Análise Vetorial em 4 Dimensões

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Ana´lise vetorial em 4 dimenso˜es
Espac¸o-tempo e a me´trica Minkowiskiana
Para especificar a localizac¸a˜o de um ponto em um espao tridimensional, precisamos de um vetor tridi-
mensional.
Em coordenadas retangulares temos o vetor
R = (x, y, z)
Para um sistema em coordenadas cil´ındricas, teremos
R = (r cos θ, r sin θ, z)
E assim para outros espac¸os vetoriais.
Pore´m se desejamos descrever onde e quando um evento f´ısico ocorre, precisamos de mais uma coor-
denada - a temporal. E´ conveniente expressar esta em unidades de comprimento. Para tal utiliza-se a
multiplicac¸a˜o pela constante universal da velocidade da luz. Desta forma teremos o vetor quadrimensional
R = (x, y, z, ct)
Definimos ct = τ , logo
R = (x, y, z, τ) (1)
Temos tambe´m para este novo espac¸o o teorema de Pita´goras:
(ds)2 = R ·R = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 + (dτ)2 (2)
onde ds representa a distaˆncia entre dois pontos de evento e e´ chamado de intervalo.
Note que esta representac¸a˜o e´ muito sime´trica para que represente o mundo como o observamos Isto se
deve ao fato de que ds e´ invariante sob a troca entre as coordenadas espaciais e entre qualquer coordenada
espacial e a temporal. No entanto trocas entre coordenadas espaciais representa apenas uma mudanc¸a de
referencial, enquanto que a troca de uma coordenada espacial por uma temporal na˜o tem sentido f´ısico
algum.
Buscamos enta˜o uma forma para o teorema de Pita´goras que permita a distinc¸a˜o entre a troca de qualquer
diferencial espacial pela temporal, mas que seja invariante sob a troca entre diferenciais espaciais. Pode-
mos fazer isso incluindo um sinal alge´brico na definic¸a˜o de modo que os crite´rios acima sejam obedecidos.
Logo,
(ds)2 = (dτ)2 − r · r = c2(dt)2 − r · r (3)
onde r = (x, y, z), em coordenadas retangulares. Note que agora que o intervalo invariante sob per-
mutac¸o˜es de dx,dy e dz, mas no entre qualquer uma destas e dt.
A equac¸a˜o (3) e´ chamada de forma fundamental Minkowskiana.
Note que a coordenada temporal esta´ inclu´ıda na equac¸a˜o (3). Enta˜o as transformac¸o˜es sob as quais
(ds)2 permanece invariante devem incluir movimentos, isto e´, transformac¸o˜es entre sistemas referenciais
que estejam em movimento relativo um com relac¸a˜o ao outro.
Consideraremos o caso especial da teoria da relatividade onde dois referenciais se movem com velocidade
constante um comrelac¸a˜o ao outro. Se definirmos o sentido do movimento ao longo do eixo-x, teremos:

x2 = x1 − vt1
y2 = y1
z2 = z1
t2 = t1
2
Esta e´ conhecida como a transformac¸a˜o de Galileu e reflete o conceito de movimento relativo que se tinha
nos tempos pre´-relatividade.
Temos que (ds)2 deve ser invariante sob a mudanc¸a entre referenciais. Portanto,
(ds)2 = c2(dt1)
2 − (dx1)− (dy1)
2 − (dz1)
2 = c2(dt2)
2 − (dx2)− (dy2)
2 − (dz2)
2
Fazendo a substituic¸a˜o proposta
(dx1)
2 = (dx1 − vdt1)
2
desenvolvendo a poteˆncia e rearranjando,
vdt1(vdt1 − 2dx1) = 0
que e´ de modo geral imposs´ıvel. Desta forma somos levados a pensar que ha´ algo fundamentalmente
errado com a concepc¸a˜o cla´ssica de velocidade relativa.
Motivac¸a˜o geome´trica para os fenoˆmenos relativ´ısticos
Antes de iniciarmos esta discussa˜o deve-se fazer uma observac¸a˜o: a transformac¸a˜o de Galileu leva em
considerac¸a˜o que a informac¸a˜o de um evento viaja com velocidade infinita (e isso e´ uma boa aproximac¸a˜o
para eventos que ocorrem em distaˆncias costumeiras ao nosso cotidiano e para referenciais que se movem
com velocidades a`s quais estamos acostumados), mas na verdade a forma de propagac¸a˜o mais ra´pida e´ por
meio de ondas eletromagne´ticas e estas se propagam com velocidade finita e esta e´ constante para qualquer
referencial independentemente da velocidade deste1. Sendo assim, pode-se inciar algumas discusso˜es.
