ATPS Matematica Financeira

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ANHANGUERA – UNIDERP
GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
DILSON CORREA DA SILVA - RA: 6580234064
GENICE APARECIDA DA SILVA CORREIA – RA: 9612486127
JEAN LAURINDO DA SILVA – RA: 6909434336
LUCIANA DOS SANTOS PEREIRA - RA: 1299520257
PATRICIA DE SOUZA ALVES - RA: 6952492424
SUMARÉ – SP
NOVEMBRO DE 2014
UNIVERSIDADE ANHANGUERA – UNIDERP
GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
ATPS elaborada para fins de avaliação parcial do módulo de Matemática Financeira, do curso Administração da Anhanguera Educacional, sob a orientação da Profº Esp. Leonardo T. Otsuka e do tutor presencial Prof. Hélio Pedro de Jesus.
SUMARÉ – SP
NOVEMBRO DE 2014�
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO...................................................................................................................03
2. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA......................................04
2.1. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES (JUROS SIMPLES)............................05
2.2. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO (JUROS COMPOSTOS)..............05
3. HP-12C: FERRAMENTA AUXILIAR PARA CÁLCULOS FINANCEIROS...........06
4. CÁLCULOS DA ETAPA 1................................................................................................06
4.1. RESULTADO DO DESAFIO – ETAPA 1....................................................................09
5. SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES....................................................................09
5.1. SEQUÊNCIA UNIFORME: SÉRIE ANTECIPADA..................................................10
5.2. SEQUÊNCIA UNIFORME: SÉRIE POSTECIPADA................................................11
5.3. SEQUÊNCIA UNIFORME: DIRETA...........................................................................13
5.4. SEQUÊNCIA UNIFORME: COM PARCELA ADICIONAL...................................13
5.5. CÁLCULOS DA ETAPA 2.............................................................................................14
5.5.1. RESULTADO DO DESAFIO – ETAPA 2.................................................................18
6. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA............................................................18
6.1. TAXA DE JUROS............................................................................................................18
6.1.2. EQUIVALÊNCIAS DE TAXAS.................................................................................18
6.2. CÁLCULOS DA ETAPA 3.............................................................................................19
6.3. RESULTADO DO DESAFIO – ETAPA 3....................................................................21
7. AMORTIZAÇÃO...............................................................................................................22
7.1. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS......................................................................22
7.2. CÁLCULOS DA ETAPA 4............................................................................................22
7.3. RESULTADOS DA ETAPA 4.......................................................................................25
8.CONSIDERAÇÕES FINAIS..............................................................................................25
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................26
�
1. INTRODUÇÃO 
Ao elaborarmos este trabalho acadêmico temos por objetivo, apresentar a matemática financeira como uma área da matemática que está presente no cotidiano das organizações e também das pessoas em várias situações.
Abordaremos as várias terminologias da matemática financeira. Conceitos como: juros compostos, juros simples, valor presente, valor futuro serão comentados.
De acordo com o desafio proposto para a elaboração deste trabalho acadêmico, apresentaremos os cálculos resolvidos quanto ao custo pago na realização do casamento de Marcelo e Ana.
Através de fórmulas e cálculos, apresentaremos o valor da taxa de renumeração de empréstimos concedido a um amigo para o casal e também calcularemos o valor dos juros do cheque especial cobrado pelo banco por dez dias de uso.
Apresentaremos os cálculos quanto aos juros rendidos na aplicação da caderneta de poupança e para descontos de produtos a vista e também abordaremos os conceitos utilizados nos principais sistemas de amortização existentes.
Ao final apresentaremos o valor aproximado que Marcelo e Ana deverão gastar para que consigam criar seu filho, do nascimento até a idade em que ele terminará a faculdade?”.
2. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA
A matemática financeira é uma área da matemática que tem por objetivo estudar o valor do dinheiro estruturado no tempo. Ao estudarmos os conceitos da matemática financeira, identificamos a sua presença no cotidiano das pessoas e também das organizações em relação a questões financeiras.
Há algumas situações onde evidenciamos os conceitos da matemática financeira, são elas:
Empréstimos 
Financiamentos de bens ou serviços 
Compras a vista e a prazo 
Aplicações e investimentos etc...
Apresentamos algumas situações onde se faz o uso da matemática financeira, porém o fato é que existem muitas outras possibilidades onde esta área da matemática pode ser aplicada. A matemática financeira é considerada uma ferramenta indispensável nas tomadas de decisões das organizações e também das pessoas individualmente em relação a questões financeiras, visto que, a matemática financeira nos possibilita a realização de grandes negócios e também economia de dinheiro.
No contexto da matemática financeira, as operações se apoiam em duas formas de capitalização: juros simples e juros compostos. Mas antes de abordarmos estes dois regimes, é necessário que abordemos as terminologias: 
PV (Present Value): o termo valor presente refere-se ao valor inicial de uma operação no instante zero, mas também existem outras formas de ser chamado como:
Valor de origem representado pela letra O
Valor principal representado pela letra P
Capital representado pela letra C
FV (Future Value): O valor futuro é o valor que, é apresentado num momento futuro, chamado também de Montante ou Capital.
J (juros): a terminologia juros faz menção à renumeração do capital aplicado em alguma atividade produtiva.
