . . . . . . . . 1 82 
CAPITULO IV - TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
1 . Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 
2. Espaço Imagem de urna Transformação Linear . . . . 211 
3. Núcleo de urna Transformação Linear . . . . . . . . . 218 
4. Operações com Transformações Lineares . . . . . . . . 229 
5. Posto de urna Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 
CAPITuLO V - DETERMINANTES 
1 . Introdução corno urna Função Volume . . . . . . . . . 239 
2. Função Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 
3. Transposta e Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 
4. Cofatores e Menores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 
5. Regra de Crarner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 
SOLUÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 
iNDICE ANALITICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 
Para GERSON e meus filhos BETTY e MA URI 
M.S.C. 
Para MARIA CARMEM e MARIA ALICE 
G.L.P. 
PREFKIO 
Este livro foi desenvolvido a partir da experiência do primeiro autor em 
ministrar e coordenar o ensino das disciplinas de Álgebra Linear 1 e II, nos 
dois primeiros semestres do Ciclo Básico Universitário. Curnam, usualmente, 
tais disciplinas, estudantes recém-ingressos nas áreas de Matemática, Física, 
Engenharia, Química, Geociências e alguns de Biologia. A motivação principal 
foi o desejo de dar um tratamento conceituai moderno ao assunto, enfatizando­
se a interação em Álgebra Linear das influências geométricas e algébricas e, 
concomitantemente, dando igual atenção a uma abordagem que visa as 
aplicações e os métodos de cálculo, responsáveis por uma grande parte do 
interesse e da importância do assunto. 
Embora objetivando servir a propósitos de nível universitário, o texto 
abrange detalhadamente tópicos que são exigidos usualmente nos programas de 
exames vestibulares e nas últimas séries do 2<? grau. Assim, o nível do texto 
situa-se nessa região de transição, tendo sido envidados esforços no sentido de 
torná-lo totalmente acessível ao estudante nesse estágio. 
Como os métodos da Álgebra Linear constituem novidade para muitos 
estudantes, a ênfase reside em cálct..:os e interpre�ações geométricas em f.2 e IR3 
d-e modo a dar tempo para que absorvam conceitos com os quais não �stejam 
familiarizados. Desse modo teve-se em mente as seguintes regras mestras: 
(1) o texto deveria ser de conteúdo tão geométrico quanto possível, objetivando­
se amenizar sua abstração natural; (2) a abordagem de determinantes deveria ser 
breve, porém calcada em conceitos úteis para generalizações, desenfatizando-se 
seu caráter de ferramenta de cálculo de baixa eficiência e discutida utilidade; 
(3) os tópicos a serem abreviados sob a pressão de tempo limitado para expô-los, 
deveriam ser os espaços vetoriais e as transformações lineares, sob o ponto de 
vista intrínseco. Optamos, portanto, pelo seguinte material: uso de vetores em 
geometria analítica, sistemas de equações lineares e seus métodos computacio­
nais, os espaços vetoriais reais e as transformações lineares desses espaços, 
assim como os determianntes interpretados como áreas e volumes. 
Espera-se que o instrutor use sua experiência para ajustar o nível da 
disciplina às habilidades de sua classe, procurando equilibrar adequadamente o 
concreto e a generalização. 
Desejamos agradecer de maneira particular às várias classes de alunos que 
estudaram pelas notas de aula preliminares, a partir das quais este texto foi 
desenvolvido. A contribuição desses estudantes anônimos é bem maior do que 
eles pensam. 
DIOMARA PINTO, ANTÔNIO HENRIQUE ABRANCHES e MARCOS 
ROITMAN, resolveram a maioria dos exercícios prop0stos; as respostas no 
final do livro são devidas a eles. 
Agradecemos, também, as críticas valiosas ao original, de ÉLON LAGES 
LIMA (IMPA-CNPq) e a cooperação de AUGUSTO CÉSAR MORGADO 
IM-UFRJ. 
JOSÉ PAULO QUINHÕES CARNEIRO realizou um incansável e cuidado­
so trabalho ao completar o conteúdo de algumas seções dos capítulos 1 e V, 
bem como durante a revisão final e verificação da consistência geral do texto. 
Sem tal cooperação dedicada, a publicação do livro necessariamente teria de 
ser aàiada. A ele ficamos devedores de mais agradecimentos do que poderiam 
aqui caber. 
1'as várias etapas do nosso trabalho foi feito uso do apoio financeiro 
provido pela COPERTIDE e CEPG-UFRJ, bem como da FINEP, mediante 
recursos oriundos de Convênio com a UFRJ, destinados ao INSTITUTO 
DE MATEMÁTICA. Registramos aqui, o agradecimento por tão imprescindível 
suporte. 
Finalmente, desejamos agradecer a datilografia exemplar de WILSON 
GÓES, e a continuada cooperação de ARLINDO COUTINHO DE AZEVEDO 
e da Seção de Reprografia do IM-UFRJ, na confecção de textos preliminares e 
notas de aula para uso em classe, nos últimos dois anos. 
julho de 1976 
M.S.C. e G.L.P. 
"You may be faint from many a fall, 
And bruised by many a bump; 
But if you persevere through all, 
And practise first on something small, 
Concluding with a ten-foot wall, 
You'll find that you can jump!" 
Lewis Carroll 
Sylvier and Bruno C., 1 893 
O\PÍTUL01 
1. VETO R ES GEOMÉT R I COS 
Al�bra vetori?I 
egeometna 
emlR2elR3 
Em Física, uma grandeza que possui tanto uma medida ou magnitude
quanto uma direção e um sentido sobre esta direção é chamada de vetor. Este 
é o caso, por exemplo, de grandezas físicas tais como forças, deslocamentos, 
velocidades e acelerações. Usualmente, uma tal grandeza é representada por 
uma seta. 
Por exemplo, um deslocamento em um plano ao longo de um caminho 
em linha reta de um ponto A até um ponto 8 pode ser representado por uma 
seta (fig. 1 -1). Imaginemos agora que a tal deslocamento segue-se um outro 
análogo, do ponto 8 ao ponto C. Evidentemente, o resultado será um 
deslocamento de A até C (fig. 1-2). 
I NTRODUÇÃO À Á LGEBRA L I NEAR 
B 
A 
Fig. 1.1 Fig. 1.2 
Representemos por AS e BC, respec tivamente, o primeiro e o segundo 
deslocamentos. Podemos representar o deslocamento ao longo do caminho em 
linha reta de A até C por AC = AB +Bê indicando assim, que o resultado é o 
mesmo que se efetuássemos o deslocamento AB e a seguir o deslocamento BC. 
Como um vetor é uma grandeza que po•sui ·magnitude, direção e 
sentido, ele e completamente determinado desde que conheçamos essas suas 
três características. Ao considerarmos uma representação geométrica de um 
vetor como uma seta no espaço, no plano ou simplesmente sobre uma reta, é 
claro que duas setas de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido 
representam o mesmo vetor. Em outras palavras , estamos convenciona!"'.do que 
se desejamos considerar a representação geométrica de vetores, podemos 
sempre considerá-los com uma mesma origem. 
Após esta curta motivação, podemos tornar esses conceitos intuitivos um 
pouco mais precisos sob o ponto de vista matemático. Uma seta é 
simplesmente um segmento de reta ori entado no espaço ; isto é, um segmento 
de reta com um extremo privilegiado. Este extremo é chamado de 
extremidade da seta, enquanto o outro é a origem da seta. Empregamos a 
palavra "seta" apenas como uma ab reviação da expressão "segmento de reta 
orientado". Se A e B são pontos do espaço, ueta que representa o 
deslocamento de A até B é indicada usualmente por AB, sendo A sua oriE;em e 
B sua extremidade. O comprimento do segmento de reta compreendido entre 
A e B é chamado de comprimento da seta AB. 
Dois segmentos de reta orientados paralelos e não coincidentes possuem 
o mesmo sentido se as retas que unem as origens e as extremidades respectivas 
de::ses segmentos não se interceptam no interior do qua4rilátero determinado 
por esses quatro pontos; caso contrário, os segmentos orii:ntados são de 
sentidos opostos. (Defina o que se entende por segmentos orientados de 
mesmo sentido sLlmb2!.,estiverem contidos em uma mesma reta.) Assim, na 
!'!& 1-3 as setas AB e CD são de �smo sentido, enquanto na fig. 1-4 a seta 
EF tem sentido oposto ao da seta AB. 
É necessário que se considerem também setas AB em que B = A, isto é, 
setas do tipo ÃÂ; em termos de interpretação física, tais setas representam 
uma ausência de deslocamento, ou ;nelhor, um deslocamento nulo; por este 
motivo elas são chamadas setaç nulas. É claro que o comprimento de uma seta 
ÁLGE B RA VETO R I A L E GEOMETR IA EM JR2 E JR3 3 
Fig. 1.3 
nula é zero. Se AA é uma seta nula e BC é uma seta qualquer, sempre existe 
passando por A e A (isto é, por A) uma reta paralela a uma reta que passa por 
8 e C. Deste modo, podemos dizer que uma seta nula é paralela a todas as 
setas. No entanto, não se deve falar em "sentido" de uma seta nula. 
Duas setas não nulas AiB; e � serão ditas eqüipolentes se estiverem 
relacionadas pelas seguintes condições: 
(E1) AiÍi é paralela a A;B2; 
(E2) Ai8i e A;"B; possuem o mesmo sentido; 
(E3) Ais: e A;"H2 possuem o mesmo comprimento. 
Completa-se a definição exigindo que todas as setas nulas sejam eqtiipolent"s 
entre si. 
Se duas setas Ai81 e A2 82 são eqüipolentes, indicamos tal fato por 
A.B. -� (lê-se, J\;81 é eqüipolente a A2 B2 ). A relação de eqüipolência 
de setas é tal que 
Toda seta é eqüipolente a si própria. 
Se uma seta Ailf 1 é eqüipolente à seta A;B2, então A;"B2 é 
eqüipolente a A1 81 . 
Se uma seta A1 81 é eqüipolente à seta A2 82, e se esta, por 
sua vez, é eqüipolente à seta A;li3 , então }\i81 é eqüipolente a A3 83• 
Simbolicamente, essas propriedades são denominadas e se escrevem 
como : 
Reflexividade: Ai1i'1 -Ai81 quaisquer que sejam os pontos A1 e 
81 . 
'4 
(P�) 
(PE3) 
I NTRODUÇÃO À Á LG E B RA LI NEAR 
então 
Temos agora em mãos um número suficiente de conceitos para 
caracterizar formalmente um ve.tor geométrico. 
Definição: Sejam A e B pontos do espaço. O vetor (geométrico) U associado a 
seta AB é a classe das setas eqüipolentes a AB. Simbolicamente 
e o vetor U é dito determinado pela seta AB. 
A definição de vetor merece �umas considerações. Em primeiro lugar, 
um vetor U associado a uma seta AB fica caracterizado como o conjunto de 
todas as setas que são eqüipolentes a AB, isto é, as setas PQ que satisfazem as 
condições (E1 ), (� ) e (E3 ). Por outro lado, dado um vetor U a ele 
corresponde uma infinidade de setas, entretanto, em virtude das propriedades 
(PE1 ), (P� ) e (PE3) qualquer seta PQ E U caracteriza de modo único o vetor 
(geométrico) U. 
Dado um vetor (geométrico) U, uma seta AB E U é chamada um 
representante de U. Deve ser observado que a definição de vetor (geométrico) 
torna matemática a caracterização física do que entendíamos por vetor; uma 
seta pertencente a um vetor nada mais é que uma representação geométrica 
desse vetor. Observamos que se considerarmos todas as setas do espaço que 
possuem a mesma origem estaremos caracterizando através de representantes, a 
totalidade dos vetores do espaço. 
Como setas são representantes de vetores (geométricos), é natural 
transferir para estes algumas definições originárias das primeiras. 
Seja AB uma seta representativa do vetor U; o comprimento desta seta é 
chamado de módulo do vetor U. Este número real não negativo assim definido é denotado por llUll. Se a extremidade B e a origem A do representante de U 
coincidem, dizemos que este vetor é o vetor zero, distinguindo-o com a 
notação O; portanto, o vetor zero é a coleção de todas as setas nulas, e temos 
11011=0. 