Simultaneidade
Vamos supor o seguinte experimento mental:
Um observador na origem O, do referencial S1 coloca dois explosivos nos pontos C1 e C2 neste mesmo
referencial. de modo que OC1 e OC2 sejam iguais. Ele utiliza sinais eletromagne´ticos que ira˜o detonar
os explosivos simultaneamente no referencial S1.
Suponha que estas exploso˜es ocorram quando o observador em O esteja de frente para um observador
em O′ que esta´ em referencial que se move com uma velocidade, v, muito alta no sentido de C1 para
C2 (digamos que este esteja em um trem). As exploso˜es fazem marcas nas laterais do trem, mas como a
velocidade do trem e´ muito alta o observador dentro do trem veˆ primeiro a explosa˜o em C′2 e depois em
C′1. Portanto o observador em S2 conclui que as exploso˜es na˜o foram simultaˆneas.
Do ponto de vista de O, C2C1 = C
′
2
C′
1
, mas para O′ o ponto C′2 passou por C2 antes de C
′
1 passar por
C1 (j’a que ele recebeu o sinal de C
′
2 antes).Logo, para O
′, C2C1 < C
′
2
C′
1
. Um fato interessante e´ que as
discordaˆncias de comprimento e tempo e´ tal que nos dois referenciais chega-se ao mesmo resultado para
a velocidade do pulso eletromagne´tico.
Dilatac¸a˜o temporal
Considere agora outro experimento mental onde pretende-se calcular o tempo de um evento visto de dois
referenciais. Considere um observador em O′ que emite um sinal luminoso em um espelho a` uma distaˆncia
l. O tempo medido por este e´ T ′ = ∆t′. Um observador em O possui relo´gios em duas posic¸˜[o]es, C1 e C2,
que coincidem com O′ no instante em que este emite o feixe e quando o recebe, respectivamente, e este se
movimenta com velocidade v em relac¸a˜o a` O′. Temos pelo teorema de Pita´goras que c2∆t2 = v2∆t2 + l2
1Interessados podem ver o experimento de Michelson-Morley
3
(onde l e´ a distaˆncia perpendicular ao movimento de O ate´ o espelho). O tempo medido em O e´ dado
por T = 2∆t. Isolando ∆t no teorema de Pita´goras temos que:
∆t =
l2
c2 − v2
=
l
c
1√
1− v
2
c2
Consideramos que a distaˆncia entre o espelho e os observadores e´ a mesma quando ambos esta˜o em
repouso. No entanto o movimento relativo na˜o altera nada no sentido perpendicular ao sentido de
movimento (porque a inconsisteˆncia com relac¸a˜o a` simultaneidade esta´ relacionada com a velocidade
finita de propagac¸a˜o das ondas eletromagne´ticas no sentido de movimento dos observadores).
Portanto:
∆t =
l′
c
1√
1− v
2
c2
E como l
′
c
= ∆t′ temos, multiplicando os dois lados da equac¸a˜o,
T =
T ′√
1− v
2
c2
Note que como v < c enta˜o T > T ′, ou seja, em um referencial onde um evento ocorre em um mesmo
local e´ maior em um referencial que se move.
Contrac¸a˜o do espac¸o
Vamos recorrer a um terceiro e u´ltimo experimento mental para analisar este caso. Considere uma re´gua
de comprimento L em repouso em um referencial O onde em seus extremos esta˜o localizados dois relo´gios,
C1 e C2. Considere um segundo referencialO
′ que possui uma velocidade relativa, v, com relac¸a˜o primeiro.
T ′ e´ o intervalo de tempo em que o observador em O′ v os extremos da frente e de tra´s da re´gua passar
por ele. Este observador pode relacionar o mo´dulo do comprimento da re´gua com a velocidade e o tempo
que esta demora para passar por ele:
L′ = vT ′
Pode-se pensar analogamente para medidas realizadas do ponto de vista de O:
L = vT
Como o mo´dulo da velocidade e´ a mesma, enta˜o podemos escrever
L′ = L
T ′
T
Mas obtivemos a relac¸a˜o entre T ′ e T no caso anterior. Portanto, podemos reescrever esta u´ltima equac¸a˜o
como
L′ = L
√
1−
v2
c2
Ou seja, ao medir-se o comprimento de uma re´gua de um referencial em movimento observa-se uma
contrac¸a˜o do comprimento da mesma.