n (números de operações): a letra n faz referência ao número de períodos na operação, o prazo e o tempo.
I (taxa de juros periódicos): refere-se à forma de incidência, diária, quinzenal, semanal, anual, trimestral entre outras. A taxa de juros periódica é expressa em forma percentual.
i (taxa de juros): a letra i minúscula indica que a taxa de juros periódica foi dividida por cem.
2.1. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES (JUROS SIMPLES)
O conceito do regime de capitalização simples também conhecido como juros simples, está relacionado às operações financeiras com períodos de capitalização inferiores a 1.
A capitalização a juros simples é considerada um dos conceitos mais básicos da matemática, onde o juro produzido por um capital é sempre o mesmo, visto que o juro calculado incide apenas sobre o capital inicial.
O regime de capitalização simples é uma função de 1º grau, ou seja, é uma função linear onde o Valor Futuro ou Montante é formado através da soma do valor principal ou capital inicial com os juros.
Regime de capitalização simples - (Fórmulas):
Jn = P * i * n
Fn =P + J n
Fn = P + (P * i * n)
Fn = P*1 + (i * n)
2.2. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO (JUROS COMPOSTOS)
O regime de capitalização composto é também conhecido como juros composto, sendo o mais utilizado. Está relacionado ao fato de que os juros gerados a cada período são integrados ao principal para cálculos de juros do período seguinte.
Ressaltamos que o valor Futuro ou montante no regime de juro composto é maior que no regime de juros simples a partir do segundoperíodo. O regime de capitalização composto é uma função exponencial.
3. HP-12C: FERRAMENTA AUXILIAR PARA CÁLCULOS FINANCEIROS
A calculadora HP 12c foi criada no ano de 1981 e é notavelmente a calculadora mais antiga e vendida em toda história. É muito utilizada na área financeira pelas facilidades que ela possui para a realização dos principais cálculos relacionados como: porcentagem, aritmética, funções calendário, datas passadas e futuras, juros simples, juros compostos, taxas média, valores de capital, amortização entre outras.
A HP 12c possui duas características que podemos considerar principais: a pilha de operadores e a lógica RPN: 
Fonte: Paiva, Administração
A lógica RPN (Reverse Polish Notation) é um método criado pelo matemático polonês Jan Lukasiewicz e foi adaptado à HP. Porém este bem se adaptou ao uso da calculadora, já que ele dispensa o uso de parênteses. Por exemplo:
Para método algébrico: ( 4 + 5 ) x 6 = 54
Para método RPN: 4 ENTER 5 + 6 x
Neste tópico da ATPS trataremos somente a importância do uso da HP como facilitador de cálculos. Mas ao longo da execução deste trabalho iremos demonstrar diversos cálculos nos quais, ela é utilizada.
4. CÁLCULOS DA ETAPA 1
CASO A
Na época em que Marcelo e Ana se casaram, algumas dívidas impensadas foram contraídas. Deslumbrados pelo grande dia usaram de forma impulsiva recursos de amigos e créditos pré-aprovados disponibilizados pelo banco em que mantinham uma conta corrente conjunta há mais de cinco anos. O vestido de noiva de Ana bem como o terno e os sapatos de Marcelo foram pagos em doze vezes de R$ 256,25 sem juros no cartão de crédito. O Buffet contratado cobrou R$ 10.586,00, sendo que 25% deste valor deveriam ser pago no ato da contratação do serviço, e o valor restante deveria ser pago um mês após a contratação. Na época, o casal dispunha do valor da entrada, e o restante do pagamento do Buffet foi feito por meio de um empréstimo a juros compostos, concedido por um amigo de infância do casal. O empréstimo com condições especiais (prazo e taxa de juros) se deu da seguinte forma: pagamento total de R$ 10.000,00 após dez meses de o valor ser cedido pelo amigo. Os demais serviços que foram contratados para a realização do casamento foram pagos de uma só vez. Para tal pagamento, utilizaram parte do limite de cheque especial de que dispunham na conta corrente, totalizando um valor emprestado de R$ 6.893,17. Na época, a taxa de juros do cheque especial era de 7,81% ao mês. (DENZIN, p. 02).
I. O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$ 19.968,17.
Dados:
Roupa para os noivos = 12 * 256,25 = R$ 3.075,00
Buffet = R$ 2.646,50 (25% à vista) 
Restante do pagamento ao Buffet através de empréstimo concedido por um amigo de R$ 7.939,50 com taxas e condições especiais = R$ 10.000,00
Outros serviços (pagos com cheque especial acrescido dos encargos) = R$ 7.074,73.
	Cálculo pela Fórmula
	Cálculo na HP
	(3.075,00 + 2.646,50 + 10.000,00 + 7.074,17) = 
R$ 22.795,67
	3.075,00 ENTER
2.646,50 +
5.721,50 
10.000,00 +
15.721,50 
7.074,73 +
R$ 22.795,67
Fonte: os Autores
Resposta: O total de gastos de Marcelo e Ana com o casamento foi de R$ 22.795,67. Portanto a afirmação está ERRADA.
II. A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês.
Dados:
PV = 7.939,50
FV = 10.000,00
n = 10 
i = ?
	Cálculo pela Fórmula
	Cálculo na HP
	M = PV x (1 + i)n
10.000,00 = PV x (1 + 0,023342)10
10.000,00 = PV x (1,023342)10
10.000,00 = PV x 1,25953
PV = 10.000,00/ 1,25953
PV = 7.939,50
	f REG
[STO] [EEX] (aparecerá um C no visor)
10 n
1000000FV
793950 CHS PV
i
 visor = 2,3342
R: 2,3342% a.m.
Fonte: os Autores
Resposta: a afirmação do item II está CERTA.
III. O juro do cheque especial cobrado pelo banco em 10 dias, referente ao valor emprestado de R$ 6.893,17, foi de R$ 358,91.
Dados:
PV = R$ 6.893,17
n =10
i = 7,8 % → 7,8 /100 = 0,078/ 30 = 0,26%
FV = ?
	Cálculo pela Fórmula
	Cálculo na HP
	J= 6.983,17 * (1 + 0,0781 * 0,33)
J = 6.939,17 * 1,0258
J = 7.074,50
J = 181,33
	6.893,17 CHS PV 
10 n
0,26 i
FV = ?
visor = R$ 7.074,50
R: 7.074,50 (VF) – 6.893,17(VP) → 
R$ 181,33
Fonte: os Autores
Resposta: O juro do cheque especial foi de R$ 181,33. Portanto a afirmação está ERRADA.
CASO B
Marcelo e Ana pagariam mais juros se, em vez de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$ 6.893,17, o casal tivesse optado por emprestar de seu amigo a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização. (DENZIN, p. 02).
Dados:
PV = 6.893,17
n= 10
i= 7,81 a.m. → 7,81/30dias = 0,26
FV= ?
	Cálculo pela Fórmula
	Cálculo na HP
	M= C (1+i)n
M= 6.893,17 (1+0,0026)10 
M=6.893,17 x 1,026306 
M= 7.074, 50 
J= 7.074, 50 – 6.893,17 
= R$ 181,54
	6.893,17 CHS PV
0,26 i
10 n
FV = ?
Visor = R$ 7.074,50
Fonte: os Autores
Resposta: Eles pagariam o mesmo valor que é de R$ 7.074,50. Portanto a resposta está ERRADA.
4.1. RESULTADO DO DESAFIO – ETAPA 1
	CASO A
	I
	II
	III
	Número
	