Como iremos insistir no fato de que um vetor pode ser representado por 
uma seta de origem arbitrária , algumas vezes diremos que o vetor é livre, ou 
na terminologia tradicional da Física, que é um vetor livre. Qualquer seta 
representante de um vetor pode ser chamada um vetor ligado. 
Dois vetores U e V são ditos colineares quando seus representantes, de 
origens coincidentes, são setas sobre uma mesma reta. O vetor zero juntamente 
com qualquer outro vetor, forma um sistema de dois vetores colineares. 
Á LGE B RA VETO R I AL E GEOMET R I A EM IR2 E IR3 
B 
; 
....,.:... _____ _ _______ ___ _ ___ __ _ 
/ 
; 
; 
, 
/ / 
-·-·�'e 
· --·=-:�-��------------------- - ------ -O O' 
(a) 
Fig. 1.5 
(b) 
5 
B' 
Três vetores U, V e W são ditos coplanares se seus representantes, de 
origens coincidentes, são setas sobre um mesmo plano. O vetor zero 
juntamente com dois outros vetores quaisquer, forma um sistema de três 
vetores coplanares. 
Dois vetores U e V serão ditos de mesmo sentido (ou de sentidos ---+ ---+ 
opostos) se representantes Ali e EF de U e V respectivamente possuem o 
mesmo sentido (ou sentidos opostos). 
Como é dado ver ao leitor, vetores herdam propriedades de seus 
representantes, ou seja, estes determinam o comportamento daqueles. 
Interessa-nos agora definir . regras que nos permitam combinar vetores de modo 
a produzir novos vetores fazendo uso desse princípio. 
Definição : Dado um par de vetores U, V, se construirmos um representante 
--+ -----. . ---+ 
OA de U e o representante AB de V, a seta OB determina, qualquer que seja a 
origem O, um único vetor W denominado soma dos vetores U e V. Escrevemos ---+ ---+ ---+ 
nesse caso OB = OA + AB e W = U + V. (fig. 1 -5 (a))
A unicidade do resultado da operação de adição de dois vetores decorre 
de equivalências lógicas ao considerarmos a mesma construção a partir de uma 
nova origem O' (fig. 1-5 (b )) . Tem-se 
o - Ü'Ã' � oo· - AÃ' 
e 
pela propriedade dos lados de um paralelogramo combinado com a definição 
de setas no mesmo sentido. A transitividade da relação de eqüipolência nos 
permite concluir então que w -rnr e portanto, fazendo uso do raciocínio �� 
anterior, que OB -O'B' ficando assim definido um único vetor W soma de U 
e V. 
6 I NTRODUÇÃO À ÁLGEBRA L INEAR 
_ �serv�os __jUe para obtermos a soma õÃ + ÃB = OC + CB (com 
OA �cB e All �OC) basta completar o paralelogramo com OA e OC como 
lados adjacentes e a seta da origem O ao vértice oposto representa a soma 
U + V. Por esta razão tal regra é chamada usualmente de "regra do 
paralelogramo para adição de vetores". 
Devemos notar que devido à definição do vetor zero tem-se: 
O + V= V = V + O. 
Nos casos excepcionais da soma onde a extremidade B da seta representativa 
de V coincide com a origem O da seta representativa de U tem-se como 
decorrência da definição de vetor O que 
U + V = O. 
A 
O = B 
Fig. 1.6 
Em seguida, definimos o que se entende por um múltiplo de um vetor. 
Definição: Seja À um número real não nulo. Chamamos múltiplo escalar do 
vetor V pelo número real X, o vetor denotado por X V e determinado pelas 
condições : 
a) X V e V são colineares; 
b) Se õA e OA' são representantes de V e X V respectivamente, então o 
comprimento de OA' é o valor absoluto de X multiplicado pelo 
comprimento de ÕÃ; 
c) X V tem o mesmo sentido de V se X for positivo e sentido oposto se X for 
negativo. 
Convencionaremos definir a multiplicação do número real zero por 
qualquer vetor como sendo o vetor zero : OV =O. 
Além disso, se V é o vetor zero, a parte (c) da definição de X V perde o 
i.ignificado, enquanto a parte (a) é automaticamente satisfeita; porém a parte 
(b) obriga a que neste caso X V tenha comprimento O. Portanto, define-se 
também ÀÜ = O, para q1Jaiquer número real À. 
ÁLGE B RA VETO R I A L E GEOMETR I A EM IR2 E 1R3 7 
Isto completa o processo de definir operações algébricas para vetores. 
Exemplo 1 - Quaisquer que sejam os pontos A e 8 distintos, um ponto P 
pertence à reta determimda por A e 8 se e somente se AP = À AD para algum 
escalar X. Em particular, o ponto Q ta� que AQ = r AB, onde O < r < l , divide 
o segmento AB na razão r: { l -r). Se r = 1/2 , o ponto Q correspondente é o 
ponto médio de AB. 
_ _. 
Fig. 1.7 
Para distinguir grandezas representadas por vetores daquelas 
repre�entadas por números, a Física chama as primeiras de grandezas vetoriais 
e as últimas são ditas grandezas escalares. Por tal motivo, na multiplicação X V, 
X é dito um escalar. 
Teorema 1 -- As seguintes identidades se verificam para quaisquer vetores U, 
V, W e para todos os escalares À, Ã1, Ã2: 
(A1 ) A adição é comutativa, 
(A2) A adição é associativa, 
U + V = V + U. 
U + (V + W) = (U + V) + W. 
(A3) A adição possui um elemento neutro, o vetor O: 
U + O = U. 
(A4) Todo vetor possui um inverso aditivo, isto é, a equação U + X= O 
possui uma única solução, denotada por X= -U. 
(M1) 1 E IR é a identidade multiplicativa, 
1 u = u. 
U 12) Associatividade de escalares, na multiplicação por escalar, 
8 I NTRODUÇÃO À Á LG E B RA L INEAR 
(AM) Distributividade relativa das duas operações 
(AMi) À(U + V) = ÀU + i\V 
(AM1) (À1 + À2)U = À1 U + À2 U 
Prova: (A3) e(Mi) são conseqüências imediatas das definições das operações. 
As outras afirmações, no entanto; requerem demonstração. Demonstraremos 
(Ai), (A2 ), (A4) e (AMi). As demonstrações restantes são pedidas como 
exercícios. 
(A1) Na fig. 1- 5 (a) seja OC um representante de V, de origem O. A 
equivalência 
mostra que ai é um representante de U; resulta então que õii que já 
determina U + V , determina também V + U. 
(A2) Construindo-se os representantes ÕÃ, AH e BC dos vetores U, V e W 
respectivamente, podemos escrever (fig. 1-.8): 
_ {08 + BC= (õA + AB) + BC 
oc = 
õA + i\C = õA + (ÃB + se) 
B 
- - - ----
--
-- -- -----
-- -...... ---
......... """"' --- -
-- ---
º ,:;::"..---
-
Fig. 1.8 
-
e 
----
Assim, OC é ao mesmo tempo, um representante de (U + V) + W e de 
U + (V + W), daí a igualdade entre os vetores correspondentes. 
(A.i) Se AB é um representante de U, tomemos como V o vetor 
determinado por RÃ. Tem-se que U + V é determinado por AÃ, logo 
U + V= O (ver fig. 1-6). Logo tal V é uma solução da equação 
U + X = O. Por outro lado, suponha que W seja outra solução desta 
equação, isto é, U + W = O. Então, U + V = U + W. Tem-se 
sucessivamente: 
ÁLG E B RA VETO R I A L E G E OMETR I A EM IR2 E IR3 9 
V + (U + V) = V + (U + W) (A2) 
(V + U) + V = (V + U) + W (Ai) 
O + V = O + W 
V = W 
Portanto qualquer "outra" solução é igual a V, que se designa de 
agora em diante por - U. 
É interessante notar que -U = (-I)U; de fato, 
U + (-l)U = I.U + (-l)U = (1 + (-i))U 
(Mi) (AM2) 
ou = o 
(def.) 
o que mostra que (-l)U é solução da equação U + X = O e portanto igual a -U. 
(AM1 ) Sejam ÕÃ e AB representantes de U e V, respectivamente. Então OB 
é representante de U + V. Distinguimos dois casos: 
B' 
--+ -(i) Se OA e AB são co!ineares, O, A e B estão sobre a mesma reta e 
---+ --+ � --+ --+ --+ 
08 = OA + AB � À 08 = À OA + À AB. --+ ----+ --+ 
Assim as três setas À 08, À OA e >..AB são representantes de X(U+V), 
XU e ÀV logo À(U + V) = XU +XV. 
(ii) Se õÃ e AB não são colineares, construímos o ponto A' tal que 
OA' = À õA. A ret�aralela a AB passando por A' encontra a 
reta que contém OB em um ponto 8' que satisfaz a seguinte 
razão de comprimentos: 
OA' 
OA 
o 
08' 
OB 
8 
A 
Fia. 1 .9 
AB (
= IXI) 
A'8' 
8' 
8 
1 0 I NT RODUÇÃO À ÁLG E B RA L I NEAR 
Na fig. 1-9 tem-se em ambos os casos, 
08· = x õB e A'B· = x Ali. 
Assim 
08· = õA· + A'B· 
!ogo 
O caso À = O é imediato. 
O resultado a seguir mostra que é desnecessária uma definição em 
separado de subtração de vetores. 
Corolário: Toda equação da forma 
U+X=V 
possui uma única soluçífo dada por 
X= V+ (-i)U =V+ (-U). 
Se abreviarmos V+ (-i)U =V+ (-U) pela expressão V - U, as seguintes 
propriedac!es são válidas: 
(Si) U -- (V+ W) = (U - V) - W = (U - W) - V. 
(S2) U - - (V - W) = U + (W - V)= (U - V)+ W. 
Exemplo 1 · - Vamos mostrar que quaisquer que sejam os viitores geométricos 
U e V, tem-se: 
(D1 ) nu-� VII � llUll + llVll 
(D2) nu VII ;;;. l llUI! -- llVll I 
Sol•1ção: 
(D1) Seja AH um representante de U e BC o representante de V. Então no 
triângulo ABC (fig. 1-10), ÃB +Bê= AC. Da geometria plana sabemos 
que o comprimento de um lado de um triângulo é menor ou igual à 
soma dos comprimentos dos outros dois lados. Assim, 
nÃCll � llABll + llBCll 
ÁLGE B R A VETO R IA L E GEOMET R I A EM IR2 E IR3 11 
c 
Fig. 1 . 10 
como AC é representante de U + V e por definição o módulo de um 
vetor é o comprimento de um (e, portanto, de todos) de seus 
representantes, tem-se (D1) chamada de "desigualdade triangular". 
O leitor deve completár a demonstração no caso de A, B e C serem 
colineares. 
(D2) Tem-se: 
e de (Di) 
ou 
llU li = li (U - V) + V li 
llU-Vll+ llVll� llUll 
nu - V li � llU li - llV li. 
Se llUll � llVll, então llUll - llVll = 1 llUll - llVlll e (D2) fica demonstra­
da. Se llUll < llVll, o resultado pode ser demonstrado pela simples per­
mutação de U por V. 
EXE R CfCI OS DA SEÇÃO 1 
1. Neste exerc1c10, por conveniência, o vetor U associado à seta AB é -
indicado pela notação U AB]. Assim 
- { --+ --+ --+ } [ AB Il == U = PQ I PQ - AB 
Demonstre os seguintes fatos: 
� --+ ----+ � 
a) Se A'B' E �ABD então UA'B'] = ffAB]
r. r�rocamente. 
b) Se existe pelo menos uma seta PQ tal que PQ E [ABD e PQ E [CDD então 
nAlin = 11c6n. ---+ -+- --+ ---... e) Se a seta AB não é eqüipolente à seta CD então [ AB D i= 0 CD]. 
d) Conclua de (b) e (e) que dados OABD e l[CDD tem-se apenas duas 
escolhas: ou liABil = UCÕ] ou l[Ã.B] e OCO] não possuem setas em 
comum, isto é, li AH D n li CD D = </J . Deduza deste fato o critério de 
igualdade de dois vetores como decorrência da eqüipolência de setas. 