Obtivemos aqui alguns resultados relativ´ısticos a partir de argumentos geome´tricos. Na pro´xima sec¸a˜o
sera´ desenvolvida uma discussa˜o formal deste assunto.
4
Transformaca˜o de Lorentz¸
Supondo que a transformac¸a˜o de x1, t1 para x2, t2 seja linear e homogeˆmea, podemos definir a seguinte
relac¸a˜o entreas coordenadas 

x2 = ax1 − bct1
y2 = y1
z2 = z1
ct2 = ex1 + fct1
(4)
onde a, b, e, f sa˜o constantes que no dependem de x1, t1
A linearidade assumida garante que a taxa de variac¸a˜o no dependa da localizac¸a˜o no tempo e espac¸o. A
homogeneidade assumida garante que a origem seja preservada na transformac¸a˜o (x1 = ct1 = 0⇒ x2 =
ct2 = 0).
Como os dois sistemas se movem com velocidade constante um em relac¸a˜o ao outro, deve-se esperar que
as constantes dependam de v.
Partindo de (4) e assumindo a invariaˆncia no intervalo ds, temos:
(ct22)− x
2
2 ≡ s ≡ (ct
2
1)− x
2
1
(ex1 + fct1)
2 − (ax1 − bct1)
2 ≡ (ct21)− x
2
1
(e2 − a2 + 1)x21 + (f
2 − b2 − 1)c2t21 + 2c(ef + ab)x1t1 ≡ 0
Logo, temos que
a2 − e2 = 1
f2 − b2 = 1
ef + ab = 0
Resolvendo:
a =
√
1 + e2; f =
√
1 + b2
Portanto
e
√
1 + b2 = −b
√
1 + e2
Elevando ao quadrado os dois lados da igualdade chegamos a
e2(1 + b2) = b2(1 + e2)⇒ e2 = b2
Portanto
b = ±e
tambe´m temos que
f = ±a
Queremos que quando v −→ 0, a transformac¸a˜o de Galileu seja obtida. Enta˜o se a −→ 1, f −→ 1.
Portanto f = a deve ser escolhido. Para que ef + ab = 0 seja respeitado ento, b = −e.
Ainda, para x2 = 0 temos que x1 = vt1. E como bct1 = ax1 temos que bc = va.
Logo,
a2 = 1 + e2 = 1 + b2 = 1+
v2
c2
a2 =⇒
a2(1− µ2) = 1 =⇒
a =
1√
1− µ2
(5)
5
Onde µ = v
c
O raiz positiva foi escolhida para que lim
v→0
a = 1. Temos tambm que
b =
√
f2 − 1 =
√
a2 − 1 =
v
c
a (6)
Onde o sinal positivo foi escolhido para que x2 ≈ x1 − vt1 para velocidades baixas.
Portando temos que (4) fica da seguinte forma:

x2 = a(x1 − ct1µ)
y2 = y1
z2 = z1
ct2 = a(ct1 − x1µ)
(7.1)
Esta e´ chamada de transformaa¸a˜o de Lorentz. A transformaa¸a˜o inversa e´ obtida tomando-se v = −v:

x1 = a(x2 + ct2µ)
y1 = y2
z1 = z2
ct1 = a(ct2 + x2µ)
(7.2)
Pelo me´todo de obtenc¸a˜o nota-se que esta transformaa¸a˜o na˜o contradiz a invariaˆcia do intervalo.
Tomando a forma diferencial de (7.1):

dx2 = a(dx1 − cdt1µ)
dy2 = dy1
dz2 = dz1
cdt2 = a(cdt1 − dx1µ)
(8)
Dividindo-se dx2 por dt2:
u2 =
dx2
dt2
=
c(dx1 − cdt1µ)
(cdt1 − dx1µ)
Temos que cµ = v. Enta˜o
u2 =
cu1 − cv
c− vu1
c
=⇒
u2c−
vu1u2
c
= cu1 − cv =⇒
vc(1−
u1u2
c2
) = c(u1 − u2) =⇒
v =
u1 − u2
1− u1u2
c2
(9)
Note que para u1u2 <<< c
2, v ≈ u1 − u2 e para u1 −→ c, v =
c−u2
1−
u2
c
= c
Forma vetorial
No tratamento anterior supusemos dois referenciais que tem os eixos coincidentes e que se movem na
direc¸a˜o de x. No entanto podemos considerar uma velocidade v na˜o necessariamente na direc¸a˜o de x.
