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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ ENGENHARIA QUÍMICA LISANDRA NERI BUENO ANÁLISE E MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTO APS DE ENGENHARIA ECONÔMICA PONTA GROSSA 2015 1. A Nicholson Roofing Materials, está avaliando dois projetos mutuamente excludentes, cada um com investimento inicial de $ 150.000. O conselho de administração da empresa estabeleceu um requisito de payback máximo de quatro anos e fixou o custo de capital (TMA) de 9%. As entradas de caixa associadas aos dois projetos constam da tabela. Entradas de caixa (FCt) ANO Projeto A Projeto B 1 $ 45.000 $ 75.000 2 $ 45.000 $ 60.000 3 $ 45.000 $ 30.000 4 $ 45.000 $ 30.000 5 $ 45.000 $ 30.000 6 $ 45.000 $ 30.000 tabela-1 Técnica de avaliação do investimento: VPL (Valor Presente Líquido) Também chamado de Método do Valor Atual Líquido, é a técnica de análise de investimento mais conhecida e a mais utilizada, consiste no cálculo do equivalente monetário hoje, do fluxo de caixa de um projeto. No cálculo do VPL é considerado o valor do dinheiro no tempo, assim pode ser comparada a oportunidade de se realizar outro investimento, ou seja, é a concentração de todos os valores esperados do fluxo de caixa na data de hoje. Se o VPL de um projeto for positivo para a taxa de juros que foi utilizada, este é considerado economicamente interessante, e quanto mais positivo for, mais interessante será. O calculo no VPL pode ser realizado com a seguinte equação: VPL=−I+∑ n=1 n FC n (1+i)n onde: I = investimento inicial; FCn = representa o fluxo de caixa no n-ésimo período; i = custo do capital (TMA); n = período de investimento. Calculo do VPL para o Projeto A (VPLA): I = $ 150.000,00 | i = 9% a.a. | n = 6 VPLA=−150000+∑ n=1 6 FCn (1+0,09)n VPLA=−150000+ 45000 (1+0,09)1 + 45000 (1+0,09)2 + 45000 (1+0,09)3 + 45000 (1+0,09)4 + 45000 (1+0,09)5 + 45000 (1+0,09)6 VPLA=$51.866,34 Calculo do VPL para o Projeto B (VPLB): I = $ 150.000,00 | i = 9% a.a. | n = 6 VPLB=−150000+∑ n=1 6 FCn (1+0,09)n VPLB=−150000+ 75000 (1+0,09)1 + 60000 (1+0,09)2 + 30000 (1+0,09)3 + 30000 (1+0,09)4 + 30000 (1+0,09)5 + 30000 (1+0,09)6 VPLB=$51.112,36 De acordo com o critério de decisão do VPL os dois investimentos são viáveis, pois nem o Projeto A e nem o Projeto B apresentaram resultado negativo. Mas, o Projeto A é mais viável por resultar um VPL maior, ou seja, uma maior margem de segurança. Técnica de avaliação do investimento: TIR (Taxa Intrínseca de Rendimento) Conhecida também como taxa de desconto do fluxo de caixa ou taxa verdadeira de retorno. Demonstra que a taxa de juros que o dinheiro investido trará, em geral, para que o projeto seja viável a TIR deverá ser superior a taxa prefixada com a qual fazemos a comparação (TMA). A TIR demonstra a rentabilidade do projeto e quanto maior ela for, mais vantajoso ele será, ou seja, quanto maior for a TIR, maior é a rentabilidade. Para encontrar a TIR, igualamos o VPL a zero, então usamos a seguinte equação: 0=−I+∑ n=1 n FCn (1+i)n onde: I = investimento inicial; n = período de investimento; i = TIR; FCn = fluxo de caixa. O calculo da TIR, à mão (sem auxilio de uma calculadora financeira sofisticada) ,não é um trabalho fácil. Usaremos então, o método por tentativa e erro e para encontrar a TIR mais aproximada da real possível, usaremos a interpolação. TIR= VPL0(i0−i1) VPL1−VPL0 +i0 sendo: VPL0 = VPL do projeto; i0 = taxa TMA usada no calculo do VPL do projeto; i1 = taxa escolhida arbitrariamente para que se consiga calcular um VPL negativo; VPL1 = VPL calculado com a taxa escolhida arbitrariamente. Calculo