1 2 I NTRODUÇÃO À ÁLGEBRA L INEAR 
2. Sejam p e q números inteiros. Uma fração p/q pode ser considerada como 
um par ordenado (p, q) de números inteiros com q =f. O. O conjunto de 
todas as frações é, portanto, Z X z=f. () onde z=f. 0 denota O conjunto dos 
números inteiros Z excluído o zero. Duas frações (p, q) e (m, n) são ditas 
"iguais" se mq = np (isto é, p/q = m/n). Mostre que esta relação de 
igualdade satisfaz as condições (PEi), (PE1) e (PE3) (com a substituição 
de "seta AB" por "fração (p; q)" e de "eqüipolente" por "igual"). 
Verifique agora que a classe das frações "iguais" a (p, q) define 
simplesmente o número racional p/q, assim, o conjunto Q dos números 
racionais nada mais é que o conjunto Z x z-=l=-0 juntamente com a relação 
de igualdade de frações. Refaça agora o exercício precedente com a 
substituição de "vetor" por '.'número racional" e "seta" por "fração". 
3. Construa os diagramas necessários à comparação de 
(U + V) + (W + Z), (U + V + W) + Z e U + (V + W + Z) 
4. Construa os diagramas usados na demonstração de 
(i) 2( U + V) = 2U + 2V 
(ü) (- 1) (U + V) = (-l)U + (-l)V 
(iü ) (AM2): (À1 + À2 )U = À1 U + À2 U 
5 . Demonstre as proposições (M2 ) e (AM2 ) do teorema 1 . 
6 . Demonstre o corolário do teorema 1 sem construir diagramas. 
7. (i) Se U e V são vetores colineares e U =f. O mostre que existe um escalar 
À único tal que V = >..U. 
(ii) Demonstre que a condição necessária e suficiente para que dois 
vetores U e V sejam colineares é que exista pelo menos um par de 
números reais À, µ , não simultaneamente nulos tais que 
>..U +µV= O 
(ili) Sejam ÕÂ, õ8 e õê três setas de mesma origem, sendo duas a duas 
não colineares. Se À, µ , v são três escalares nem todos nulos tais que 
À+ µ + v = O e À ÕÃ -r µ OB + v õC = 00 = O, então as extremidades 
A, 8 e C dessas setas estão sobre uma �esma reta. 
8. (i) Se U e V são vetores não colineares, mostre que qualquer vetor 
coplanar com U e V é da forma >..U + µ V onde À e µ são escalares. 
(ü) Demonstre que a condição necessária e suficiente para que os vetores 
ÁLG E B RA VETO R I A L E GEOMETR I A EM IR2 E IR3 13 
U, V e W sejam coplanares é que exista pelo menos um temo de 
números reais À, µ , v, não nulos simultaneamente tais que 
ÃU + µV + vW = O . 
Sejam ÕÂ, ÕB, ÕC e ÕÔ setas de mesma origem, sendo três a três 
não coplanares. Se À, µ. , v, � são escalares, nem todos nulos tais que 
À + µ + v + � = O e À õÃ + µ õ8 + v OC + � õD = ÕÕ = O, então as 
extremidades A, B, C e D dessas setas estão em um mesmo plano. 
9. Demonstre 
(i) llÃUll = IÃI llUll 
(ii) ÃU = O => :>. = O ou U = O 
(iii) Ã1 U = Ã2 U, U * O => À1 = Ã2 
(iv) ÃU1 = ÃU2, À* O => U1 = U2 
10. Sejam A, B e C três pontos não colineares. Denote o vetor associado à 
seta AB por U e o vetor associado a AC por V. 
(i) Se Pé o ponto médio do segmento BC escreva o vetor associado a 7\P em 
termos de U e V. 
(ii) Se Q é o ponto do segmento BC cuja distância de B é À vezes o compri­
mento de Bê onde O < À < 1, escreva o vetor associado a AQ em termos 
de U e V. 
[Sugestão : AQ = AB + BQ; BQ = À BC e BC se escreve como diferença entre 
"AB e AC.J 
11. Sejam A e B dois pontos dados. Sendo P um ponto arbitrário, seja Q o ponto 
simétrico de P em relação a A (isto é, A é o ponto médio de PQ) e seja R o 
ponto simétrico de Q em relação a B. Mostre que qualquer que seja P, as 
setas PR definem um único vetor geométrico, isto é, são todas eqüipolentes. 
Observação: Note que temos sido descuidados, falando às vezes do "vetor 
representado por OP", outras vezes chamando-o simplesmente "o vetor @• e 
algumas referindo-nos apenas a "ÕP". Isto é feito deliberadamente, sendo 
prática usual dos matemáticos. A utilização de frases meticulosas é um 
esnobismo supérfluo, quando o ponto crucial foi descoberto. Também, o 
qualificativo (vetor) "geométrico" não foi utilizado consistentemente por 
ainda não termos necessidade de assim distingui-lo. 
1 4 I NTRODUÇÃO À ÁLG E B R A L I N EAR 
2. VETOR ES DE COOR D E NADAS 
Vamos discutir nesta seção as correspondências fundamentais existentes 
entre objetos geométricos e algébricos, nas quais se baseia a Geometria 
Analítica. Tais corresponaências tornam possível resolver problemas 
geométricos através de procedimentos algébricos, bem comn traduzir que�tões 
algébricas em linguagem geométrica. 
Do ponto de vista elementar, três casos diferentes podem ser 
distinguidos : geometria na reta, em um plano e em todo o espaço. 
Cvrrespondentes a essas geometrias tem-se a álgebra dos números reais, a dos 
pares desses números e a dos ternos de números. Tais correspondências dão 
margem à generalização algébrica do conceito de vetor. 
Simboliznemos por R 1 ou por IR o conjunto de números reais munido 
das operações de soma e produto desses números . O conjunto dos pares 
ordenados de númeres reais é o produto cartesiano R x R que escrevemos 
como R2• Por IR.3 denotaremos o conjunto dos ternos ordenador de números 
reais. 
Sabemos que um número real x 1 pode ·ser usado para representar um 
ponto P1 em uma reta orientada desde que, nessa reta , estejam distinguidos 
um pontp O, chamado origem, ao qual associamos o número O E R, e um 
ponto E1 , dito .unidade, ao qual associamos o número 1. O número x 1 
associado a P1 é chamado de coordenada de P1 e a a3sociação x1 tt P1 
estabelece uma aplicação bijetiva ou bijeção entre números reais e os pontos 
de uma reta. Graficamente, tem-se a representação indicada na fig. 2-1 . 
Fig. 2.1 
Um par de números reais [x1 , x2 ) E IR.2 pode ser usado para represen­
tar um ponto P2 em um plano, no qual estabelecemos um sistema de coordenadas 
retangulares. A associação [Xi x2 ] # P2 define uma bijeção entre os pares 
ordenados de números rellis e os pontos de um plano referidos a esse sistema de 
coordenadas (fig. 2-2). A origem O terá coordenadas [O , O] , ao ponto E1 
ÁLGE B R A VETO R I A L E GEOMETR I A EM IR2 E IR3 
o 
X 1 
- -------------------------., P2 .,_. [x 1 ,x2 ] 
Fis. 2.2 
' 
: X2 1 1 
1 1 1 
1 5 
uniuade do eixo horizontal está associado o par [ 1 , O] enq-.umto [O, 1 ] são as 
coordenadas do ponto E2 , unidade do eixo vertical. 
Procedendo de modo análogo no espaço com três eixos de coordenadas 
mutuanente perpendiculares, estabelecemos uma bijeção [x 1 ,x2 ,x3 ] .,_. P3 entre 
ternos de números reais e os pontos do espaço referidos a esse sistema de 
coordenadas (fig. 2-3). 
'" ' 
\ 
\ \ 
\ \ \ ' 
\ 
Fig. 2.3 
\ \ \ 
\ 
Fazemos agora duas observações importantes : 
' \ P3 +-> [X1 ,X2 ,X3 ) 
� 1 
1 . Como um vetor pode ser representado geometricamente por uma seta de 
origem O e a extremidade em um ponto do espaço, esta representação fica 
completamente determinada se conhecermos o ponto extremidade dessa 
seta. 
16 I NTRODUÇÃO À ÁLGEBRA L I NEAR 
2. Como um ponto do espaço em coordenadas retangulares é determinado 
univocamente por suas coordenadas que, por sua vez, constituem um terno 
ordenado de números reais, um vetor admite l,lma representação algébrica 
como um terno ordenado de números reais. 
Elaboremos esta segunda observação. Seja U um vetor geométrico e ÃB uma 
qualquer de suas setas representativas. Se O é qualquer ponto fixo no espaço, 
a seta AB é eqüipolente a uma seta ÕP. Escolhendo-se wn sistema retangular 
de coordenadas de origem
em O, a seta OP é univocamente determinada pelas 
coordenadas [ x1 ,x2 ,x 3 ] do ponto P. Estas são também chamadas de 
coordenadas da seta ÃB relativamente ao mesmo sistema de coordenadas, 
(fig. 2-4). 
Definição: As coordenadas do vetor geométrico U, relativamente a wn sistema 
retangular de coordenadas de origem em O, são as coordenadas do ponto P tal 
que a seta õP é a representante de U com origem em O. 
Fig. 2.4 
Se um vetor geométrico U tem coordenadas x1, JÇ.2, x3 ·relativamente a 
um dado sistema de coordenadas, escrevemos 
dizemos que [ x1 ,x2 ,x3 ] é o vetor de coordenadas que corresponde ao vetor 
geométrico U. 
Deve ficar claro que quando um vetor geométrico é representado por seu 
vetor de coordenadas [ x1 ,x2 ,x3 ] , fixou-se antes um sistema de coordenadas. 
Se consideramos dois sistemas de coordenadas, os vetores de coordenadas 
correspondentes a um mesmo vetor geométrico serão, em geral, distintos. 
ÁLGEBRA VETO R I A L E GEOMETR I A EM IR2 E IR3 17 
Concluímos assim que, uma grandeza vetorial da Física pode ser 
representada : ( 1 ) por uma seta partindo da origem de um sistema retangular 
de coordenadas, ou (2) por um ponto referido a esse sistema de coordenada3, 
ou aiilda (3) por um terno de números reais. 
Em geral é difícil para o estudante aceitar o fato de que três conceitos 
distintos (uma seta, um ponto e um terno ordenado de números reais) são 
representações do mesmo objeto matemático chamado vetor. É importante 
aceitar este fato de imediato e sentir-se à vontade utilizando a representação 
que se adaptar mais convenientemente a cada tópico particular em estudo. Por 
exemplo, iremos definir uma reta como um certo conjunto de vetores. Neste 
caso , é mais fácil pensar cada vetor como um ponto, pois intuitivamente 
imagina-se uma reta como um conjunto de pontos, não como um conjunt5> de 
setas ou um conjunto de ternos ordenados de números reais. 
Claramente, o estudo de vetores colineares envolve apenas o estudo de 
setas ou pontos sobre uma mesma reta; neste caso, o vetor de coordenadas é 
constituído de um único número real x1 E IR1 e chamado de vetor 
unidimensional de coordenadas. 
No estudo dos vetores coplanares, os pontos ou setas estão todos em um 
mesmo plano e o vetor de coordenadas correspondente consiste de um par 
ordenado [ x 1 ,x2 ] E R 2 , dito um vetor bidimensional de coordenadas. No 
estudo do espaço usual da geometria, o vetor de coordenadas é um terno de 
números reais [x 1 ,x2 ,x3] E IR.
3 chamado de vetor tridimensional de 
coordenadas. 
o 1 Y2 
3 
���0-k;:-������,-��� x, 
1 -1 2 -- - -- ------- l 
[ 3 , - 1 -y] 
-- ---------;, ... 
