Estatística Teste de Hipótese

Prévia do material em texto

Estatí stica – Aula conjunta 
 
Contatos: filipe.rosa@ufrgs.br e filipegabrielpoa@gmail.com 1 
 
Testes de hipóteses 
 
1. INTRODUÇÃO 
Vou começar o assunto dando um exemplo. Maria tem duas moedas. Uma moeda honesta (as duas 
faces têm a mesma probabilidade de sair num lançamento). A outra é uma moeda viciada. Nesta, a 
probabilidade de sair coroa é de 2/3. 
Maria escolhe uma das moedas. José, que tem conhecimento das probabilidades acima 
mencionadas, tem que adivinhar qual delas foi escolhida. Para tanto, Maria lança três vezes a 
moeda escolhida. Ao final de cada lançamento, comunica a José o resultado. 
José estabelece o seguinte critério de decisão: Se os três lançamentos resultarem em coroa, ele vai 
arriscar que se trata da moeda viciada. Caso contrário, vai arriscar que se trata da moeda honesta. 
O que José está fazendo é um teste de hipóteses. 
Num teste de hipóteses fazemos alguma consideração sobre um dado valor. No exemplo acima, 
José precisa decidir qual das duas moedas foi escolhida. No fundo, quer saber se, para a moeda 
escolhida, a probabilidade de sair coroa é de 2/3 ou 1/2. Qualquer que seja a sua conclusão, ela 
estará sujeita a erro. 
Vamos começar a nos acostumar com os termos utilizados no teste de hipótese. 
José quer testar a hipótese de, para a moeda escolhida por Maria, a probabilidade de sair coroa ser 
1/2. Esta hipótese é chamada de H0 (lê-se agá zero). É também chamada de hipótese nula. Vamos 
escrever a hipótese H0: 
H0: P(coroa) = 1/2. (hipótese nula) Caso a probabilidade de sair coroa não seja de 1/2, então a 
referida probabilidade será de 2/3. Esta outra hipótese é a hipótese alternativa. É chamada de HA. 
HA: P(coroa) = 2/3. (hipótese alternativa ou H1). 
Muito bem, agora José define um critério de decisão. Seu critério é baseado no número de coroas 
que vão sair em três lançamentos. Se saírem duas, uma ou zero coroas, José vai assumir que se 
trata da moeda honesta. Se saírem três coroas, José vai assumir que se trata da moeda viciada. 
Escolher o critério de decisão é a parte mais difícil de um teste de hipóteses. Os cálculos são um 
pouco mais complexos. E muitas vezes estão presentes alguns fatores difíceis de quantificar. 
 Ok, definidas as hipóteses que serão testadas (escolher entre H0 e HA), definido o critério de 
decisão, agora é só fazer a experiência e ver qual hipótese será escolhida. 
Muito bem. Vamos supor que Maria lança a moeda três vezes e nas três vezes o resultado é coroa. 
Neste caso, José rejeita a hipótese H0 e assume como verdadeira a hipótese HA. Veja que a 
conclusão de José está sujeita a erro. Isto porque é possível que, mesmo que a moeda seja 
honesta, tenhamos três resultados coroa. Supondo que José tenha errado; rejeitou a hipótese H0, 
dado que ela é verdadeira, a probabilidade de ele cometer um erro é: 
 ( ) (
 
 
)
 
 
Esta é justamente a probabilidade de lançarmos três vezes a moeda honesta e sair três coroas. Este 
erro é o chamado erro do tipo I : rejeitar H0 dado que ela é verdadeira. 
Estatí stica – Aula conjunta 
 