Qualquer vetor r pode ser decomposto na soma vetorial de suas componentes paralela e perpendicular
de v.
r‖v = |r| cos θvˆ = |r| cos θ
v
v
= |r|
∣∣∣v
v
∣∣∣ cos θv
v
= |r||v| cos θ
v
v2
= 〈r,v〉
v
v2
6
Temos tambe´m
r⊥v = r− r‖v = r− 〈r,v〉
v
v2
Enta˜o,
r1 = 〈r1,v〉
v
v2
−
[
r1 − 〈r1,v〉
v
v2
]
(10)
Note que a componente perpendicular do vetor r1 na˜o e´ afetada pela transformac¸a˜o de Lorentz enquanto
que a componente paralela o e´. De modo ana´logo ao feito para a velocidade na direc¸a˜o do eixo-x,
r2 =
[
r1 − 〈r1,v〉
v
v2
]
+ a
[
〈r1,v〉
v
v2
− vt1
]
(11.a)
ct2 = a
[
ct1 − 〈r1,v〉
v
v2
·
v
c
]
(11.b)
Ou ainda,
r2 = r1 + (a− 1)〈r1,v〉
v
v2
− avt1 (12.a)
ct2 = a
[
ct1 −
〈r1,v〉
c
]
(12.b)
Conceitos relativ´ısticos e o cone nulo
Vimos que o conceito de velocidade relativa teve de ser alterado. Analisaremos agora como alguns outros
conceitos se modificam para que estes respeitem o princ´ıpio da relatividade que diz que e´ imposs´ıvel
distinguir entre dois eventos (descritos em termos de conjuntos de coordenadas espac¸o-temporais) rela-
cionados por uma transformac¸a˜o de Lorentz. Ou seja, as leis da f´ısica devem ser invariantes sob uma
transformac¸a˜o de Lorentz.
Analisaremos o conceito de simultaneidade temporal. Se dois eventos ocorrem simultaneamente sob uma
separac¸a˜o espacial em um referencial S1 (dx1 6= 0 e dt1 = 0). Enta˜o, de acordo com (8):
−cdt2 = adx1µ 6= 0 (13)
Logo, os dois eventos na˜o sa˜o vistos simultaneamente em S2. Analogamente, se dois eventos ocorrem em
uma mesma regia˜o do espac¸o e em tempos diferentes em S1 (dx1 = 0 e dt1 6= 0), teremos para S2
dx2 = −acdt1µ 6= 0 (14)
Ou seja, no ocorrem na mesma regia˜o do espac¸o no outro referencial. Vejamos agora os conceitos de
dilatac¸a˜o temporal e contrac¸a˜o espacial:
Considere um basta˜o em repouso no referencial S2 de tamanho dx2. Se as extremidades deste sa˜o
observadas simultaneamente do referencial S1, enta˜o:
dx2 = adx1 > dx1 para a > 1 (15)
Ou seja, o observador em S1, ”em movimento”, vai ver o basta˜o menor do que o observador em S2, ”em
repouso”.
Agora consideremos um relo´gio em repouso no referencial S1 (dx1 = 0). Portanto,
dt2 = adt1 > dt1 a > 1 (16)
Ou seja, o tempo no referencial S2, ”em movimento”, e´ maior (dilatado) em relac¸a˜o ao referencial S1,
”em repouso”.
7
Na transformac¸a˜o de Lorentz ds2, e na˜o dt2 ou |dr|2, e´ invariante. Vamos introduzir um tipo de tempo
que e´ invariante (tempo pro´prio):
ds2 = c2dt2 − |dr|2 = c2dt2
[
1−
|dr|2
c2dt2
]
⇒ ds2 = c2dt2
[
1−
v2
c2
]
= c2(1− µ2)dt2 ⇒ ds2 = c2
(
dt
a
)2
⇒
ds2 = c2dτ2
Onde dτ e´ chamado de intervalo de tempo pro´prio. τ e´ o tempo medido por um relo´gio que se move
juntamente com a part´ıcula.