	ERRADA
	CERTA
	ERRADA
	
	CASO B
	I
	II
	III
	
	
	ERRADA
	-
	-
	1
Fonte: os Autores
5. SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES 
Quando realizamos pagamentos com parcelas de mesmo valor e nas mesmas datas, dizemos que estamos realizando um pagamento uniforme. Considerando uma sequência de capitais iguais: X1, X2, X3..., Xn e estes respectivamente nas mesmas datas: 1, 2, 3...4, sendo n dia, mês, ano, etc; chamamos este conjunto de valores de sequência uniforme.
	X1 = X2 = X3 = ... = Xn = R
Fonte: os Autores
Ou seja, se todos os capitais são iguais, indicados com R: 
 R R R R
0 1 2 3... n
Seguindo a definição, o valor atual do capital a data 0, a uma taxa i na unidade de tempo é dada por:
V = ___R___ + ___R___ + ... + ___R___
 ( l + i)1 ( l + i)2 ( l + i)n
V = R ___1 ___ + ___1___ + ... + ___1___ 
 ( l + i)1 ( l + i)2 ( l + i)n
5.1. SEQUÊNCIA UNIFORME: SÉRIE ANTECIPADA
Podemos definir como: todos os pagamentos em que o pagamento da primeira parcela ocorre na data 0, ou seja, no ato da compra, a comumente conhecida compra com entrada.
Para sabermos os valores dos pagamentos antecipados utilizamos diversas fórmulas, específicas para cada tipo de situação financeira:
Para calcularmos o valor presente de uma série antecipada usamos:
	