,,'' 
�����-11>----<>--��--��������-- x2 2: 
1 1 1 1 1 
1 1 
: 1 1 1 1 >------- -{ -- [ - 1 , 2, -3 ] ,' 1 ,/ ,' 1 , 
-3 �----------j,,'' 
Fig. 2.S 
I NTRODLiCÃO À ÁLGEBRA L INEAR 
Exemplo 1 - A fig. 2-5 representa o s vetores de coordenadas 
..J2 E IR1, l3, - -} J E IR2 e [- 1, 2 -3] EIR3 
Estamos agora diante de um pequeno problema: um vetor geométrico U 
pode ,ser representado por qualqt1er de suas setas; ent retanto, seu vetor de 
coorde:iadas foi definido baseado na escolha específica de uma dessas setas, a 
de origem em O. Vamos mostrar agora. que essa escolha é apenas conveniente 
e não compu:sória. 
Seja AB uma seta representat iva do vetor U, em um mesmo sistema de 
coordenadas retangulares no espaço, sejam A'"' [ a1 , a2 , a3 j e B'"' [b 1 , b2 , b3 ]. A 
seta AB fica completamente caracterizada no espaço pelas coordenatias 
[a 1 ,a2 ,a3) de sua origem A e pelas diferenças u 1 =b 1 -a 1 , u2 =b2 --a2 , 
u3 = b3 -a3• Tal informação determina as coordenadas da extremidade B 
como b 1 = a 1 + 11 1 , b2 = a2 + u2 , b3 '""'a3 + u3• Se deslocarmos a seta AB 
paralelamente a si mesma, de modo a obter uma seta OP, evidentemente, as 
coordenadas do ponto A serão mudadas. Entretanto, a mudança na i-ésima 
coordenada aj(i = 1,2,3) do ponto A será exatamente a mesma que a mudança 
na i-ésima coordenada bi de B. Logo as diferenças bi-ai das coordenadas 
permanecerão inalteradas. Como as coordenadas de O são [0,0 ,0] , as de P 
serão evidentemente [ u1 ,u2 ,u3 ) . Chamamos os números bi-ai = Ui de 
componentes do vetor U. Se [x 1 ,x2 ,x3 ] é o vetor de coordenadas 
correspondente a U então x1 = u1 , x2 = u2 , x3 = u3 , isto é, setas eqüipolen�es 
possuem o mesmo vetor de coordenadas. Observe que SP- o vetor U 
representado por AB tem componentes b 1 -a 1 , b2 -a2 , b3 �a3, o vetor -U - -·� 
representado pela seta BA = (-1 ) AB tem componentes a 1 -b 1 , a2 -b2 , a3 -b3 • 
OP'-PÕ 
P' 
X2 
B :: ::�_::::-�-------10 _____ l A8- üP 
1 1 a2 ----- -r--------- U1--.I , A' 1 1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
Fig. 2.6 
Á LG E B R A VETOR I A L E GEOMET R I A EM IR1 E IR3 19 
Então: 
U = [x1 ,x2 ,x3 ] se e só se -U = [-x1 ,-x2 -x3 ) . 
A fig. 2.6 ilustra estes fatos emlR2• 
Vejamos em seguida como as operações de soma de vetores geométricos e de 
cálculo do múltiplo escalar de um vetor geométrico se transferem para vetores 
de coordenadas. Essa transferência é fundamental para tornar algébricas as 
operações geométricas. 
Considere dois vetores U = [ u1 ,u2 ,u3 ] e V = [ v1 ,v2 ,v3] Dado um ponto 
arbitrário A do espaço, seja AH a seta representativa de U e BC a ---+ 
representativa de V. A seta AC é então a representativa de U + V= W 
(fig. 2-7). Seja W = [w1 ,w2 ,w3 ] 
Fig. 2.7 
As componentes do vt..tor W podem ser detenninadas simplesmente a 
partir das de U e V. Sejam [ x1, x2, x3] as coordenadas de A, [y 1, Y2 , y3 J as de. 
b e [z1' Z2' Z3 ) as de C. Então, parai"' l, 2, 3 tem-se as fórmúlas: 
Como z. - X· = (z.-y·) + (y. - x.) tem-se l l l 1 l 1 . 
20 I NTRODUÇÃO À Á LGEBRA L I NEAR 
logo, 
ou 
A regra então, para somar vetores geométricos é somar suas respectivas 
componentes. 
Sugerimos ao leitor verificar este mesmo fato no caso de vetores 
coplanares utilizando setas e coordenadas como indicado na fig. 2-8. 
X2 +Y2 
Y2 
X2 
o 
R 
Fig. 2.8 
Proposição 1 - Se U e V são vetores geométricos, [x1 ,x2 ,x3 ] e [ y1 ,y2 ,y3 ] seus 
co"espondentes vetores de coordenadas, então: 
Observe-se que são válidas as seguintes propriedades: 
(Ai) V+U = [Y1 +x1, Yz +xz, y3 + x3 ] = ( x1 +y1, Xz +yz, x3 +y3 ] = U+ V 
(A2 ) U + (V+W) = ( x1, Xz, X3] + (y1+z1, Y2 +z2 , y3 +z3 ] 
( x1+y1+z1 , X2 +yz+Z2 , X3 +y3 + Z3 ] 
( x1+Y1, Xz+yz, X3+ y3 ] + (z1, Z2 , z3 ] = (U+ V) + W 
(A3) U + O=( x1, x2 , x3 ] =U onde 0 = [0, 0, 0]. 
(�) -U = (- x1, - x2 , - x3 ] é tal que U + (-U) = (0, 0, O] = O. 
Estudemos a seguir a operação de múltiplo escalar. 
Seja õP a seta representativa de U, tal que U = [ x1 ,x2 ,x3 ] . Escolhamos 
um ponto Q sobre a reta determinada por O e P; sejam ( y1 ,y2 ,y3 ] as coordenadas 
de Q (fig. 2-9). 
ÁLGEBRA VETO R I A L E GEOMETR I A EM IR2 E IR� 
/ ,, 
-- - --- -------- - - - - - - --- -:,:ii 
,, ,, 
,, / ,, 
/ ,, ,, ,, 
�--------, / 
,""Q3 f----
' 
1 
1 
1 
1 : /' 02 1 ,, 1 1 // ---------- - --- ,; 
01 
---- -- - --- -- - -- ------ -- - _ ... 
P1 
Fig. 2.9 
/ ,,/ 
// / 
/ 
/1 
,/ 1 
,,/ P2 ,, / ,, ,, / ,, ,, ,, 
21 
Traçando-se por P três planos paralelos aos eixos de coordenadas, 
determinam-se pontos P1, P2, P3 sobre os eixos de coordenadas Xi, x2 e x3, 
respectivamente. Procedendo-se de forma análoga com O ficam determinados 
os pontos Oi , 02 e 03• Da propriedade de triângulos semelhantes tem-se: 
00 = 001 = 002 = OQ3 
OP OP1 OP2 OP3 
como os pontos O i(i = 1,2,3),bem como os pontos Pi estão localizados sobre os 
mesmos semi-eixos O Xi, Yi têm o mesmo sinal de Xi, de modo que 
ou 
onde À é um número real compreendido entre O e 1. 
Então, a seta úQ = À OP tem componentes [ÀXi , ÀX2, ÀX3 ] . 
Da mesma forma, se Q' é um ponto na extensão do segmento OP, tem-se 
que a seta 00' = X OP tem
componentes [À1x1 , À1x 2 , À1x:l] onde agora À1 > 1. 
Consideremos agora a seta Põ, suas componentes são [-xi, -x2, -x3 ]. Se 
agora construímos OR �ro, o ponto R tem coordenadas [-xi, -x2, -x3]. O 
ponto R pertence pois à extensão do segmento PO a partir de O. Raciocinando 
com R como fizemos com P tem-se: Se S é um ponto na extensão do segmento 
PO a partir de O, então a seta OS tem coordenadas [-ÀXi, -ÀX2, -ÀX3] onde 
22 I NTRODUÇÃO À ÁLGE B RA L I NEAR 
O :ir;;; À :ir;;; 1 se S pertence ao segmento OR, enquanto À> 1 se S pertence à 
extensã'o de OR a partir de R. 
Proposição 2 - Se U é um vetor geométrico e [ x1 ,x2 ,x3 ] é o seu correspondente 
vetor de coordenadas, então, qualquer que seja o número re.al À: 
O leitor deve verificar que são válidas as seguintes propriedades: 
(Mi) 1 U = [x 1 , X2, X3 ] 
(M2) À1 (ÃzU) = [Ã 1 (À2Xi), À1 (À2X2) , À1 (À2X3)] 
= [(À1 À2 )x1, (À 1 À2 )X2, (À1 À2 )X3 ] = (À 1 À2 )U 
(AMi) Ã(U+ V) � [Ã(x1 +yi) , À(x2+y2), À(x3 +y3)] 
= [ÃX1 +Ày1 . ÀX2+Ày2, ÀX3+Ày3] 
= [ÀX1 , ÀX2 , ÀX3 ] + [Ày1 , Ày2, Ày3 ) 
= ÃU + ÃV 
[(À1 +Ã2)X1 , (À1 +Ã2)X2, (À 1 +Ã2)X3 ) 
[À 1 X 1 +À2X1 , À1 X2+À2X2, À1 X3 +À2X3 ) 
(À1 X1 , À1 X2, À 1 X3 ) + [À2X1, À2X2, À2X3) 
À1 u + À2 u 
Em particular deve ser notado que: 
OU = [O, O , O) = O 
qualquer que seja o vetor U e também, 
Essencialmente, verificamos que se em IR3 definimos a adição de dois ternosde 
números reais [x1 , x2 , x3 ] e [y 1 , y2, y3 ] por 
e o múltiplo esca"/ar de um terno por 
estas operações satisfazem as propriedades (A1 ) - (�), (M1 ) - (M2) e (AM)1 ,2 
ÁLG E B RA VETO R I A L E GEOMET R I A EM IR2 E IR3 23 
da adição e do múltiplo escalar dos vetores geométricos. o leitor deverá 
observar que o mesmo se dá para R 2 e Jl 1 • Com base nessa semelhança é que 
atribuímos ao conjunto R", (n = 1 ,2,3) onde estão definidas as operações de 
soma de elementos e multiplicação de um elemento por um número real, a 
denominação de espaço vetorial cartesiano n-dimensiona/ ou n-espaço cartesiano; 
seus elementos são vetores n-dimensionais de coordenadas ou n-listas de números 
reais. Aqui, uma 1 -lista é um número real x1 , uma 2-lista é um par ordenado 
[ x 1 ,x2 ] de números reais e uma 3-lista um terno ordenado [ x 1 ,x2 ,x3] de 
números reais. 
A denominação "espaço vetorial" explicita que não estamos lidando 
simplesmente com o conjunto R" de n-listas de números reais como uma 
coleção de elementos, mas sim, que os elementos desse conjunto podem ser 
combinados através de somas e multiplicações por números reais do mesmo 
modo que fazemos com vetores geométricos e suas setas representativas. 
Como dado um vetor geométrico V do espaço, a este corresponde em um 
sistema de coordenadas cartesianas retangulares um terno de números reais 
[x1 , x2 , x3 ] E IR.3 , é usual escrever-se também V E IR.3• 
Exemplo 2 - Efetue as operações indicadas 
(i) 3( 1 , -5) + 7(-4, 1 /2), 
(ii) SeU=[7T,-3,4) e V=(l/2,v'2,l/4] calcule U+ V 
(iii) ( 1, 3, -2)- (-2, 3, 4) 
Solução: 
(i) 3( 1, -5) + 7[-4, 1/2) 
= (3 • l , 3(-5)) + (';{-4), 7( 1 /2)) 
= [3, - 1 5) + (-28, 7/2) 
= [3-28, - 1 5 + 7 /2) 
= [-25, -23/2). 