Para uma part´ıcula de mate´ria, v < c, temos:
ds2 = c2dt2 − dr · dr = (c2 − v2)dt2 > 0 (17)
Para um fo´ton que se move com v = c:
ds2 = c2dt2 − dr · dr = (c2 − v2)dt2 = 0 (18)
Em termos de diferenc¸as finitas, podemos reescrever (18) como sendo:
c2(t− t0)
2 − [(x− x0)
2 + (y − y0)
2 + (z − z0)
2] = 0 (19)
A equac¸a˜o (19) representa um locus quadrimensional, denominado de cone nulo, que e´ ana´logo a um cone
tridimensional e possui seu apex no ponto de evento (ct0, x0, y0, z0). Este e´ assim chamado pois e´ o locus
de todos os pontos de evento separados de (ct0, x0, y0, z0) por um intervalo, (s− s0), zero. Este tambe´m
representa todas as poss´ıveis trajeto´rias de fo´tons atrave´s deste ponto de evento.
Os pontos no interior do cone nulo sa˜o caracterizados pela desigualdade:
(s− s0)
2 = c2(t− t0)
2 − (r− r0)
2 > 0
ou na forma diferencial
ds2 = cdt2 − |dr|2 > 0
Todos os intervalos ds que respeitam essa desigualdade sa˜o denominados timelike intervals e esta˜o asso-
ciados com as poss´ıveis trajeto´rias de part´ıculas de mate´ria.
Analogamente, os intervalos para as regio˜es fora do cone, temos:
ds2 = cdt2 − |dr|2 < 0
Todos os intervalos ds que respeitam esta outra desigualdade sa˜o chamados de spacelike intervals e este
caso e´ fisicamente proibido uma vez que ocorre para part´ıculas com velocidades superiores a velocidade
da luz.
Os pontos sobre o cone nulo e no seu interior podem ser interpretados como futuro, presente e passado
de acordo com as possibilidades dt > 0, dt = 0 e dt < 0.
O movimento de uma part´ıcula de mate´ria e´ descrito por um espac¸o curvo passando continuamente pelos
pontos de evento Esta curva se chama linha mundo da part´ıcula e se situa no interior do cone nulo (uma
vez que esta na˜o pode atingir a velocidade da luz).
Note que para cada tempo fixo a equac¸a˜o (19) descreve uma circunfereˆncia no espac¸o. O que faz sentido
ja´ que fo´tons se propagam esfericamente no espac¸o. E para part´ıculas de mate´ria temos toda a regia˜o
dentro das esferas em cada instante de tempo.
8
Vetores no espac¸o-tempo e a relac¸a˜o com a energia relativ´ıstica
Veremos agora como quantidades comuns no R3 podem ser generalizadas para o espac¸o-tempo.
Temos a definic¸a˜o do produto escalar dR · dR como sendo:
dR · dR = c2dt2 − dr · dr = ds2Enta˜o para quaisquer vetores no espac¸o-tempo, u e v, temos o produto escalar:
u · v = u4v4 − (u3v3 + u2v2 + u1v1) (20)
Temos definido R e dR como sendo os vetores posic¸a˜o e deslocamento infinitesimal no espac¸o-tempo,
respectivamente.
Podemos definir velocidade ainda como sendo a variac¸a˜o da coordenada com relac¸a˜o ao tempo:
v =
dR
dt
Podemos escrever2
ds2 = (dtR · dtR)dt
2
onde a notac¸a˜o dt foi tomada no lugar de
d
dt
.
No entanto, vimos que dt na˜o e´ invariante no tempo e por isso devemos expressar as derivadas com relac¸a˜o
ao tempo pro´prio, τ , definido.
ds2 = (dτR · dτR)dτ
2 (21)
Como ds e dτ sa˜o invariantes, definimos a velocidade no espac¸o-tempo, V, como sendo:
(
ds
dτ
)2
= dV 2 = dτR · dτR (22)
Que e´ o quadrado da magnitude de
V = dτR = (cdτ t, dτr) (23)
Temos
ds2 = (c2 − v2)dt2 = c2dt2
(
1−
v2
c2
)
= c2
dt2
a2
= c2dτ2
Portanto
dτ t = a
Por consequeˆncia:
V = (ac, dτr) = a
(
c,
dr
adτ
)
= a
(
c,
dr
dt
)
= a(c,v) (24)
Temos tambe´m,
V ·V = a2c2 − a2v2 = a2(c2 − v2) =
c2 − v2
1
1− v
2
c
2
= c2 (25)
Ou seja, V tambe´m e´ invariante.