 Fonte: os Autores
Para calcularmos o valor da prestação de uma série antecipada usamos:
	
 Fonte: os Autores
Para calcularmos o período de uma série antecipada de pagamentos:
	
 Fonte: os Autores
Para calcularmos o valor futuro de uma série antecipada de pagamentos:
	
Fonte: os Autores
5.2. SEQUÊNCIA UNIFORME: SÉRIE POSTECIPADA
Pagamentos postecipados são, todos os que ocorrem sempre no momento 1 após efetivada a compra, ou seja, a primeira parcela sempre será paga após um mês da compra. Popularmente chamamos este sistema de compra sem entrada. 
Os pagamentos ou recebimentos, podemos chamar de prestação, o qual é representado pela sigla PMT (do inglês Payment).
A seguir, mostraremos as fórmulas mais utilizadas para cálculos de séries postecipadas:
Cálculo do valor presente de uma série postecipada:
	
Fonte: os Autores
Cálculo da prestação de uma série postecipada:
	
Fonte: os Autores
Cálculo do período de uma série postecipada:Fonte: os Autores
	
Cálculo do valor futuro de uma série postecipada:
Fonte: os Autores
5.3. SEQUÊNCIA UNIFORME: DIRETA
Os pagamentos diferidos de série direta, onde o período ou intervalo ocorrem a partir do depois do 2º período, ou seja, apresenta-se um período de carência. As fórmulas para o cálculo são:
Para calcularmos o valor presente de uma série direta:
	
 Fonte: os Autores
Para calcularmos a prestação de uma série direta:
	
 Fonte: os Autores
Para calcularmos o período de uma série direta:
	
Fonte: os Autores
Para calcularmos o valor futuro de uma série direta:
	
Fonte: os Autores
5.4. SEQUÊNCIA UNIFORME: COM PARCELA ADICIONAL
Quando se trata de mercado imobiliário, existem situações em que o mercado onde os pagamentos ou recebimentos pré-estabelecidos e previstos ao longo de um período de caixa, seja cobrado além das parcelas (prestações), um valor adicional. 
	