Contatos: filipe.rosa@ufrgs.br e filipegabrielpoa@gmail.com 2 
 
A probabilidade acima é também chamada de nível de significância do teste. O símbolo geralmente 
utilizado é α (alpha). Nível de significância também é interpretado como a probabilidade de 
cometer o erro do tipo I. 
Supondo agora que, em vez de terem saído três coroas, na verdade saíram duas coroas e uma cara. 
Neste caso, utilizando seu critério de decisão, José aceita H0 como verdadeira e rejeita HA. Neste 
segundo exemplo, José também está sujeito a erro. Isto porque é possível que, lançando a moeda 
viciada três vezes, tenhamos pelo menos um resultado cara. Este segundo tipo de erro consiste em 
aceitar H0 dado que ela é falsa. É chamado de erro do tipo II: aceitar H0 dado que ela é falsa. A 
probabilidade de ocorrer o erro do tipo II é designada pelo símbolo β. 
Vamos calcular esta probabilidade: A probabilidade de, em três lançamentos da moeda viciada, 
obtermos uma, duas ou três caras é: 
 ( ) (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
Logo, β = 70,37% representando a probabilidade de se aceitar H0, quando ela é falsa. 
Ao subtrairmos o valor de β de 100% encontramos o que os estatísticos chamam de “Poder de 
teste” 
Poder de teste = 1 − β = 29,63% 
O poder do teste é a probabilidade de H0 ser rejeitada dado que ela é falsa. Note como o poder do 
teste foi baixo. Isto porque José privilegiou a hipótese H0. Ele só a rejeita num caso muito extremo, 
em que os três resultados forem coroa. Por isto o valor de α foi pequeno, garantindo uma baixa 
probabilidade de cometer o erro do tipo I. Contudo, em geral, quanto menor o valor de α , maior o 
valor de β (maior a probabilidade de se cometer o erro do tipo II). Daí a dificuldade de escolher um 
bom critério de decisão. É comum que, ao reduzirmos a probabilidade de um tipo de erro, a do 
outro aumente. Teste de hipóteses é apenas isto. Queremos testar se uma dada hipótese H0 é 
verdadeira. 
No exemplo dado as hipóteses eram: 
H0: P(coroa) = ½ 
 HA: P(coroa) = 2/3. 
Neste exemplo acima, as duas hipóteses atribuíam à probabilidade em estudo um valor único. A 
hipótese nula atribuía o valor 1/2. A hipótese alternativa atribuía o valor 2/3. 
Simplificando, a hipótese alternativa poderia ser assim: HA: P(coroa) ≠ 1/2. Outra opção: HA: 
P(coroa) < 1/2. Ou ainda: HA: P(coroa) > 1/2. 
No primeiro caso (em que temos o sinal de diferença ≠) o teste é dito bilateral. Nos outros dois 
casos (com os sinais de ‘>’ e ‘<’) o teste é dito unilateral. 
2. TESTE SOBRE A MÉDIA 
Para entendermos como fazer o teste de hipóteses sobre a média, vejamos alguns exemplos. 
Nos primeiros exemplos, eu vou dar todas as contas prontas. O objetivo é que vocês não precisem 
quebrar a cabeça fazendo as contas. Não quero que se preocupem com isso, não por enquanto. A 
proposta é que apenas entendam a ideia geral do teste. 
Estatí stica – Aula conjunta 
 
Contatos: filipe.rosa@ufrgs.br e filipegabrielpoa@gmail.com 3 
 
Depois, nos exemplos posteriores, aí sim entraremos mais a fundo nas contas envolvidas, certo? 
1º tipo de exemplo: entendendo os tipos de teste: bilateral e unilateral. 
Exemplo 1 
 Estamos analisando o preço pelo qual a Administração Pública compra um certo produto. Sabemos 
que, em licitações honestas (livres de fraudes), para uma certa região do país, o preço médio é de 
R$ 220,00. 
Foram feitos levantamentos de auditoria recentes em alguns órgãos em que há suspeita de fraudes 
em licitações. As duas fraudes em análise são as seguintes: 
• Há prévio acerto entre as licitantes, de forma que o preço contratado é 
consideravelmente maior que R$ 220,00; 
• Há acerto prévio entre a licitante vencedora e o órgão, de tal forma que o preço 
contratado é muito inferior a R$ 220,00. Nestes casos, o grande problema se dará na execução do 
contrato tendo em vista que, sendo o preço inexeqüível, o contrato não será regularmente 
cumprido. 
Num caso concreto, nos deparamos com 30 compras de um determinado órgão público. A média 
para esta amostra foi de R$ 230,00. 
Queremos testar a hipótese de as licitações terem sido honestas contra a hipótese alternativa de 
as licitações terem sido fraudadas. 
Escreva as hipóteses a serem testadas. 
Resolução. 
É natural esperar que, se em um dado órgão ocorrem fraudes a licitações, elas são sistemáticas. 
Assim, vamos testar a hipótese de as licitações terem sido honestas contra a hipótese alternativa 
de as licitações terem sido fraudadas. 
No fundo queremos testar a hipótese se a média da população da qual foi retirada esta amostra é 
igual a R$ 220,00. 
H0: µ = 220 
HA: µ ≠ 220 
Este primeiro tipode teste da média é chamado de teste bilateral. Ele é caracterizado pela 
hipótese alternativa ser do tipo k ≠ µ (a média é diferente de algo). 
Por que a palavra bilateral? Porque há duas formas de rejeitarmos a hipótese H0. Se a média da 
amostra for consideravelmente maior que R$ 220,00, rejeitamos a hipótese por ser mais provável 
que tenha havido conluio entre as empresas e o preço esteja superfaturado. Ou também, se o valor 
obtido for consideravelmente menor que R$ 220,00, também rejeitamos a hipótese H0. Desta vez 
seria mais provável estarmos diante do segundo tipo de irregularidade: há conluio entre a licitante 
e o órgão contratante. 
Ou seja, analisamos os valores nos dois sentidos. Tanto os que são muito menores que 220 quanto 
os que são muito maiores que 220. Por isto o teste é chamado de bilateral. Tanto em um caso 
quanto em outro, concluímos que a amostra não foi retirada da população das licitações honestas. 
Estatí stica – Aula conjunta 
 