(ii) U+V = [7r,-3,4)+( 1 /2,V2,l/4] 
1 "' 1 (7T+2,-3+y 2,4+4) 
[ 27T + l -3 + . 0: 1.I] 2 ' V�, 4 
(iii) [I, 3, -2] -· [-2, 3, 4) = ( 1 , 3, -2) + (- 1 ) [-2, 3, 4) 
= (l +2, 3--3, -2 -4) 
= (3, O, -6) 
24 I NTRODUÇÃO À Á LG E B RA L I NEAR 
Dados os vetores U 1 , U2, • • • , Up do espaço, e os escalares Ã1, Ã2, • • • , Àp, um 
vetor da forma: 
é dito uma combinação linear dos vetores Ui com coeficientes Ài (i = 1 , 2, . . .,p). 
Evidentemente, essa combinação linear é um vetor do espaço, digamos U. 
Nesse caso, dizemos que U é combinação linear dos vetores U1, U2, • • • , Up . Se 
todos os escalares são iguais a zero ou se todos os vetores são nulos, a 
combinação linea1 é o vetor zero, porém o resultado recíproco não é válido em 
geral; uma combinação linear pode ser o vetor zero sem que necessariamente to­
das as suas parcelas também o sejam. Isso será visto em detalhe mais adiante. 
Dado um sistema de vetores { U1 , U2 , . . . , Up }, consideremos a 
combinação linear nula 
Se tal relação se verifica 
(i) apenas quando todos . os escalares Ã1, Ã2 , • • • , Àp forell'. iguais a O, o 
sistema de vetores { U1 , U2 , . . . , Up } é chamado livre ou linearmente 
independente, e seus elementos são ditos linearmente independentes. 
(ii) para escalares ;\1 , ;\2 , . .. , Xp nem todos nulos, o sistema de vetores {U 1 , U2 , • • • , Up} é chamado ligado ou linearmente dependente e seus 
elementos são ditos linearmente dependentes. 
Evidentemente, qualquer sistema de vetores contendo o vetor zero é ligado pois, 
XO = O, � À E R. 
Uma combinação linear de vetores de IR 1 é simplesmente uma soma de 
um número finito de produtos de números reais : 
Ài,riER 
EmlR2 , uma tal combinação desse tipo é da forma 
X, [x, ,x2 ] + X2 [y, ,y2] + ... + Ãp[z1 ,z2] 
= [X,x, +Ã2Y1 + . . . + Xpz1 , X1x2 + Ã2 Y2 + ... + Ãpx2 ] 
Enquanto em (R3 tem-se, por exemplo : 
ÁLGEBRA VETOR IAL E GEOMETR IA EM IR2 E IR3 25 
À1 [x1 ,X2 ,X3 ) + . . . + Àp [z , ,Z2 ,Z3 ) 
= (À1 X 1 + . . . + ÀpZ1 , À1 X2 + . . . + ÀpZ2 , À1 X3 + . . . + ÀpZ3 ) 
Seja agora U = [x1 ,x2 ,x3 ] um vetor geométrico qualquer e seu correspondente 
vetor de coordenadas . Tem-se : 
[x1 ,0,0) + [O , x2 , O) + [O, O , x3 ] 
x, [ l , O, O) + X2 [O , 1 , O) + X3 [O , O, l ] 
e qualquer que seja o vetor d e coordenadas [ x1 ,x2 ,x3 ] , este se escreve como 
combinação linear dos vetores de coordenadas da forma [ 1 ,0,0) , [0, 1 ,0l , [0,0, 1 ] 
e coeficientes x1 , x2 e x3 respectivamente. Vamos imaginar que [ x1 ,x2 ,x3 ] 
também se escreve como combinação linear: 
então sendo [ x1 ,x2 ,x3 ) - [ x1 ,x2 ,x3 ] = [0,0,0] obtemos, subtraindo as duas 
combinações lineares uma da outra : 
[0;0,0) (x1 -Ài ) [ 1 ,0,0) + (x2 - -À2 ) [0, 1 ,0) + (xr À3 ) [0,0, l ] 
(X1 -À1 , X2 -À2 , X3 -À3 ) 
o que indica que À1 = x1 , À2 = x2 , À3 = X3 . Assim, [x 1 ,x2 ,x3 ) não apenas se 
escreve como combinação linear dos vetores [ l ,0 ,0] , [0, 1 ,0) e [0,0, 1 ) mas isso 
se dá de maneira única e com coeficientes x1 , x2 e x3 . 
Em vista dessa propriedade, o conjunto { [ 1 ,0,0) , [0, 1 ,0] , [0,0, 1 )} é 
chamado de base canônica ou base natural de IR 3 • De um modo mais gera:, 
uma base de IR 3 é um conjunto de vetores B de R 3 tal que qualquer vetor de 
IR.3 se escreve de maneira única como combinação linear dos elementos de 13. 
No caso de IR.2, a base canônica é constituída dos vetores [ l ,O ] e [O , 1 ] 
enquanto a unidade 1 é a base canônica de IR.1 e consiste de um único elemento. 
O vetor geométrico correspondente ao vetor de coordenadas [ 1 ,0,0] é 
denotado por E1 , da mesma forma Ez = [O, 1 ,0] e E3 = [0,0, 1 ] . 
Assim: 
R 1 - a base canônica é { E 1} onde E1 = l . 
IR.2 - a base canônica é { E1 ,Ez} onde E 1 = [ 1 ,0 ) e E2 = [0, 1 ] . 
R3 - a base canônica é { E1 ,Ez ,E3} onde E 1 = [ l ,0,0] , E2 = [O , 1 ,0 ] e .E 3 = 
= [O , O, l ] 
26 I NTRODUÇÃO À Á LGEBRA L I NEAR 
Observe-se que esses sistemas de vetores são todos livres. 
O número . de elementos da base é que define a dimensão do espaço, 
assim: dim R1 = 1 , dim IR2 = 2 , dim IR3 = 3 , onde por dim IRn queremos 
indicar a dimensão de IRn (n = 1 ,2 ,3 ) . Isto será visto no cap. lll. 
Exemplo 3 
(i) Em R 1 seja r i= O um número real fixo. 
Se x1 E IR1 , então existe um escalar À tal que x1 = Àr; de fato, À = x1 /r. 
Evidentemente, Àr = O se e somente se À = O. Assim, qualquer vetor de IR.1 
pode ser escrito como combinação linear de um único número real não 
nulo. Assim, IR 1 possui infinitas bases, todas constituídas de apenas um 
único elemento : um número real não nulo. 
(li) Em IR 2 considere o sistema de vetores {l r 1
,O] , [O,r2 1} , onde r 1 e r2 são 
reais não nulos. Para qualquer [x 1 ,x2 ] E IR2 , se tem [x1 ,x2 ] = À1 [ r1 ,O] + 
+ À2 [0 ,r2 ] , onde À1 = � e À2 = � . Além disso, é claro que se 
r1 r2 
x1 = x2 = O, então À1 = À2 = O, isto é, o sistema { l r1 ,O) , [O,r2 J} é livre e 
qualquer vetor de IR 2 se escreve de modo único como combinação linear 
dos vetores do sistema. Por isso, tal sistema é também uma base de IR.2 • 
(iii) O leitor deve verificar que, analogamente, o sistema {lQ ,0,0] , [O,m,O] , 
[0 ,0,n]} de vetores de IR3 , onde Q, m e n são diferentes de zero, é uma 
base de R3 • 
Todos esses conjuntos são bases desses espaços e justificam a conveniência de 
distinguir as bases { l} , fi 1 ,0) , [0, 1 1} , {[ 1 ,0,0] , [O, l ,0), [0,0 , l llcomo especiais. 
O leitor não deve concluir que qualquer base de R 2, por exemplo, é da 
forma {l r1 ,U) , [O,r2 J} ; a discussão de outras bases requer, no entanto, um 
estudo de sistemas de equações lineares, objeto do próximo capítulo. Geometri­
camente, isso é fácil de observar; a fig. 2- 1 O mostra várias bases para o conjunto 
de vetores geométricos d.o plano. 
A seta õP se escreve de maneira única em cada caso como OP = ÕP1 + P;P2 e 
P7P2 - OPz . 
Exemplo 4 - Os três vetores [ 1 ,3 , l ] , [ - 1 , 1 ,3) e [ -5 ,-7 ,3 ] de IR 3 são linearmente 
dependentes. De fato 
3[ 1 ,3 , l ] + (-2) [- 1 , 1 ,3 ) + [ -5 ,-7 ,3 ) = [0,0,0) 
Os quatro vetores [ 1 ,5 ] , [9 , 1 0] , [ I , l ] e [ -2,- 1 ] de R
2 são também 
linearmente dependentes pois, [ 1 ,5 ) + (- 1 )[9 ,l O) + 2[ 1 , 1 ) + (-3)[-2,- 1 ] = [0,0). 
ÁLG E B RA VETO R IAL E GEOMET R I A EM tR2 E tR3 
1 1 1 
1 
1 
1 
1 
p 
i.:::::.. ___ • - - - - _...,_ - --º E1 P1 
p 
Fig. 2. 1 0 
27 
De fato , mostra-se que, em IR.n, qualquer sistema consistindo de p vetores , 
sendo p > n, é necessariamente ligado. 
EXERCfCI OS DA SEÇÃO 2 
1 . Efetue: 
a) 3[ 1 ,-7 ,5 1 - 2[0 ,2 ,-2 1 + [-2 ,26 ,- 1 8 1 
b) 4[ 1 ,2 1+3[7, 1 1 - [20 , 1 1 - 5[ 1 ,2 1 
2 . Determine U na seguinte equação : 
[3,7, 1 1 + 2U = [6 , 1 0 ,41 - U 
3. Mostre que os seguintes sistemas de vetores são linearmente dependentes. 
a) {[ 1 ,3 ) , [2 ,61} b) {l2 ,-l;-2 1 , [6 ,-3 ,-61} e) {l5 ,2 1 , [ 1 0 ,41 , [- 1 5 ,-6]} 
4. O sistema de p vetores {U1 , U2 , • • • , Up} é ligado : 
a) se qualquer desses vetores é o vetor zero 
b) se dois desses vetores são iguais 
Prove isso. 
28 I NTRODUÇÃO À Á LGE BRA L I NEAR 
5 . Se À E � e U = [x 1 ,x2 ,x3 ] demonstre que a equação t..U = O é satisfeita se : 
a) À = O, ou b) U = O ou ambos a) e b) se verificam. 
(Sugestão: [ÀX1 , ÀX2 , ÀX3 J = [0,0,0J) 
6 . Dados os pontos A = [2 ,- 1 ,-7 ) , B = [ 3 , 5 ,2 ) e C = [9 , 1 ,-4] em um sistema de 
coordenadas retangulares, determine : 
a) as componentes das setas õA, Bõ, AB, BA, Bê, CA. 
b) as coordenadas dos pontos P, Q, R tais que õP � Afí, OQ �BC, õR �CX. 
c) as coordenadas de um ponto M tal que AM �ec. 
7 . Dados os pontos A = [- 1 ,2 ,4) , B = [5,- 1 ,2 ) e C = [ 2 ,3 ,5 ) , determine três pontos 
P, Q e R tais que cada um deles é o quarto vértice de um paralelogramo do 
qual A, B e C são três vértices. [Sugestão : Observe a figura e trabalhe com 
vetores de coordenadas.] 
B 
- - -
- - -
Fig. 2.11 
_ ., Q 
- -
- - -
-
/ 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
/ C 
8 . Dados os pontos A = [ 5 ,- 1 ,4) e B = [ 3 , 5 ,2 ] determine as coordenadas do 
ponto médio M do segmento AB. 
[Sugestão: AM = ( 1 /2) AB] 
9 . Dados os pontos A = [ x1 ,x2 ,x3 ] e B = [y 1 ,y2 ,y 3 ] prove que o ponto médio 
M do segmento AD tem coordenadas : 
1 0 . Dados os pontos A = [2 ,5 , - 1 ] , B = [ -2 , 1 ,4) e C = [0,-6,4] determine: 
a) um ponto P tal que AP = 3 AB 
b) um ponto P tal que CP = 2 AB 
c) um ponto P tal que AP = -5 BP 
Á LG E B R A VETO R I A L E GEOMETR I A EM IR2 E IR3 29 
a) Escreva em termos de E1 , E:z e E3 os seguintes vetores : 
U-V+W; 5U + 2V + (-3)W ; + [4U+6W]; 3[2U+(- l )V+5W)-4[U+2V+3W) 
b) Para cada vetor de a) desenhe uma figura mostrando as setas de origem 
O representativas de U, V e W e do vetor em questão. 