Fonte: os Autores
5.5. CÁLCULOS DA ETAPA 2
CASO A 
Marcelo adora assistir a bons filmes e quer comprar uma TV HD 3D, para ver seus títulos prediletos em casa como se estivesse numa sala de cinema. Ele sabe exatamente as características do aparelho que deseja comprar, porque já pesquisou na internet e em algumas lojas de sua cidade. Na maior parte das lojas, a TV cobiçada está anunciada por R$ 4.800,00. No passado, Marcelo compraria a TV em doze parcelas “sem juros” de R$ 400,00, no cartão de crédito, por impulso e sem o cuidado de um planejamento financeiro necessário antes de qualquer compra. Hoje, com sua consciência financeira evoluída, traçou um plano de investimento: durante 12 meses, aplicará R$ 350,00 mensais na caderneta de poupança. Como a aplicação renderá juros de R$ 120,00 acumulados nesses dozes meses, ao fim de um ano, Marcelo terá juntado R$ 4.320,00. Passado o período de 12 meses e fazendo uma nova pesquisa em diversas lojas, ele encontra o aparelho que deseja a última peça (mas na caixa e com nota fiscal), com desconto de 10% para pagamento à vista em relação ao valor orçado inicialmente. Com o planejamento financeiro, Marcelo conseguiu multiplicar seu dinheiro. Com o valor exato desse dinheiro extra que Marcelo salvou no orçamento, ele conseguiu comprar também um novo aparelho de DVD/Blu-ray juntamente com a TV, para complementar seu “cinema em casa”. (DENZIN, p. 06).
I. O aparelho de DVD/BLU-RAY custou R$ 600,00.
O pagamento da TV seria de 12 parcelas de R$ 400,00 no cartão de crédito:
	Cálculo Comum
	Cálculo na HP
	12 parcelas x R$ 400 = 
R$ 4.800,00
	12 ENTER
400 x
R$ 4.800,00
Fonte: os Autores
Porém Marcelo ao invés de comprar a TV no cartão de crédito, resolveu aplicar o valor de R$ 350,00 durante 12 meses, que com o rendimento de R$ 120,00 de juros lhe rendeu R$ 4.320,00:
	Cálculo Comum
	Cálculo HP
	12 x R$ 350.00 + R$ 120.00 = 
R$ 4.320,00
	12 ENTER
350 x
120 +
R$ 4.320,00
Fonte: os Autores
Depois de resgatar o investimento realizado, Marcelo faz uma nova pesquisa no mercado com o intuito de comprar a TV tanto desejada. Após esta pesquisa ele encontra o aparelho desejado, com 10% de desconto no pagamento à vista em relação ao orçamento feito inicialmente:
	Cálculo Comum
	Cálculo HP
	R$ 4.800,00 – 10% =
R$ 4.800,00 – R$ 480.00 =
R$ 4.320,00
	4800 ENTER
10 %
480 –
R$ 4.320,00
Fonte: os Autores
Marcelo evitou uma dívida com o cartão e pelo mesmo valor que ele havia orçado inicialmente de R$ 4.800,00, conseguiu adquirir a TV por R$ 4.320,00 e ainda comprou um aparelho de DVD/ Blu-ray por R$ 480,00:
	Cálculo pela Fórmula
	Cálculo HP
	R$ 4.320,00 + R$ 480,00 = 
R$ 4.800,00
	4320 Enter
480 +
R$ 4.800,00
Fonte: os Autores
Resposta: o aparelho de DVD/ Blu-ray custou R$ 480,00. Portanto a afirmação está ERRADA.
II. A taxa média da poupança nestes 12 meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao mês.
Dados:
PV = R$ 350,00
n = 12
i= ?
	Cálculo pela Fórmula
	Cálculo HP
	FV= VP * ( 1 +i )n 
4.320,00 = 350,00 * ( 1 + i )12
4.320,00 = 350,00 * (1 i )12 
4.320,00 = 350,00 i
i= 350,00/4.320
i= 0,05107
	f CLX 
350 CHS 
PMT 
4320 FV 
12 n 
i
visor = 0,5107
Fonte: os Autores
Resposta: A taxa média de 0,5107% ao mês está CERTA.
CASO B 
A quantia de R$30.000,00 foi emprestada por Ana à sua irmã Clara, para ser liquidada em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas. Sabe se que a taxa de juros compostos que ambas combinaram é de 2,8% ao mês. (DENZIN, p. 07).
I. Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.977,99.
Dados:
PV = 30.000,00
n = 12
i = 2,8% → 2,8/ 100 = 0,028
PMT = ? 
	Cálculo pela Fórmula
	Cálculo HP 12C
	PV = PMT . (1 + i)n * i
 (1 + i )n - 1
PV = 30.000 . (1 + 0,028)12 * 0,028_
 (1 + 0,028 )12 - 1
PV = 30.000 . (1,028)12 * 0,028_
 (1,028)12 - 1
PV = 30.000 . 1,4 * 0,028_
 1,4 - 1 
PV = 30.000 . 0,04 _
 0,4
PV = 30.000 * 0,10
PV = 2.977,99
	f CLX
30.000 PV
12 n
2.8 i
PMT 
Visor = R$ 2.977,99
Fonte: os Autores
Resposta: A afirmação do item I está CERTA.
II. Clara, optando pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia em que se der a concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.896,88. 
Dados:
PV= 30.000,00
n= 12
i= 2,8%→ 2,8/ 100 = 0,028
PMT = ?
	Cálculo Comum
	Cálculo HP 12C
	PV = PMT (1 + i)n – 1
 (1 + i)n – 1 x 1 
PV = 30.000 * (1 + 0,028)12 – 1
 (1 + 0,028)12 – 1 * 1 
PV = 30.000 * (1 ,028)12 – 1
 (1,028)11 * 1 
PV = 30.000 * 1,4 – 1
 (1,028)11 * 1
PV = 30.000 * 0,4
 1,4 * 1
PV = 30.000 * 0,4
 1,4 * 1
	f CLX
g 7
30000 PV
12 n
2.8 i
PMT 
Visor = R$ 2.896,88
Fonte: os Autores
Resposta: a afirmação do item II está CERTA.
III. Caso clara opte pelo vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 3.253,21. 
Dados:
PV= 30.000,00
n= 12
i= 2,8 / 100 = 0,028
c= 4
	Cálculo Comum
	Cálculo HP 12C
	 PMT = PV (1 + i)c – 1 x i 
 1 – ( 1 + i )c - 1 
 
PMT = 30.000 . (1 + 0,028)4 – 1 x 0,028 
 1 – ( 1 + 0,028 )4 - 1 
PMT = 30.000 . (1,028)3 x 0,028 
 1 – ( 1,028 )3 
PMT = 30.000 . 1,086 x 0,028 
 1 – 1,086 
PMT = 30.000 . 0,3040 
 0,086 
PMT = 30.000 . 0,35
PMT= 3.253,20
	g BEG
f CLX
30000 CHS PV
4 n (prazo de carência)
2,8 i
FV 
CHS PV
0 FV (zerar o valor futuro)
12 n (número de prestações)
PMT
Visor = R$ 3.235,20
Fonte: os Autores
Resposta: a prestação paga por Clara será de R$ 3.235,20. Portanto a resposta é ERRADA.
5.5.1. RESULTADO DO DESAFIO – ETAPA 2
	CASO A
	I
	II
	