Se supusermos que ha´ medidas invariantes das propriedades inerciais da part´ıcula (que na˜o dependem da
2Mais formalmente deve-se fazer a seguinte (ate´ a equac¸a˜o (22)) passagem em termos de diferenc¸as finitas e enta˜o tomar
o limite de ∆t indo pra zero para retomar a forma diferencial
9
velocidade desta), podemos definir m0 como sendo a massa de repouso da part´ıcula. Definimos enta˜o,
naturalmente, o momento quadridimensional como sendo,
P = m0V = m0a(c,v) = (m0ac,m0av) (26)
Onde podemos interpretar a componente espacial como sendo o momento usual tridimensional. Portanto
am0 = m e´ a massa usual. Assim,
P = (mc,mv) = (mc,p) (27)
Temos que
V = dτR
P = m0dτR
Tomando dτP,
dτP = m0d
2
τR
Portanto,
V ·P = m0(dτR · d
2
τR) =
m0
2
dτ (dτR · dτR)
mas dτR · dτR = c
2, portanto,
V ·P = 0 (28)
Temos que dτP = (dτ (mc), dτp), mas dτ = adt. Logo,
dτP = a(dt(mc), dtp)
e tambe´m
V = a(c,v)
Usando o resultado (28):
V · dτP = a
2(dt(mc
2)− v · dtp) = 0
Como a > 0
dt(mc
2) = v · dtp = v ·F (29)
Obs.: Temos Wc =
∫
c
F · dx =
∫
c
F · vdt ⇒ dWc
dt
= F · v ⇒ P (t) = F · v e portanto d(mc
2)
dt
= P (t) ⇒
d(mc2) = P (t)dt = dW ou, no caso de transformac¸a˜o de energia, dE. Onde dE e´ a variac¸a˜o de energia
devido a` variac¸a˜o de momento.
Portanto,
E = mc2 = am0c
2 = aE0 (30)
Onde E0 e´ a energia de repouso.
Para pequenas velocidades em relac¸a˜o a` c:
E = aE0 =
E0√
1− µ2
= E0
[
1 +
µ2
2
+
3µ4
8
+ · · ·
]
⇒
E ≈ m0c
2 +
m0v
2
2
+
3m0v
4
8c2
+ · · · (31)
onde o segundo termo e´ a energia cine´tica cla´ssica (pre´-relativ´ıstica).
Usando E = mc2 podemos escrever
P = (mc,p) =
(
E
c
,p
)
(32)
10
Temos P = m0V e V ·V = c
2. Logo,
P ·P =
E2
c2
− p · p = m20c
2 =
E20
c2
Portanto,
E2
c2
−
E20
c2
= p · p (33)
Ou ainda,
E2 = m20c
4 + c2p · p (34)
Discutimos ate´ aqui o caso para uma part´ıcula discreta, mas podemos discutir o caso de um cont´ınuo
generalizando os conceitos pre´-relativ´ısticos de densidade de massa, ρ, e de densidade de corrente, J = ρv.
Para quatro dimenso˜es temos:
J′ = ρ0V = ρ0a(c,v) = ρ(c,v) = (ρc,J) (35)
onde ρ0 e´ a densidade de massa de repouso (invariante sob a transformac¸a˜o de Lorentz) de uma massa
continuamente distribu´ıda. A densidade de massa aparente para um observador que se move com relac¸a˜o
ao flu´ido e´ dado por ρ = aρ0 > ρ0. Portanto a massa de repouso contida em um volume dV0 = adV e´:
dm0 = ρ0dV0 = aρ0dV = ρdV (36)
Definindo um operador del em quatro dimenso˜es:
Υ = (−∂ct,∇) (37)
Enta˜o teremos para um sistema onde na˜o haja fonte de mate´ria e nem um “sumidouro”de mate´ria3:
−Υ · J′ = ∂ct(ρc) +∇J = 0
mas,
∇J = (∂xρvx + ∂xρvy + ∂xρvz)i+ (∂yρvy + ∂yρvx + ∂yρvz)j+ (∂zρvz + ∂zρvx + ∂zρvy)k
Lembrando que ρ depende de ρ0 e a (este u´ltimo dependendo de v e c que sa˜o constantes) e portanto e´
constante e como vx na˜o tem dependeˆncia em y e z e assim para as outras componentes da velocidade.