1 2 . Seja U = E1 + E:z + E3 , V = 2E1 + 3E2 , W = 3E1 + SE:z - 2E3 e S = -E1 + E3 • 
Mostre que os vetores U - V e W - S são paralelos. 
[Sugestão : As setas de U - V e W - S emanadas de uma mesma origem 
devem ser colineares. ] 
1 3 . Constate graficamente que os vetores E1 - E:z , E:z - E3 e E3 - E1 são 
coplanares. 
1 4. Seja G o baricentro do triângulo ABC \G é o ponto de intersecção das 
medianas do triângulo). Mostre que G = 3 (A + B + C). 
3. R ETAS E PLANOS 
Vimos na seção anterior que se [ x1 ,x2 ,x3 ] são as coordenadas de um 
ponto P e se U = [ x1 ,x2 ,x3 ], então a reta que contém a origem O e o ponto P, 
consiste das extremidades dos vetores ;\.U, onde À EIR, de origem comum O. 
O segmento OP em particular consiste das extremidades de todos os vetores 
;\.U para os quais O ..;;; À ..;;; 1 . 
Até aqui, fizemos uso do conhecimento intuitivo do leitor relativamente 
aos conceitos primitivos de ponto, reta e plano da geometria euclidiana. 
Entretanto, não é suficiente trabalharmos com noções intuitivas pouco 
precisas, devemos definir os termos usados. Nosso plano de ação e o de 
utilizar � n, n ..;;; 3, onde possuímos uma visualização geométrica de pontos e 
vetores, para introduzir definições plausíveis de pontos, retas e planos. Essas 
serão expressas ou em termos de vetores geométricos ou de vetores de 
coordenadas e permitirão ao leitor inferir definições desses elementos para 
n > 3 . 
Como um exemplo simples desse procedimento (chamado "método 
axiomático"), baseado em nossa experiência com a correspondência biunívoca 
entre pontos e n-listas, n ..;;; 3, podemos definir um ponto P em IRn, n ..;;; 3 , 
como sendo uma n-lista. Assim, um ponto em IR1 é um número real x1 , um 
ponto em R2 uma 2-lista [x1 ,x2 ] e um ponto em IR3 uma 3-lista [x1 ,x2 ,x3 ] . 
A extensão dessa definição para n > 3 é simples, um ponto em IRn é 
simplesmente uma n-lista de números reais [ x1 , x2 , . . . , Xn - 1 , xn) . 
Preservando nossa noção de pontos como criaturas passivas meramente fixas 
30 I NTRODUÇÃO À ÁLGE B RA L I NEAR 
em Rn, em oposição aos vetores que podem ser somados e multiplicados por 
números reais, devemos tomar uma definição em separado para vetores. 
Usando o material disponível, o vetor PQ do ponto P = (a 1 , a2 , • • . , an ] ao 
ponto Q = (b 1 , b2 , • • . , bn ) (ou de origem P e extremidade Q) é definido 
como a n-lista 
Assim, a distinção entre pontos, vetores e n-listas em [Rn é meramente uma __,. 
questão de atitude. Observe-se especialmente que PQ = Q - P já que a 
subtração é permitida para Q e P como n-listas (fig. 3- 1 ) . 
R 
o 
Fig. 3.1 
\ 
\ \ \ � \ PQ = Q-P 
Em particular, a seta õP de O a P tem as mesmas coordenadas do ponto P. --+ 
Seremos muito pouco rígidos em relação à distinção entre a seta OP, o ponto 
P e o vetor do qual OP é um representante, bem como ao identificar vetores, 
pontos e n-listas em geral. Quaisquer distinções que venhamos a fazer serão 
apenas por motivação intuitiva. 
Passemos agora ao estudo de retas. Abordaremos primeiro retas em R 2 
antes de passar ao estudo de retas e planos em IR3 , objetivando dar segurança 
ao leitor para posteriores generalizações. 
3. 1 R ETAS EM IR2 
Dada a discussão anterior, podemos inferir que se V = [x1 ,x2 ) é um 
vetor bidimensional distinto do vetor zero, o conjunto { À V 1 À E IR} pode ser 
representado geometricamente como uma reta passando pela origem do 
sistema de coordenadas e pelo ponto de coordenadas [x1 ,x2 ]. Esse fato motiva 
a definição dada a seguir. 
ÁLGE BRA VETOR I A L E GEOMETR I A EM JR2 E JR3 3 1 
Definição : Sejam U e V vetores d e R2 sendo V =F [O, O ) . O conjunto 
{ U + À V 1 À E R } é chamado uma reta. 
O conjunto
{ U + À V 1 À E R} é representado geometricamente na 
fig. 3-2. Vemos que a extremidade de U pertence à reta pois U = U + OV. 
Vemos ainda que, sob o ponto de vista geométrico, o vetor V determina a 
direção da reta. Por esse motivo V é um vetor direção da reta. 
o 
Fia. 3.2 
Definição : Um vetor D E R2 é chamaJo um vetor direção de uma reta Q c�.2 
se existem pontos distintos A e B de Q tais que D = A - B ou de modo 
eq,Jivalente A = B + D (fig. 3-3). 
Fia. 3.3 
Decorre imediatamente desta definição que se Q ={V+ À V IXEIR } com 
V =F O, é uma reta, então V é um vetor direção de Q. De fato, fazendo À = O e 
À == 1 vemos que B = U e A = U+V são pontos de Q. Logo, A-B = U+V-U = V 
é vetor direção de Q. 
32 I NTRODUÇÃO À ÁLGE BRA L I N EAR 
Além disto, qualquer outro vetor direção de Q é da forma rV, com r * O. 
De fato, se D é um vetor direção de Q, existem A = U + ÀA V e B = U + "A.8 V em 
Q, com ÀA * "A.8 , e tais que D = A-B; portanto , D = (ÀA -ÀB ) V = rV, onde r 
= ÀA -ÀB "i= O. 
Reciprocamente, se W = rV, com r * O, então tome A = U + -1- V e r 
B = U, que são pontos de Q; tem-se que A-8 = -1- V = W, o que mostra que 
W é vetor direção de Q. r 
O que acabamos de ver justifica a proposição que segue . 
Proposição 1 - Seja Q uma reta de IR 2 e D um vetor direção de Q. Um vetor D' 
é também um vetor direção de Q se e somente se existir um número real r * O 
tal que D' = rD. 
Prova: Se Q = { U+X V 1 À E R} , com V * O , pelo que vimos acima D = sV, para 
algum s * O e D' é um vetor direção se e somente se D' = tV, para algum t * O, 
o que ocorre quando D' = _t_ D. Chame ...l.. = r . s s 
Observe na fig. 3-4 que duas retas são paralelas se e somente se possuem 
os mesmos vetores direção. 
Fig. 3.4: As retas Q = -{ U + XV IE �}- e Q' = {U' + ÀV IX E �}-
Por isso , dissemos antes que um vetor direção de Q determina a direção de Q, e 
daí o seu nome. 
As componentes de qualquer vetor direção D de uma reta Q são 
chamadas de parâmetros diretores da reta Q. 
A reta que contém o eixo O x 1 é determinada por qualquer vetor [p,O] 
com p * O e, em particular, por E1 = [ 1 ,0] ; a reta que contém o eixo O x2 é 
determinada por qualquer vetor [O , q] com q * O e, em particular, pelo vetor 
� = [0, 1 ] . 
ÁLGE BRA VETOR I A L E GEOMETR I A EM IR2 E IR3 33 
Observe que se D = [p,q] e D' = [p' ,q'] são vetores diretores de uma mesma 
reta Q se e somente se pq' - p'q = O já que pela proposição anterior, p' = rp, 
q' = rq, r * O. (É claro que supomos D e D' não nulos.) 
Se a reta Q tem por parâmetros diretores [p,q) com p * O, um outro sistema 
de parâmetros diretores é [ l , ....9.... ] ; � é chamado de coeficiente diretor ou 
angular de Q. 
p p 
Note que, ao exigir p * O, estamos exigindo que Q não seja paralela a Ox2 • 
A fig. 3-5 mostra que se a reta Q tem parâmetros diretores [ 1 , m ] , o 
coeficiente diretor m é o valor da tangente do ângulo que o vetor direção D 
faz com o eixo Ox1 , isto é : 
Xz 
D = [ 1 ,m) 
T m = tg e 
m 
e 
Fig. 3.5 
Exemplo 1 - Vamos escrever a equação da reta que passa pelos pontos [ 1 ,6) e 
[-3 ,4). O vetor [ 1 ,6] - [-3,4) = [4 ,2) é claramente um vetor direção da reta Q. 
Se u é qualquer ponto de Q distinto de [ 1 ,6 ], então u - [ 1 ,6 ] é também um vetôr 
direção de Q. Existe, portanto, um número real r * O tal que U - [ 1 ,6 ] = r [4,2] . 
Reciprocamente, se X*O, >..[ 4,2) é um vetor direção de Q de modo que existe um 
ponto U em Q tal que U - [ 1 ,6 ) = >..[4,2). Como [ l ,6 ]=l l ,6 ] + 0[4,2) concluímos 
que a reta Q é o conjunto. 
{l l ,6) + X[4,2] I X E IR }. 
Exemplo 2 - Sejam U = [ 1 ,2] e V = [-3 , 1 ) , vamos verificar se o ponto [ 7 ,O ] 
pertence à reta Q = {u + >..V 1 À E R} . Isso se dará se existir um número real 
>.. tal que U + XV = [7 ,0). 
34 I NTRODUÇÃO À ÁLGE BRA L I N E A R 
Como 
U + ÃV = ( 1 ,2) + Ã[-3 , l ] = ( 1 -3À, 2 + À) 
devemos ter 
ou seja 
[7 ,0) = ( 1 -3À, 2 + Ã) {l -3À = 7 
2 + À = o 
Estas igualdades se verificam para À = -2 e, portanto, 
U-2V = ( l ,2 ) - 2[-3 , 1 ] = [7 ,0) E Q. 
Definição: Dada uma reta Q ={U + ÀV 1 À E R} para cada À E R fica determinado 
um único vetor, U + ÃV de Q. Representamos tal vetor por Z(Ã), chamaremos 
À de um parâmetro e a equação 
Z{Ã) = U + ÃV, Ã E IR 
é uma equação paramétrica da reta Q. 
Dada a possibilidade de escolher ., rbitrariamente U E Q, e como qualquer 
múltiplo não nulo de V é também vetoi direção de Q, uma mesma reta pode ter 
infinitas representações paramétricas. 
Proposição 2 - (Reta por dois ponto� ) - Se Q é uma reta, X e Y são dois 
pontos distintos de Q, então 
Z{Ã) X + Ã(Y-X), À E IR 
é uma equação paramétrica de Q. 
Prova : Se X -:/= Y então Y-X pode ser tomado como vetor direção de Q (fig. 3-6). 
Corolário 1 - Se X e Y são elementos distintos de Q então qualquer elemento 
Z E Q se escreve como 
Z = µ X + v Y com µ + v = 1 . 
Prova : Se µ + v = 1 , então, µX + v Y = X + v(Y - X). 
Corolário 2 - Três pontos distintos P, Q e R são colineares se e somente se 
existem três escalares não nulos a, {3, 'Y sendo a + {3 + 'Y = O tais que 
ÁLG E B RA VETO R I A L E GEOMETR IA EM IR2 E IR3 
o 
Fig. 3.6 
--+ � 
35 
Prova: Se os três pontos pertencem à mesma reta Q então 1 OR - µ OP -
- v OR = O sendo µ + v = 1 , isto é, 1 - µ - v = O, pelo corolário anterior. 