	Número
	
	ERRADA
	CERTA
	
	1
	CASO B
	I
	II
	III
	
	
	CERTA
	CERTA
	ERRADA
	9
Fonte: os Autores
6. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Chamamos de capitalização composta, a taxa de juros que incide sobre um capital inicial que já possui juros acumulados até o período anterior. Neste regime, a taxa varia de forma exponencial em função do tempo.
Utilizamos o conceito de montante como na capitalização simples, que é a soma do capitalaplicado mais os juros acumulados sobre este capital em um determinado período. Usamos também o VF para valor futuro e VP para valor presente, n para prazo ou tempo de capitalização e i para as taxas.
O cálculo do montante na capitalização composta é mais complexo do que para a capitalização simples. A seguir apresentaremos algumas fórmulas utilizadas:
Cálculo do Montante
	VF = VP (1+i)n
 Fonte: os Autores
Cálculo do Juro
 
	J = VF – VP => J = VP (1+i)n – VP 
 Fonte: os Autores
6.1. TAXA DE JUROS
Podemos definir taxa de juros como a taxa de lucros recebidos em um investimento. Geralmente apresenta - se em bases anuais, podendo também apresentar-se em bases semestrais, trimestrais, mensais ou diárias. Esta taxa representa nada mais do que o percentual de ganho obtido com a aplicação do capital inicial.
Por exemplo, se aplicarmos um capital a uma taxa de juros de 40%, ao ano, indica que o capital investido terá um rendimento de R$ 0,40 por cada unidade monetária aplicada. A taxa de juros é representada pela letra i. 
O conceito de taxa de juros geralmente é usado quando se recebe (taxa de retorno) um capital emprestado ou se paga um empréstimo. Todas as formas de remuneração de capital podem ser consideradas juros como dividendos, lucros, etc.
Todas as instituições financeiras quando fazem um empréstimo, esperam uma taxa de retorno com o acréscimo de uma parcela de juros. Porém nas taxas de juros aplicadas por elas são embutidos alguns fatores:
Risco
Custos Administrativos
Lucro
Expectativas Inflacionárias
6.1.2. EQUIVALÊNCIAS DE TAXAS
As taxas de juros são equivalentes se forem aplicadas ao mesmo capital e pelo mesmo período de tempo. Onde ambas irão produzir o mesmo juro ou montante. Nos cálculos de juros compostos as taxas consideradas são proporcionais, ou seja, uma taxa de 12% a.a. não é equivalente a 1% a.m. 
Partindo deste mesmo principio citado acima, um capital aplicado a juros compostos num período de tempo temos: VF = VP (1+ ia). E para que as taxas sejam iguais o montante também deverá igual, assim: VP (1 + ia) = VP (1 + im)12. Portanto podemos também conhecer uma taxa diária dada uma taxa mensal, ou vice-versa.
Taxa Nominal – é o período em que se forma e se incorporam os juros ao capital e estes não são coincidentes com a taxa referida. 
Exemplos: 250% (ao mês) com capitalização mensal; 250% (ao semestre) com capitalização semestral; 500% (ao ano) com capitalização anual.
Taxa Efetiva – é quando o período de formação dos juros do capital coincide com as taxas.
Exemplos: 150% (a.m.) com capitalização mensal; 500% (a.s.) com capitalização semestral; 800% (a.a.) com capitalização anual.
6.2. CÁLCULOS DA ETAPA 3
CASO A 
Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo em um fundo de investimento. A aplicação de R$ 4.280,87 proporcionou um rendimento de R$ 2.200,89 no final de 1.389 dias. A respeito desta aplicação tem-se: (DENZIN, p. 08).
Dados: 
PV = 4.280,87
FV= 6.481,76
n = 1.389 dias
i = ?
I: A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%. 
	Cálculo pela Fórmula
	Cálculo pela HP
	6.481,76 = 4.280,87 * ( 1 + i )1389
 ( 1 ,51 )1389 = 1 + i
1.0002987 – 1 = i
i = 0002987
	f CLX 
4.280,87 CHS PV 
0 
PMT 
1389 n 
6.481,76 FV 
i
Visor = 0,02987
Fonte: os Autores
Resposta: a afirmação do item I é CERTA.
II. A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%.
PV = 4.280,87
FV= 6.481,76
n = 1.389 dias / 30dias = 46,3 meses
i = ?
	Cálculo pela Fórmula
	Cálculo na HP
	6.481,76 = 4.280,87 * ( 1 + i )30
(1,51)30 = 1 + i
1,01383 – 1 = i
i= 13,83%
	f CLX 
4.280,87 CHS PV 
0 
PMT 
46,3 n
6.481,76 FV 
i
visor = 0,899981
Fonte: os Autores
Resposta: a afirmação do item II é ERRADA.
III. A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada mensalmente, é de 11,3509%.
PV = 4.280,87
FV= 6.481,76
n = 1.389 dias / 30dias = 46,3 meses/ 12 = 3,8 anos
i = ?
	Cálculo Comum
	Cálculo HP
	i= (1+0,1080)12 - 1
i= (1+0,1080)12 - 1 
i= (1+0,0090)12 – 1 
i= 1,1135 – 1 
i= 0,1135 * 100 
i = 11,3509%
	f CLX 
4.280,87 CHS PV 
0 
PMT 
3,8 n 
6.481,76 FV 
i
Visor = 11,51%
Fonte: os Autores
Resposta: a afirmação do item II é CERTA. 
CASO B 
Nos últimos dez anos, o salário de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflação, nesse mesmo período, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do salário de Ana foi de 43,0937%. (DENZIN, p. 08).
Dados:
PV = 4.280,87
n= 10 anos
i (salário) = 25,78%
i (inflação) = 121,03%
FV= ?
	Cálculo pela fórmula
	Cálculo pela HP 12C
			(1+ i ) = ( 1+ r ) * ( 1+ j ) 
(1+0,2578)= (1+r) * (1+1,2103) 
(1,2578)= ( 1+ r)*(2,2103)
 (1+r) = 1,2578 2,2103 
(1+r) = 0,5691 r = - 0,4309 = 
- 43,0937%
	