Temos que
∇J = (∂xρvx)i+ (∂yρvy)j+ (∂zρvz)k = ∇ · J
Enta˜o,
−Υ · J′ = ∂ct(ρc) +∇ · J = 0 (38)
Essa e´ a equac¸a˜o da conservac¸a˜o de massa e energia. Tambe´m conhecida como equac¸a˜o da continuidade.
Podemos definir uma densidade quadrimensional de forc¸a˜ como sendo,
F = dτJ
′ = ρ0dτV (39)
como adτ = dt,
F =
a
a
ρ0dτV = ρdtV
3Lembrando da definic¸a˜o de produto escalar para que na˜o se tenha uma simetria com relac¸a˜o a` permutac¸a˜o de coorde-
nadas espaciais e temporal
11
Tambe´m V ·V = c2, V · dtV = 0 e enta˜o
F ·V =
(
dτ
(e
c
)
, dτJ
)
· a(c,v) = 0
Onde e = ρc2 e´ a densidade de energia.
F ·V = a2(dte − f · v) = 0 (40)
Ou seja,
dte = f · v
Esta igualdade mostra que a variac¸a˜o da densidade de energia e´ igual a` densidade de poteˆncia.
Equac¸a˜o de Klein-Gordon
Observac¸a˜o: Para mais detalhes formais sobre mecaˆnica quaˆntica, recomenda-se recorrer a um livro
espec´ıfico sobre o assunto.
Em mecaˆnica quaˆntica, conhecendo-se a func¸a˜o de onda que descreve o sistema, utiliza-se operadores para
se determinar observa´veis (ex.: energia, momentum linear, momentum angular, etc). Cada observa´vel e´
representada por um operador espec´ıfico
Temos as seguintes substituic¸o˜es:
E ∼ −
h
2pii
∂t
p ∼
h
2pii
∇
Determinamos anteriormente que:
E2 − c2p · p− E20 = 0
Ou ainda
E2 − c2p · p−m20c
4 = 0
Fazendo as substituic¸o˜es acima definidas, e aplicando os operadores em uma func¸a˜o φ por questo˜es de
sentido matema´tico, teremos:
[h¯2∂2t + h¯
2c2∇2 −m20c
4]φ = 0 (42)
Onde h¯ = h2pi e h e´ a constante de Plank. Dividindo-se (42) por −h¯
2c2:[
1
c2
∂2t −∇
2 +
m20c
2
h¯2
]
φ = 0 (43)
Ou ainda, [
∂2ct −∇
2 +
(
E0
h¯c
)2]
φ = 0 (44)
Onde ∂2ct−∇
2 e´ conhecido como operador D’Lambertiano. A func¸a˜o φ na˜o e´ ainda definida como ana´loga
a` func¸a˜o de onda Ψ que e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Scho¨dinger. (44) e´ denominada equac¸a˜o de Klein-Gordon.
A equac¸a˜o de Scho¨dinger,
−
h¯
2m
∇2Ψ+ VˆΨ = ih¯∂tΨ (45)
e´ inapropriada para um tratamento relativ´ıstico uma vez que os operadores espaciais e temporal na˜o
sa˜o de mesma ordem e portanto esta na˜o e´ invariante sob uma transformac¸a˜o de Lorentz. Ja´ (44) e´
invariante uma vez que os operadores sa˜o derivadas de mesma ordem. No entanto (44) tem um problema
com relac¸a˜o a` interpretac¸a˜o probabil´ıstica.
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Interpretac¸a˜o probabil´ıstica
Vamos comec¸ar fazendo uma ana´lise da equac¸a˜o de Scho¨dinger: Tomando (45) e sua complexo conjugado,
temos
−
h¯2
2m
∇2Ψ+ VˆΨ = ih¯∂tΨ (A)
−
h¯2
2m
∇2Ψ∗ + VˆΨ∗ = −ih¯∂tΨ
∗ (B)
Multiplicando (A) por Ψ∗, (B) por Ψ e subtraindo (B) de (A):
ih¯[Ψ∗∂tΨ+Ψ∂tΨ
∗] = −
h¯2
2m
[Ψ∗∇2Ψ−Ψ∇2Ψ∗]
Ou ainda,
ih¯∂t[Ψ
∗Ψ] = −
h¯2
2m
∇ · [Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗]
Reorganizando,
∂t|Ψ|
2 +
h¯
2mi
∇ · [Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗] = 0
Ou ainda,
∂t|Ψ|
2 +∇ ·
[
h¯
2mi
(Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗)
]
= 0 (46)
Note que (46) e´ a equac¸a˜o da continuidade, onde
ρ = |Ψ|2
e
J =
h¯
2mi
(Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗)
Sendo ρ uma densidade de probabilidade e J uma densidade de corrente de probabilidade.