Reciprocamente, suponha que a OP + (3 0Q + 'Y DR = O, com a + (3 + 'Y = O, 
e provemos que P, Q, R são colineares. Se dois destes pontos coincidem, é claro 
que os "três" são colineares. Podemos então supor os três distintos. Se 'Y = O, 
então a + (3 = O e O!(OP - ÕQ) = O. Como P =F Q, isto obrigaria a = O e, portanto, 
(3 = O, o que contradiria a hipótese de que a, (3, 'Y não são simultaneamente 
____,. Q --+ R ___,. nulus. Então, necessariamente, 'Y =F O e, neste caso OR = -- OP -L OQ, o 
que mostra que P, Q, R são colineares, lembrando que -� _ l = a+@ � 1 . 
'Y 'Y -'Y 
Exemplo 3 - A equação paramétrica da reta Q que passa por [-3 ,4) e [-2,-7) 
é da forma 
ou seja , 
Z{À) = [-3 ,4] + À([-2 ,-7 ) - [-3 ,4)) 
Z(X) = [-3 ,4 ) + X[ l ,- 1 1 ) , X E R 
Note que Z(X) pode ser escrito como o par {z1 (À), q (À)) e, portanto, a 
equação paramétrica vetorial da reta Q pode ser expressa como um par de 
equações escalares 
{Z1 (À) = -3 + À 
z� (À) = 4 - 1 1 À 
, X E R 
onde z1 (À) e q (À) são as coordenadas de Z(À). 
36 I NTRODUÇÃO À ÁLG E B RA L I NEAR 
Resumindo: Se U = [u 1 ,u2 ) , V = [v 1 ,v2 ] * [0 ,0) são vetores de IR.2 e Q = {U + 
+ ÀV 1 À E R} é uma reta, então : 
1 . V é um vetor direção de Q. 
2. Se W é qualquer outro vetor direção de Q, existe um número real r * O tal 
que W = rV. 
3. Z(À) = U + ÀV é a equação paramétrica vetorial de Q. 
4. Se Z(À) = [z 1 (À), z2 (À)) então [z1 (À), z2 (À)] = lu 1 ,u2 ] + À[ v1,v2 ) = [u 1 + Àv1 , 
u2 + Àv2 ) e esta última igualdade é equivalente ao sistema. 
5 . { Z1 (À) = U 1 + À V1 
z2 (À) = u2 + À v2 
Estas equações são as paramétricas escalares da reta Q. 
6. Se os parâmetros diretores de Q são dados como [v 1 ,v2 ) = [ I ,m ] onde m é o 
coeficiente angular de Q e, se [ u1 ,u2 ] é um ponto de Q sobre o eixo Ox2 , 
digamos [ u1 ,u2 ] = [O,b ) , então as equações paramétricas se escrevem como 
{zl = À 
Z2 = b + mÀ 
e, portanto, a equação de Q pode ser escrita como o conjunto dos vetores 
[ z1 ,li ] que satisfazem a seguinte relação entre suas componentes 
li = m z1 + b 
Fazendo-se x = z 1 e y = li e�ta equação se escreve usualmente na forma 
onde 
y = mx + b 
m = tg ll 
y 
o 
Fia- 3.7 
[ l ,m) 
Ei = [ l ,Oj X 
Á LG E B RA VETO R I A L E GEOMETR IA EM IR2 E 1R3 37 
Fis. 3.8 
7 . Se P = [x1 ,x2 ] e Q = [y 1 ,y2 ] são pontos de Q, então como PQ é vetor 
direção de Q, as equações paramétricas
escalares de Q podem ser escritas como 
chamadas equações afins da reta Q. 
Exemplo 4 - Vamos determinar a equação paramétrica da reta Q que forma 
um ângulo a com o eixo Ox1 e um ângulo {3 com o eixo Ox2 como indicado 
na fig. 3 .8 . Tal reta pode ser interpretada como a representação geométrica de 
um conjunto de vetores. 
Um segmento de reta emanado da origem, paralelo à reta dada, intercepta 
a circunferência unitária de centro na origem em um ponto de coordenadas 
[ cos a, sen a] . Como a + {3 = rr/2 , tem-se que sen a = cos {3. Então [cos a, 
sen a] = [cos a, cos {3] é um vetor direção de Q e [O,b) como um ponto de .Q. 
Assim, a representação paramétrica de Q é da forma 
Z(X) = [O ,b] + À[ cos a, cos {3) , X E R 
Os ângulos a e {3 descritos neste exemplo são os ângulos diretores de Q, enquanto 
cos a e cos {3 são chamados de co-senos diretores dessa reta. 
Proposição 3 - Toda reta Q de 11{2 pode ser caracterizada como o conjunto dos 
pontos [x ,y] tais que ax + by + e = O , onde [a ,b ] =F [O ,OJ A equação ax + by+ 
+ e = O é chamada equação cartesiana de Q. 
38 I NT RODUÇÃO À ÁLG E B RA L I N E A R 
Prova: Seja Q = {U + XV IX E IR} , onde V :;t: O. Se U = [u i , u2 ] , e V = [v i ,v2 ), 
então o ponto l x, y ] pertencerá a Q se e só se, para algum real À, {X = Ui + ÀVi 
. Y = U2 + ÀV2 
(equações paramétricas escalares de Q) 
1 . Se vi * O * v2 , então estas equações se escrevem como 
Portanto 
Y -u., 
• = À e 
X-Ui y-U2 (x,y) E Q = -- = 
V i V2 
Esta equação é da forma ax + by + c = O onde a = v2 , b = -vi e c = -(u i v2 + 
+ u2 vi ), e [a ,b] = [v2 , -vi ] * (0,0). 
2 . Se v2 = O, então vi * O, pois V = (vi ,v2 ] foi suposto * [0,0) . Neste caso, {X = U i + ÀVi 
(x,y) E Q = 
y = U2 
Como À percorre os reais e Vi * O, x = ui + Àvi assume todos os valores 
reais, portanto, [x,y] E Q = y = u2 e x é qualquer = y -u2 = O. Esta 
eq�ção é da forma ax + by + c = O, com a = O, b = l , c = -u2 • 
3 . Se Vi = O, então v2 * O e, como no segundo caso, conclui-se que a reta tem 
equação x-ui = O , que é da forma ax + by + c = O, com a = 1 , b = O, e = -ui . 
Geometricamente, os três casos acima correspondem aos da fig. 3 .9 : . 
y 
Q = ax+by+c = O 
Caso 1 
Fig. 3.9 
ÁLG E BRA VETOR I A L E G E OMETR I A E M IR2 E IR3 
�/ 
Caso 2 Caso 3 
Fig. 3.9 - (continuação) 
Exemplo S - Seja Q a reta que passa por A = [ 1 ,2) e B = [0,5) . 
Z.().) =A+ Ã(B-A) = [ 1 ,2) + Ã[- 1 ,3) = ( 1 -À, 2+3Ã) {X = 1 - À 
y = 2 + 3À 
À= x- 1 =� -1 3 
3x - 3 = -y + 2 
X 
3x + y - 5 = O é uma equação cartesiana de Q. 
3.2 RETAS EM l{3 
39 
O mesmo raciocínio que fizemos para retas no plano vale para retas no 
espaço. Se U e V são vetores de R3 e V =F O, então o conjunto Q =[ U + ÃVI 
1 À E R} é a reta que passa por U e tem vetor direção V. 
Fia· 3.10 
40 I NT RODUÇÃO À ÁLGE B RA L I NEAR 
Valem aqui t ambém as mesmas definições e resultados da Seção 3. 1 
sobre vetor direção, equação paramétrica etc. Vamos só chamar a atenção para 
três diferenças importantes : 
1 . Como agora cada vetor tem três coordenadas e não duas, é claro que as 
eqóações paramétricas escalares serão agora três e não duas. 
Se U = [ u1 ,u2 ,u3 ] e V = [ v1 ,v2 ,v3 ] =!=- O, as equações paramétricas escalares 
da reta Z(X) = U + X V são agora : 
2 . No caso de Jl2 , eliminando o parâmetro X nas duas equações paramétricas 
escalares, chegamos a uma equação cartesiana do tipo ax1 + bx2 + c = O, 
ou, como é mais usual, ax + by + c = O. Em IR.3 , a eliminação de X entre as 
três equações paramétricas escalares conduzirá a duas equações cartesianas. 
Exemplo 6 - Seja Q a reta que passa pelos pontos A = (0 ,2 , l ] e B = ( 3 ,4,- l ) . Z(X)= 
= A + X(B-A) = (0,2, 1 ) + X[ 3, 2 ,-2 ] . As equações paramétricas escalares serão {x = 3Ã 
y = 2 + 2X 
z = l -2À 
X E R 
Eliminando À obtemos ; = Y22 = �21 , que são as duas equações carte­
sianas de Q, as quais também podem ser escritas, por exemplo, como 
{ 2x - 3y + 6 = O 
-2x - 3z + 3 = O 
. Os pontos (x,y,z] de Q são as soluções deste sistema. Reforçamos que não 
existe uma equação do tipo ax + by + cz + d = O equivalente a este sistema. 
Antes de prosseguir, observamos que as equações cartesianas de Q, quando 
colocadas na forma � = Y22 = z_2 1 , possuem uma interpretação geométrica 
simples: [x, y--2 , z- 1 ) = X - A = AX, onde X = [x,y,z] é um ponto arbitrário 
da reta, enquanto [3 ,2,-2) = B - A = AB é um vetor direção de Q. Sabemos que 
--� � 
X E Q se e só se AX = À AB, (fig. 3 . 1 1 ) , o que ocorre justamente quando as 
componentes de AX são proporcionais às de A.B, e é isso que dizem as 
igualdades � = b = z- l 3 2 . -2 
ÁLGE B R A VETO R I A L E GEOMET R I A EM IR2 E IR3 
A B 
O B-A 
Fig. 3.l l 
4 1 
X 
X-A 
Este fato já ocorria em lR 2 , e tal modo de escrever as equações 
cartesianas é chamado forma simétrica das equações cartesianas. 
3. Não persiste em lR 3 o conceito de coeficiente angular. Porém, subsistem os 
de ângulos diretores e de co-senos diretores; veremos isto na seção seguinte. 
3.3 PLANOS EM R 3 
Seja V um vetor não nulo no espaço. O conjunto de todos os múltiplos 
de V, isto é, { À V 1 À E IR} , é a reta que passa pela origem e pela extremidade 
de V. Se W é um ponto que não pertence a esta reta, isto é, W não é um 
múltiplo escalar de V, então o conjunto de todas as combinações lineares de V 
e W, isto é, { ÀV + µW 1 À,µ E IR} é o plano que passa pela origem, por V e 
por W. (Lembre-se que quando falamos no "vetor" V 0u no "ponto" V, ora 
nos referimos a uma seta, ora à sua extremidade.) Ver fig. 3. 1 2. 
Fig. 3.12 
Se agora um plano (a) não passa necessariamente pela origem, mas sim 
por um ponto U, então ele sempre pode ser obtido de outro plano (fj) que 
passa pela origem e lhe é paralelo, adicionando vetorialmente U a todos os 
pontos de (/J), isto é, através da "translação" determinada por U. Ver fig. 3 . 1 3 . 
42 I NT RODUÇÃO À ÁLGE B R A L I N E A R 
u+:w U+ÃV+µW 
������������:::;::-. 
o 
Fig. 3.1 3 
Isto nos conduz a caracterizar um plano em R3 como o conjunto (o:) = { U + 
+ ÃV + µW 1 À, µ E R} , onde V e W não são colineares com a origem, isto é, 
V e W. são linearmente independentes, ou ainda, V não é múltiplo de W e W 
não é múltiplo de V. 
Tal como acontecia com retas, a equação 
Z(Ã, µ) = U + ÃV + µW; Ã E R; 
é chamada uma equação paramétrica do plano (o:), os números À e µ são 
chamados parâmetros e o par { V, W} é chamado um par de vetores direção 
de (o:), o mesmo par servindo para qualquer plano paralelo a (o:). 
É claro que um plano possui uma infinidade de pares de vetores direção. 
Na realidade, se A, B, C são três pontos não colineares do plano (a), entã'o 
{ B-A, C-A} é um par de vetores direçã'o de (a), como mostra a fig. 3. 14, 
comparada com a fig. 3. 13 . 
Neste caso, a equação paramétrica de (o:) é Z{Ã, µ) = A + Ã(B-A) .,. 