Fonte: os Autores
Resposta: a afirmação do caso B está CERTA.
6.3. RESULTADO DO DESAFIO – ETAPA 3
	CASO A
	I
	II
	III
	Número
	
	CERTA
	ERRADA
	CERTA
	5
	CASO B
	I
	II
	III
	
	
	CERTA
	-
	-
	0
Fonte: os Autores
7. AMORTIZAÇÃO
Chamamos de amortização o processo em que as dívidas são liquidadas através de pagamentos feitos periodicamente, ou seja, é o fim de uma dívida através da quitação da mesma. 
Cada prestação é uma parte do todo, incluindo-se os juros e saldo devedor que restar. O termo amortização é muito utilizado em diversos setores econômicos como: contabilidade, administração matemática e financeira. 
Dentro dela estão inclusos o prazo, que é o tempo para a quitação de todas as parcelas, as parcelas amortizadas, que é o valor que é devolvido e as “prestações”, que é o somatório da amortização com os juros e impostos acrescidos.
7.1. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Para o pagamento de empréstimo existem diversos sistemas de amortização, porém o mais comum é o sistema francês que é conhecido como: tabela PRICE e o sistema americano conhecido como SAC.
Sistema SAC e Sistema PRICE, em ambos o pagamento varia com o tempo e são os principais sistemas usados pelas instituições financeiras em todo o mundo.
Sistema SAC: Amortização constante, valor das prestações fixas, objetivo que permite amortização maior do valor solicitado inicialmente comprometendo 30% da renda, diferenciando do sistema PRICE que é 25%. Esclarece que de acordo com cálculos determinados periódicos ao longo do contrato diminui o valor das prestações e parcelas de juros decrescentes. 
Sistema PRICE: Valor das prestações fixas reajustadas periodicamente, mensalmente e anualmente com parcela inicial menor sendo uma característica do sistema PRICE. Com altos juros no começo, mais juros a ser pago, quando maior o período do financiamento assim menor a amortização das parcelas primárias.
7.2. CÁLCULOS DA ETAPA 4
CASO A
Se Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema de amortização das parcelas se daria pelo SAC (Sistema de Amortização Constante), o valor da 10ª prestação seria de R$ 2.780,00, e o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$ 5.000,00. (DENZIN, p. 10)
Dados:
PV = R$30.000,00 
i=2,8% 
n= 12 meses 
Amortização = 2.500,00
Planilha Excel - Sistema de amortização (SAC)
	Período
	Saldo Devedor
	Amortização
	Juros
	Parcelas
	0
	30.000,00
	0
	0
	 