Contatos: filipe.rosa@ufrgs.br e filipegabrielpoa@gmail.com 4 
 
A finalidade do teste de hipóteses é apenas isto. Neste caso, queremos avaliar se 230 é 
consideravelmente diferente de 220 ou não. Até poderíamos fazer isto de forma intuitiva. Há casos 
em que a diferença é tanta que nem precisaríamos de teste algum. Se a média da amostra fosse de 
500 (mais que o dobro de 220), certamente estaríamos diante de fraudes. 
Já no caso do exercício, queremos avaliar se 230 é consideravelmente diferente de 220. 
Intuitivamente, algumas pessoas podem dizer que não é. Essas pessoas tenderiam a aceitar a 
hipótese de que essas licitações são honestas (hipótese nula). Outras pessoas tenderiam a achar 
que a diferença é considerável, sendo levadas a rejeitar a hipótese nula. 
O teste de hipóteses nos fornece uma forma sistemática de testar se os valores envolvidos são 
consideravelmente diferentes ou não. 
Bem, encerrando este exercício, a resposta fica: 
H0: µ = 220 
HA: µ ≠ 220 
Exemplo 2 
Estamos analisando o preço pelo qual a Administração Pública compra um certo produto. Sabemos 
que, em licitações honestas (livres de fraudes), para uma certa região do país, o preço médio é de 
R$ 220,00. 
Foram feitos levantamentos de auditoria recentes em alguns órgãos em que há suspeita de fraudes 
em licitações. Há um único tipo de fraude em análise, que consiste em acerto entre as licitantes, de 
forma que o preço contratado é consideravelmente maior que R$ 220,00. 
Num caso concreto, nos deparamos com 30 compras de um determinado órgão público. A média 
para esta amostra foi de R$ 230,00. 
Queremos testar a hipótese de as licitações terem sido honestas contra a hipótese alternativa de as 
licitações terem sido fraudadas. 
Escreva as hipóteses a serem testadas. 
Resolução. 
Agora, o único tipo de fraude ocorre quando a média dos preços contratados é significativamente 
maior que 220,00. 
Ou seja, valores significativamente menores que 220,00 não nos fazem mais rejeitar a hipótese 
nula, a exemplo do que ocorria no exercício anterior. O teste é unilateral, pois só analisarmos a reta 
real em um sentido: só valores significativamente maiores que 220,00 nos fazem rejeitar H0. A 
resposta fica: 
H0: 220 = µ 
HA: 220 > µ 
 
 
 
Estatí stica – Aula conjunta 
 
Contatos: filipe.rosa@ufrgs.br e filipegabrielpoa@gmail.com 5 
 
Exemplo 3 
Estamos analisando o preço pelo qual a Administração Pública compra um certo produto. Sabemos 
que, em licitações honestas, para uma certa região do país, o preço médio é de R$ 220,00. 
Foram feitos levantamentos de auditoria recentes em alguns órgãos em que há suspeita de fraudes 
em licitações. Há um único tipo de fraude em análise, que consiste acerto prévio entre a licitante 
vencedora e o órgão, de tal forma que o preço contratado é muito inferior a R$ 220,00. Nestes 
casos, o grande problema se dará na execução do contrato tendo em vista que, sendo o preço 
inexequível, o contrato não será regularmente cumprido. 
Num caso concreto, nos deparamos com 30 compras de um determinado órgão público. A média 
para esta amostra foi de R$ 230,00. 
Queremos testar a hipótese de as licitações terem sido honestas contra a hipótese alternativa de as 
licitações terem sido fraudadas. 
Escreva as hipóteses a serem testadas. 
Resolução. 
Agora, apenas valores significativamente menores que 220,00 nos fazem rejeitar a hipótese nula. 
Ficamos com: 
H0: 220 = µ 
HA: 220 < µ 
Nos dois últimos exemplos, tivemos testes unilaterais, pois havia uma única forma de rejeitarmos a 
hipótese nula. 
Teste de hipóteses para a média – unilateral 
Exemplo 4 
Estamos analisando o preço pelo qual a Administração Pública compra certo produto. Sabemos 
que, em licitações honestas (livres de fraudes), para certa região do país, o preço médio é de R$ 
220,00. Sabemos também que a variância da variável preço, nas licitações honestas, é de 120 
Foram feitos levantamentos de auditoria recentes em alguns órgãos em que há suspeita de fraudes 
em licitações. As duas fraudes em análise são as seguintes: 
Há prévio acerto entre as licitantes, de forma que o preço contratado é consideravelmente maior 
que R$ 220,00; 
Há acerto prévio entre a licitante vencedora e o órgão, de tal forma que o preço contratado é muito 
inferior a R$ 220,00. Nestes casos, o grande problema se dará na execução do contrato tendo em 
vista que, sendo o preço inexequível, o contrato não será regularmente cumprido. 
Num caso concreto, nos deparamos com 30 compras de um determinado órgão público. A média 
para esta amostra foi de R$ 230,00. Teste a hipótese de as licitações terem sido honestas contra a 
hipótese alternativa de as licitações terem sido fraudadas. Considere um nível de significância de 
5%. 
 