+ µ(C-A); À, µ E R. 
ÁLGE B R A VETO R IAL E GEOMET R I A EM IR2 E IR3 
((3) 
I 
A 
48 
/ / / C 
I ' 
Fis- 3.14 
43 
Exemplo 7 - Consideremos os pontos A = [O, 1 , - 1 ], 8 = [ 3 , O, O) e 
C = [ 1 , 4, 1 ) . Tem-se 8 - A = [3 ; - 1 , 1 ) e C - A = [ 1 , 3 , 2). Claramente, 8 - A 
não é um múltiplo escalar de C - A, portanto, A, 8 e C não são colineares e o 
plano (a) que passa por A, 8, C tem equação paramétrica 
'Zí..} .. , µ) A + >..(8-A) + µ(C-A) 
[O, l ,- 1 ] + >..[ 3 ,- 1 , 1 ] + µ[ 1 ,3,2) 
[3>.. + µ, l ->..+3µ, - 1 +>..+2µ) 
Se chamarmos Z(>..) = [x1 ,x2 ,x3 ] , tem-se que este ponto pertence a (a) se 
e só se {X1 = 3À + µ 
(*) X2 = ! ->..+3µ 
X3 = - 1 +>..+2µ 
À, µ E R 
que são as equações paramétricas escalares de (a). 
Tentemos eliminar os parâmetros >.. e µ nestas equações. Adicionando-se 
as duas últimas equações tem-se x2
+x3 = 5µ � µ = x2 
+x3 • Com este valor, 
5 
obtemos ria 2� equação : À = l -x2 + � (x2 +x3 ) , isto é, À = l - ; x2 + + x3 • 
Levando os valores de À e µ na 1 � equação, tem-se : 
isto é, 
44 I NTRO DUÇÃO À Á LG E B RA L INEAR 
Verifica-se que reciprocamente todo terno [x1 ,x2 ,x3 ] que satisfaz a equação 
(**) satisfaz também o sistema (*) . Portanto, [x1 ,x2 ,x3 ] pertence a (a) se e só se 
x1 + x2 - 2x3 - 3 = O, que é uma equação car�esiana de (a). 
Exemplo 8 - Que representa emlR3 a equação x1 -Sx2 +2x3+4 = O? Isto é, que 
figura é o conjunto p = { [x1 ,Xz ,X3 ] EIR3 1 X1 -Sx2 +2x3+4 = o} ?Para responder 
a esta pergunta, façamos, por exemplo, 
Então, (x1 ,x2 ,x3 ] E P se e só se x1 - SX + 2µ + 4 = O, isto é, {X 1 = -4 + SÃ - 2µ 
Xz = À 
X3 = µ 
Vemos, portanto, que P é o plano que passa por [-4,0,0) e tem um par de 
vetores direção{[S , 1 ,0 ) , [-2,0, 1 )} . 
Observação: O que fizemos nestes dois exemplos pode ser generalizado : todo 
plano (a) de R3 tem uma equação cartesiana da forma ax1 + bx2 + cx3 + d = O 
ou, como também é usual, ax + by + cz + d = O, onde (a,b,c] * [0,0,0) e recipro­
camente toda equação desta forma representa um plano em IR.3 . A obtenção 
deste resultado geral através das equações paramétricas escalares, como fizemos 
nos exemplos, conduziria a discussões sobre sistemas lineares de equações, qúe é 
o assunto do próximo capítulo. Mas na seção seguinte chegamos a este resultado 
por outro processo, dando também uma interpretação geométrica ao vet:::;r 
[a,b,c). 
EXE RCfCIOS DA SEÇÃO 3 
1 . Seja � a reta que passa pelo ponto [ l ,3 ] e tem vetor direção ( 5 , -2 ) . 
a) Escreva sua equação paramétrica. 
b) Escreva suas equações paramétricas escalares. 
c) Escreva sua equação cartesiana. 
d) Faça uma figura no plano, ilustrando o problema. 
ÁLG E B RA VETO R I A L E GEOMET R I A EM IR2 E IR3 45 
2. Seja .l! a reta que passa pelos pontos (0,2] e ( 4, 1 ]. Repita os itens a), b ), 
c), d} do exercício 1 para esta reta . 
3. Ache as equações paramétricas escalares e cartesiana para a reta que passa 
pelo ponto [ 1 ,0] e é paralela à reta .l! do Exercício 2. 
4. Repita os itens a), b) e c) do Exercício 1 para as seguintes retas de R3 : 
.l! = passa por (2. , 1 ,0] e tem vetor direção (3 ,0, - 1 ] ; m = passa por ( 1 ,3 , 1 ] 
e (2,0, - 1 ] . 
5 . Seja .l! a reta de IR.2 com equação cartesiana x1 + 3x2 - 5 = O. Calcule U e V 
de modo que .l! = {U + 'A.V 1 'A. E IR} . 
6. Seja .l! a reta de IR3 representada pelas equações 
X1 + l = X2 - l = � 
2 3 4 
Escreva sua equação paramétrica. 
7. Mostre que o conjunto dos pontos [ x1 ,x2 ,x3 ] E IR 3 tais que 
= 6 
é uma reta. 
= l 
8 . Seja a reta .l! de R2 de equação ax + by + c = O, onde [a,b] =I= O. 
a) Mostre que (b, -a] é um vetor direção de .l!. 
b) Mostre que .l! é paralela ao eixo y se e só se b = O. 
c) Se b =I= O, calcule o coeficiente angular de .l!. 
9 . Escreva equações paramétricas escalares e cartesiana para o plano que passa 
por A = ( 1 ,2 ,0 ] , B = (2 ,3 ,- 1 ] e C = [ 3 ,0 , l ]. 
1 0. Para os seguintes pares de retas .l! e m em R;, , discuta se são paralelas 
(iguafa ou distintas), concorrentes ou reversas. 
a) .l! = (3 , 1 , 1 ] + 'A.[ l , -2, O] 
m = [ 5 ,-3 , 1 ] + µ(-6,3 ,0] 
c) .l! = [O , l ,2] + 'A.[3 ,- 1 , l ] 
m = (3 , 1 ,2] + 1-[ -3 , 1 ,- 1 ] 
b) .l! = ( 1 ,4, 1 ] + 'A.[2,- 1 , 1 ] 
m = (0,0,- 1 ] + µ[3 ,0,2] 
d) .l! = [2, l ,3] + 'A.[ l ,- l ,3] 
m = [- 1 , l , l ] + µ(2 , 1 ,- 1 ] 
46 I NTRODUÇÃO À Á LG E B R A L I NEAR 
4. G EOMET R I A EUCL I D I ANA NO PLANO E NO ESPAÇO 
A palavra "euclidiana" está ligada aos conceitos "métricos" da 
geometria, tais como distância , perpendicular, ângulo, produto interno etc. Do 
ponto de vista abstrato da Álgebra Linear, bastaria definir o produto interno 
algebricamente, estudar as suas propriedades e em seguida definiríamos 
distância, ângulo, perpendicular etc. Mas, tal como fizemos nas seções 
precedentes, supomos que tais conceitos já significam alguma coisa para o 
leitor. Vamos, portanto, aproveitar os seus conhecimentos de geometria e 
trigonometria elementares para motivar a definição de produto interno. 
Esperamos porém, que, ao terminar o estudo desta seção, o leitor esteja 
convencido que o produto interno é o instrumento conveniente para resolver 
os problemas da geometria euclidiana. 
De agora em diante, quando nos referirmos a um vetor de coordenadas 
em Jl2 ou em R3 , suporemos que os eixos são mutuamente perpendiculares e 
graduados com a mesma unidade de comprimento. 
4. 1 MÕDULO E DISTÂNCIA 
Lembremos que se um vetor V é representado por uma seta, então o seu 
módulo llV li é a distância da origem à extremidade da seta. Utilizando pois o 
teorema de Pitágoras vemos que se V = [x1 ,x2 ] é um vetor de IR2 , então 
llV ll = v' xi + x� . (Ver fig. 4- 1 ) 
o 
Fig. 4. 1 
Em IR.3 , o módulo de V = (x1 ,x2 ,x3 ] é o comprimento da diagonal de um 
paralelepí'!:;do retângulo de arestas lx1 1, lx2 1 e lx3 I . Portanto, llV ll = 
= v' xi + Xz + xi . 
ÁLGE B R A VETO R I A L E GEOMET R I A EM IR2 E tR3 47 
Fi1. 4.2 
Se A e 8 são pontos, então a distância entre A e 8 é o módulo da seta 
AB = 8 - A. Portanto : 
Em R2 
A = [a 1 ,a2 ] 
8 = [b 1 ,b2 ] 
8-A = [b 1 -a 1 , b2 -a2 ] 
d(A,8) = 118-A ll = 
= J(b 1 -a 1 )2 +(b2 -a2 )2 
Em R3 
A = [a1 ,a2 ,a3 ] 
8 = [b1 ,b:z ,b3 ] 
8-A = [b 1 -a 1 , b2 -a2 , b3 -a3 ] 
d(A,8) = 118-A li = 
= Vi�(b-1--a-1 �)2-+-(b-2--a-2---,)2,.....+(_b_3--a-3...,..j 
Recordemos que se À > O e V * O, então X V é um vetor de mesma 
direção e sentido que V e llX V li = À l lV 11. Em particular, ui 11 é um escalar 
positivo. Portanto, o vetor ll� ll tem a mesma direção e sentido que V e 
seu módulo é 1 , pois li ll� ll li = li ll� ll V II = ll� ll llV ll = 1 . Por isto, o vetor Wr é chamado o unitário de V e, de um modo geral, qualquer vetor de 
módulo 1 é chamado um vetor unitário. 
Em R 2 , a seta representativa de 11� 11 partindo da origem tmi, portanto , 
a sua extremidade no círculo de centro na origem e raio 1 , isto é, o círculo 
trigotiométrico do plano. (Ver fig. 4-3� 
Em R3 , o papel deste círculo é feito evidentemente pela esfera de c"n­
tro na origem e raio l . 
48 I NTRODUÇÃO À Á LG E B R A L I N E A � 
Fis. 4.3 
Exemplo 1 - Se V = [ 1 ,-2 ,2) EIR3 , então llV ll = y' l 2 +(-2)2+22 3 . 
11� 11 = [+ , - � , � ) = + V. 
Exemplo 2 - Seja A = [ 1 ,2 ,3) . Um ponto P = [x1 ,x2 ,x3 ) de R 3 pertence à esfera 
de centro A e raio 4 se e só se d(P,A) = 4, isto é, y'(x1 - 1 ) 2 +(x2 -2)2 +(x3 "3)2 = 4, 
ou, o que é o mesmo, (x1 - 1 )2 + (xr2)2 + (x3 -3)2 = 1 6 , que é a equação desta 
esfera. Generalize este exemplo, e constate que você já pode estudar círculos 
em R2 e esferas em R3 . 
4.2 ÂNGULO DE VETORES 
Queremos definir ângulo de vetores não nulos, levando em conta não só 
as suas direções como os seus sentidos. Como o módulo é irrelevante neste 
caso, podemos supor todos de mesmo módulo, por exemplo, unitários. Se 
consideramos um par de vetores unitários U e V, há em geral quatro maneiras 
de girar um de modo que coincida com o outro em direção e sentido 
(fig. 4-4). 
V 
u 
Fig. 4.4 
ÁLG E BRA VETOR I A L E G E OMETR I A E M tR2 E tR3 49 
Escolhemos dentre elas, por convenção , a única que produz um ângulo 
não negativo e no máximo igual a um ângulo raso, isto é, exigimos O� O �rr 
em radianos. 
Definição: Se U e V são vetores unitários, o ângulo de U com V, representado 
por ang(U,V) é o ângulo 8 tal que O � 8 � rr e tal que girando um deles de 8 
este passa a coincidir com o óutro em direção e sentido. Se U e V são vetores 
não nulos, o ângulo de U com V é o ângulo de seus unitários. 
A fig. 4-5 ilustra vários casos. 
Ae = rr 
. . -·���L____J�---����·· 
6 = 0