	1
	27.500,00
	R$ 2.500,00 
	R$ 840,00 
	R$ 3.340,00 
	2
	25.000,00
	R$ 2.500,00 
	R$ 770,00 
	R$ 3.270,00 
	3
	22.500,00
	R$ 2.500,00 
	R$ 700,00 
	R$ 3.200,00 
	4
	20.000,00
	R$ 2.500,00 
	R$ 630,00 
	R$ 3.130,00 
	5
	17.500,00
	R$ 2.500,00 
	R$ 560,00 
	R$ 3.060,00 
	6
	15.000,00
	R$ 2.500,00 
	R$ 490,00 
	R$ 2.990,00 
	7
	12.500,00
	R$ 2.500,00 
	R$ 420,00 
	R$ 2.920,00 
	8
	10.000,00
	R$ 2.500,00 
	R$ 350,00 
	R$ 2.850,00 
	9
	7.500,00
	R$ 2.500,00 
	R$ 280,00 
	R$ 2.780,0010
	5.000,00
	R$ 2.500,00 
	R$ 210,00 
	R$ 2.710,00 
	11
	2.500,00
	R$ 2.500,00 
	R$ 140,00 
	R$ 2.640,00 
	12
	0,00
	R$ 2.500,00 
	R$ 70,00 
	R$ 2.570,00 
Fonte: os Autores
Resposta: O cálculo realizado pela tabela SAC está ERRADO.
CASO B
Se Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema de amortização das parcelas se daria pelo sistema PRICE (Sistema Frances de Amortização), o valor da amortização para o 7º período seria de R$ 2.780,00, o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$ 2.322,66, e o valor do juro correspondente ao próximo período seria de R$ 718,60. (DENZIN, p. 10)
Dados:
PV = R$30.000,00 
i=2,8% 
n=12 meses 
Prestação = R$ 2.545,73
Planilha Excel - Sistema de amortização (PRICE)
	Nº.
	Prestação
	Juros
	Amortização
	
Saldo Devedor
	0
	0,00
	0,00
	0,00
	30000,00
	1
	2545,73
	84,00
	2461,73
	27538,27
	2
	2545,73
	77,11
	2468,63
	25069,64
	3
	2545,73
	70,19
	2475,54
	22594,10
	4
	2545,73
	63,26
	2482,47
	20111,63
	5
	2545,73
	56,31
	2489,42
	17622,21
	6
	2545,73
	49,34
	2496,39
	15125,82
	7
	2545,73
	42,35
	2503,38
	12622,44
	8
	2545,73
	35,34
	2510,39
	10112,05
	9
	2545,73
	28,31
	2517,42
	7594,63
	10
	2545,73
	21,26
	2524,47
	5070,16
	11
	2545,73
	14,20
	2531,54
	2538,63
	12
	2545,73
	7,11
	2538,63
	 0,00
	Total 
	30548,80
	548,80
	30000,00
	0,00
Fonte: os Autores
Resposta: O cálculo realizado pela tabela PRICE está ERRADO.
Em relação ao software Excel: o cálculo utilizando na planilha Excel ajudou a compreender de forma a prática os principais sistemas de amortização dos juros de longo prazo e correção monetária.
7.3. RESULTADO DO DESAFIO – ETAPA 4
	
	CASO A
	CASO B
	
	ERRADO
	ERRADO
	NÚMERO
	3
	1
Fonte: os Autores
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta ATPS de Matemática Financeira foi pedido que realizássemos alguns cálculos para que encontrássemos o valor aproximado que, o casal Marcelo e Ana pudesse criar o seu filho e dá-lo assistência durante toda sua vida até o término da faculdade.
Portanto após a realização de diversos cálculos chegamos à conclusão de que Marcelo e Ana gastarão para assistir o seu filho, desde o nascimento até o fim da faculdade aproximadamente R$ 311.950,31.
A execução desta ATPS veio nos mostrar a grande importância da calculadora HP 12c, quando tratamos de cálculos eficientes. O uso das fórmulas matemáticas, a planilha do software Excel todos os recursos que amplamente são utilizados na nossa área profissional e todos eles nos permitiram aprofundar em temas comumente utilizados na área financeira como: taxas de juros, capitalização simples, capitalização composta, série de pagamentos uniformes, amortização entre outros.
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Web HP-12C emulator. Disponível em: http://epx.com.br/ctb/hp12c.php. Acesso em 29 de out 2014.
Sequência Uniformes de Capitais. Disponível em: http://matematicafinanceira.webnode.com.br/sequ%C3%AAncia%20uniforme%20de%20capitais/> Acesso em: 30 de out de 2014.
Apostila Matemática Financeira. Disponível em: http://academico.mbacorporativo.com.br/arquivo/Apostila_Matematica_Finananceira.pdf. Acesso em 30 de out de 2014.
Capitalização Composta. Disponível em: http://www2.unemat.br/eugenio/juros_compostos.html. Acesso em 28 de out de 2014.
Apostila HP. Disponível em: http://antigo.univille.br/arquivos/3674_ApostilaHP2007setembro.pdf. Acesso em 28 de out de 2014.
Amortização. Disponível em: http://www.significados.com.br/amortizacao/. Acesso em 31 de out de 2014.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education, 2009.