Integrando sobre todo o espac¸o, teremos∫∫∫
V
∂t|Ψ|
2dV = −
∫∫∫
V
∇ · JdV = −
∮
S
J · ndS
Onde tambe´m utilizou-se o teorema da divergeˆncia para obter o u´ltimo membro.
A equac¸a˜o de Scho¨dinger pode formalmente ser obtida mediante um tratamento envolvendo ana´lise de
Fourier e portanto as func¸o˜es Ψ devem obedecer:
lim
(x,y,z)→(∞,∞,∞)
Ψ(x, y, z, t) = 0
lim
(x,y,z)→(∞,∞,∞)
Ψ∗(x, y, z, t) = 0
Como estamos integrando sobre todo o espac¸o,as fronteiras da superf´ıcie S esta˜o no infinito e portanto
na˜o ha´ fluxo. Sendo assim,assumindo a independeˆncia entre as varia´veis espaciais e temporal,∫∫∫
V
∂t|Ψ|
2dV = ∂t
∫∫∫
V
|Ψ|2dV = 0
Sendo assim, ∫∫∫
V
|Ψ|2dV = K
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Onde K e´ uma constante independente do tempo. Como estamos atribuindo um sentido de densidade
de probabilidade a` |Ψ|2 e´ intuitivo que fac¸amos K = 1. Faremos agora uma ana´lise semelhante para a
equac¸a˜o de Klein-Gordon.
Tomando (44) e seu complexo conjugado,
∂2ctφ−∇
2φ+
(
E0
ch¯
)2
φ = 0 (A)
∂2ctφ
∗ −∇2φ∗ +
(
E0
ch¯
)2
φ∗ = 0 (B)
Multiplicando (A) por φ∗, (B) por φ e subtraindo uma da outra:
[φ∗∂2ctφ− φ∂
2
ctφ
∗] = φ∗∇2φ− φ∇2φ∗ ⇒
∂ct[φ
∗∂ctφ− φ∂ctφ
∗] = ∇ · [φ∗∇φ− φ∇φ∗] (47)
Note que esta equac¸a˜o e´ pode ser relacionada com a equac¸a˜o de continuidade definida em (38). Sendo:
ρc = φ∗∂ctφ− φ∂ctφ
∗ (48)
J = φ∗∇φ− φ∇φ∗ (49)
a densidade (vamos assumir, a` priori que seja de probabilidade) e densidade de corrente, respectivamente.
Podemos reescrever (48) como uma derivada do quociente ajustando de forma adequada,
ρc = −φ2∂ct
(
φ∗
φ
)
Temos ainda φ = |φ|eiθ, logo φ2 = |φ|2e2iθ e φ
∗
φ
= e−2iθ. Portanto,
ρc = −|φ|2e2iθ∂cte
−2iθ = 2i|φ|2∂ctθ (50)
Note que ρ na˜o e´ real e portanto na˜o pode ser interpretado como uma densidade de probabilidade. A
equac¸a˜o de Klein-Gordon, enta˜o, descrevendo alguma part´ıcula, descreveria uma que na˜o e´ localiza´vel.
Ou seja, uma que na˜o possuiria uma densidade de probabilidade definida. Esta equac¸a˜o pode ser tornar
u´til na descric¸a˜o de Bo´sons se o conceito de amplitude de probabilidade for apropriadamente generalizada
vetorialmente.
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Bibliografia
A.Kyrala. Theoretical Physics: Applications of vectors, matrices, tensors and quaternions.
1967, W. B. Saunders company. p. 247-275
Griffths, David J. Introduction to quantum mechanics. 1995, Prentice Hall.
Eisberg, R; Resnick, R. Quantum Physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles.
1985, John Whiley & Sons