Estatí stica – Aula conjunta 
 
Contatos: filipe.rosa@ufrgs.br e filipegabrielpoa@gmail.com 6 
 
Resolução. 
Já vimos que este é um teste bilateral: 
H0: 220 = µ 
HA: 220 ≠ µ 
Se a média da amostra for significativamente diferente de 220, rejeitaremos a hipótese nula. 
Consideraremos que a média da população da qual foi extraída a amostra não tem média 220. 
Caso contrário, aceitamos a hipótese nula. Assumiremos que a média da população é sim igual a 
220. 
Ou seja, nosso teste se resume a determinar se 230 é significativamente diferente de 220 ou não. 
Mas, em termos objetivos: a partir de qual valor já podemos considerar que estamos 
significativamente afastados de 220? 
Esta pergunta é respondida pelos valores críticos. 
Para fazer um teste de hipóteses, a gente sempre dá um crédito para a hipótese nula. Sempre 
partimos do pressuposto de que ela é verdadeira. Ou seja, iniciamos supondo que a média da 
população é realmente 220,00. 
Feito isso, já temos condições de estudar a média amostral ( ̅). 
Vimos na aula passada que ̅ é uma variável aleatória. Sua esperança coincide com a média da 
população. Sua variância é igual à variância da população dividida por n (onde n é o tamanho da 
amostra). 
Conhecendo o comportamento de ̅ , podemos determinar os valores críticos. São valores que 
delimitam os casos raros. 
O nível de significância está intimamente relacionado com os casos raros. 
Se o nível de significância é de 5%, então os casos raros são aqueles que só ocorrem em 5% das 
vezes.Supondo que a média populacional seja 220,00, podemos concluir que ̅ tem o seguinte 
comportamento: 
• em 95% das vezes, ̅ assume valores entre 216,08 e 223,92 
• em 5% das vezes, ̅ assume valores fora deste intervalo. 
Estes são os valores críticos. São os valores que separam os casos usuais (que ocorrem em 95% das 
vezes) dos casos raros (que ocorrem em 5% das vezes). 
Observem que os casos raros foram delimitados de forma que a probabilidade deocorrência seja 
igual ao nível de significância (5%). Esse cálculo eu poderia passar pra vocês, mas envolveria uma 
boa base de integrais e pelo que conversamos acredito que não será necessário pra essa cadeira, 
apenas entender o mecanismo e aplicar isso no Eviews. 
O resultado obtido para a média amostral, especificamente para o experimento realizado, é 
chamado de estatística teste. 
No nosso exemplo, a média amostral foi de 230,00. É possível que a população tenha média 220,00 
e, ainda sim, seja extraída uma amostra com média 230,00? 
Estatí stica – Aula conjunta 
 
Contatos: filipe.rosa@ufrgs.br e filipegabrielpoa@gmail.com 7 
 
Sim, é possível. Mas é um caso raro. Na grande maioria das vezes, a média amostral estará entre 
216,08 e 223,92. Nós não aceitamos casos raros. Neste caso, concluímos que a amostra não foi 
retirada de uma população com média 220,00. Por isso, rejeitamos a hipótese nula. 
RESUMINDO: 
- Calculamos os valores críticos (que separam os casos raros daqueles que ocorrem 
frequentemente) 
- Analisamos se a estatística teste é um caso raro ou não. Se for raro, rejeitamos a hipótese 
nula. 
 
3. P VALOR 
Um fabricante de lanternas operadas com gás butano anuncia que o reservatório de gás de seu 
produto tem duração esperada µ de pelo menos 40 horas. Face à reclamação de alguns 
consumidores, uma agência independente resolve verificar a veracidade da afirmação do fabricante 
por meio do teste estatístico da hipótese H0: µ≥40 contra a alternativa HA: µ < 40 com controle do 
erro do tipo I em 5%. Uma amostra aleatória de 49 reservatórios produziu o valor médio X de 38 
horas. Suponha que a distribuição dos tempos de duração do gás seja aproximadamente normal 
com desvio padrão de 7 horas. 
A tabela abaixo dá os valores da função de distribuição F(Z) da normal padrão para alguns valores 
selecionados de Z. 
 
Assinale a opção que dá o valor probabilístico (p-valor) do teste constituído com base na estatística 
X – 40 
a) 5% 
b) 2,3% 
c) 3% 
d) 4% 
e) 2,5% 
Resolução. 
Pede-se o p-valor. 
Esta questão está aí justamente para falarmos do p-valor (ou probabilidade de significância; ou 
ainda, nível descritivo). É um termo que vez ou outra aparece em testes de hipóteses. 
Uma definição do p-valor seria: a probabilidade de a variável reduzida assumir valores iguais ou 
mais extremos do que a estatística teste observada, dado que a hipótese nula é verdadeira. 
Estatí stica – Aula conjunta 
 
Contatos: filipe.rosa@ufrgs.br e filipegabrielpoa@gmail.com 8 
 
Entendeu? 
Pois é, a definição pode não ser muito clara à primeira vista. 
Uma forma mais fácil de entender é pensarmos em áreas. 
A área delimitada pelo valor crítico é igual ao nível de significância. Sendo assim, se o nível de 
significância é de 5%, o valor crítico delimita uma área de 5%. 
De forma semelhante, o p-valor é a área delimitada pela estatística teste. 
Se o p-valor é de 4%, então a estatística teste delimita uma área de 4%. 
Vamos fazer o teste de hipóteses indicado na questão. 
Notem que se trata de um teste unilateral. Só há uma região crítica. 
Primeiro passo: calcular o valor crítico de Z. É o valor tal que a região de aceitação seja de 95% e a 
região crítica seja de 5%. O exercício não forneceu informações para calcular este valor. É porque 
não precisa. Mas fica a informação de que este valor é igual a -1,645. 
 
Zc = -1,645 
Segundo passo: calcular a estatística teste. 
 
 O exercício disse que X =38. Disse também que σ = 7. Podemos calcular o desvio padrão da média 
amostral. 
 
Terceiro passo: comparar a estatística teste com o valor crítico. 
A estatística teste é menor que o valor crítico. Ela cai na área amarela (área crítica). Rejeitamos a 
hipótese nula. 
 
Estatí stica – Aula conjunta 
 
Contatos: filipe.rosa@ufrgs.br e filipegabrielpoa@gmail.com 9 
 
 
Por que rejeitamos a hipótese nula? Porque a estatística teste caiu na área crítica. Aceitaríamos a 
hipótese nula para valores até -1,645. Este valor é considerado crítico. Valores além dele (ou seja, 
mais extremos que ele) nos fazem rejeitar a hipótese nula. E foi exatamente isto que aconteceu. O 
valor -2 está além de -1,645. É um valor significativamente menor que zero. 
Supondo que a hipótese nula seja verdadeira, qual a probabilidade de obtermos valores, para a 
variável reduzida, menores ou iguais a -2? 
Queremos saber a área abaixo da curva à esquerda de -2. Queremos a área vermelha da figura 
abaixo: 
 
Esta probabilidade é justamente o p-valor. Supondo que a hipótese nula seja verdadeira, é a 
probabilidade de Z assumir valores iguais ou mais extremos que a estatística teste (=-2). Neste caso, 
é a probabilidade de Z assumir valores menores ou iguais a −2 . Em outras palavras: é a área 
delimitada pela estatística teste. 
Agora utilizando-se a tabela fornecida no exercício. Fomos informados que a função distribuição 
para Z igual a 2 é 0,977. Ou seja, a probabilidade de Z assumir valores menores ou iguais a 2 é de 
97,7%. 
Portanto, a probabilidade de Z assumir valores maiores que 2 é de 2,3%. Como a função densidade 
de probabilidade da variável normal é simétrica, a probabilidade de Z assumir valores menores que 
-2 também é de 2,3%. 
Portanto o p-valor é de 2,3%. 
Gabarito: B.