da TIR para o Projeto A: Sabendo que quanto maior a taxa i aplicada, menor é o VPL. Sabendo também que o VPL com TMA a 9% para o Projeto A é $ 51.866,34 e que para encontrar a TIR queremos um VPL = 0, calcularemos o VPL agora, à uma taxa de 20% (VPL20) para depois fazer a interpolação com VPLA. VPL20=−150000+∑ n=1 6 FC n (1+0,20)n VPL20=−150000+ 45000 (1+0,20)1 + 45000 (1+0,20)2 + 45000 (1+0,20)3 + 45000 (1+0,20)4 + 45000 (1+0,20)5 + 45000 (1+0,20)6 VPL20=$−352,04 Usando a interpolação: TIR= VPLA(iA−i20) VPL20−VPLA +iA TIR= 51866,34(9−20) −352,04−51866,34 +9 TIRA≈19,92 % Calculo da TIR para o Projeto B: De modo análogo ao calculo para o Projeto A, calcularemos a TIR para o Projeto B (TIRB). Sabendo que o VPLB para uma taxa a 9% é $ 51.112,36. Então, encontraremos um VPL a uma taxa de juros que apresente um valor negativo para este projeto e depois usamos a interpolação para encontrar a TIR do mesmo. VPL23=−150000+∑ n=1 6 FC n (1+0,23)n VPL23=−150000+ 75000 (1+0,23)1 + 60000 (1+0,23)2 + 30000 (1+0,23)3 + 30000 (1+0,23)4 + 30000 (1+0,23)5 + 30000 (1+0,23)6 VPL23=−817,53 Interpolando: TIR= VPLB(iB−i23) VPL23−VPLB +iB TIR= 51112,36 (9−23) −817,53−51112,34 +9 TIRB≈22,78 % Como visto anteriormente, quanto maior a TIR, maior a rentabilidade do projeto, logo, o Projeto B é o mais rentável, portanto o mais indicado de acordo com essa técnica. Técnica de avaliação do investimento: PAYBACK O payback ou período de recuperação do investimento é o numero de períodos necessários para que o fluxo de benefícios ultrapasse o capital investido, considerando o custo de oportunidade do capital investido. O risco do projeto aumenta à medida que o payback vai se aproximando dos últimos períodos do planejamento. Portanto, o melhor projeto é aquele que apresenta menor tempo de retorno do capital investido, mas isso não significa que será o projeto mais rentável. Matematicamente, podemos calcular o tempo de payback através da seguinte equação: I=∑ n=1 n FC n (1+i)n onde: I = investimento inicial; FCn = fluxo de caixa no período n; i = custo do capital ou TMA; n = tempo necessários para recuperar o valor investido. Calculo do payback para o Projeto A: Como citado anteriormente, o tempo máximo para o payback requisitado pela administração é de quatro anos assim, adotaremos n = 4 e verificamos se o resultado do valor recuperado em quatro anos será maior ou igual ao investimento inicial I. I = $ 150.000,00 FCn = $ 45.000,00 i = 9% a.a. = 0,09 Valor recuperado em quatro anos: REC A=∑ n=1 4 FCn (1+i)n REC A= 45000 (1+0,09)1 + 45000 (1+0,09)2 + 45000 (1+0,09)3 + 45000 (1+0,09)4 REC A=$145.787,00 Calculo do payback para o Projeto B: Analogamente ao calculo de payback para o Projeto A. REC B=∑ n=1 4 FCn (1+i)n REC B= 75000 (1+0,09)1 + 60000 (1+0,09)2 + 30000 (1+0,09)3 + 30000 (1+0,09)4 REC B=$163.726,40 Como, o valor recuperado em quatro anos, do Projeto A ainda é menor que o investimento inicial da empresa então, o mesmo já é recusado. Logo, com essa técnica de análise, o projeto recomendado é o Projeto B. Técnica de avaliação do investimento: C/B (Índice Custo-Benefício) Uma medida de quanto se espera ganhar por unidade de capital investido. É uma razão entre os benefícios e os custos do investimento. A analise C/B permite descobrir a viabilidade econômica de um empreendimento, e é análoga à do VPL, ou seja, para se aceitar ou rejeitar um projeto de investimento deve-se verificar se VPL > 0, então, necessariamente B/C > 1, o que indica que o investimento é viável. O C/B pode é calculado com a seguinte equação: C /B= ∑ n=0 n Bn (1+i)n ∑ n=0 n Cn (1+i)n onde: C/B = índice custo-benefício; Bn = benefícios do período n; Cn = custos doperíodo n; n = período do planejamento; i = TMA. Calculando C/B para o Projeto A: Neste projeto, o único custo é o investimento inicial no ano 0 (n = 0) de I = $150.000,00 e os benefícios são as entradas de caixa, todas de $ 45.000,00. (C /B)A= ∑ n=0 6 Bn (1+0,09)n ∑ n=0 6 Cn (1+0,09)n (C /B)A= 45000 (1+0,09)1 + 45000 (1+0,09)2 + 45000 (1+0,09)3 + 45000 (1+0,09)4 + 45000 (1+0,09)5 + 45000 (1+0,09)6 150000 (1+0,09)0 (C /B)A=1,35 Calculando C/B para o Projeto B: Neste projeto, o único custo, também, é o investimento inicial no ano 0, onde n = 0, na quantia de $ 150.000,00 e os benefícios são as entradas de caixa mostradas na tabela-1. (C /B)B= ∑ n=0 6 Bn (1+0,09)n ∑ n=0 6 Cn (1+0,09)n (C /B)A= 75000 (1+0,09)1 + 60000 (1+0,09)2 + 30000 (1+0,09)3 + 30000 (1+0,09)4 + 30000 (1+0,09)5 + 30000 (1+0,09)6 150000 (1+0,09)0 (C /B)B=1,34 O projeto com maior índice de custo-benefício é o Projeto A portanto, por essa técnica de analise de investimento, o projeto recomendado é o Projeto A. Técnica de avaliação do investimento: VAUE (Valor Anual Uniforme) Este método consiste em achar a série uniforme anual (U) equivalente ao fluxo de caixa dos investimentos, ou seja, acha-se a série uniforme equivalente a todos os custos e receitas para cada projeto utilizando-se a TMA. O melhor projeto é aquele que tiver o maior saldo positivo. Encontramos o VAUE com a seguinte equação: VAUE=−I (U /P;i ;n)+Fc VAUE=−I⋅[ (1+i)n⋅i (1+i)n−1 ]+Fc onde: I = investimento inicial; n = período de investimento; i = TMA; Fc = fluxo de caixa uniforme durante o período n. Calculando VAUE para o Projeto A: VAUE A=−150000⋅[ (1+0,09)6⋅0,09 (1+0,09)6−1 ]+45000 VAUE A=$11.562,03 Calculando VAUE para o Projeto B: Neste projeto nós não temos entradas de caixa uniformes, portanto, teremos que leva-las para um valor futuro (F) e com este, encontrar o fluxo de caixa uniforme (U) referente ao Projeto B e então, aplicaremos a formula do VAUE. Para o ano 1: F1=P1(F /P;i ;n) F1=P1(1+i) n = 75000⋅(1+0,09)1 = $ 81.750,00 Para o ano 2: F2=P2(F /P;i ;n) F2=P2⋅(1+i) n = 60000⋅(1+0,09)2 = $ 71.286,00 Para os anos 3 à 6 tempos uma série uniforme, então: F3−6=U3−6(F /U ;i ;n) F3−6=U3−6⋅[ (1+i)n−1 i ] = F3−6=30000⋅[ (1+0,09)4−1 0,09 ] = $ 137.193,87 Assim, F = F1 + F2 + F3-6 = $ 290.229,87 Encontrando o valor uniforme: U=F (U /F ;i ;n) U=F [ i (1+i)n−1 ] = U=290229,87 [ 0,09 (1+0,09)6−1 ] = $ 38.577,29 Agora, aplicando na equação do VAUE: Sendo U = Fc VAUEB=−150000⋅[ (1+0,09)6⋅0,09 (1+0,09)6−1 ]+38577,29 VAUEB=$5.139,32 O projeto que apresenta maior saldo positivo é o Projeto A. Portanto, utilizando os critérios do VAUE, este é o projeto recomendado. Em uma conclusão geral, o Projeto B seria o recomendado para a empresa, pois como vimos na analise do payback, o Projeto A foi reprovado por não recuperar o valor do investimento em no máximo quatro anos. 2 . A Benson Designs elaborou as seguintes estimativas para um projeto de longo prazo que está avaliando. O investimento inicial é de $ 18.250 e o projeto deve render entradas de caixa, depois do Imposto de Renda, de $ 4.000 ao ano, por sete anos. O custo de capital da empresa é de 10%. Considerando o emprego das técnicas de análise de investimento, você recomendaria à empresa que aceitasse ou rejeitasse o projeto? Como todas as técnicas de análise de investido foram apresentadas e comentadas no exercício anterior, para resolução deste exercício apenas aplicarei as equações e os métodos já apresentados. I = $ 18.250 | FCn = $ 4.000 | i = 10% a.a. | n = 7 Técnica de avaliação do investimento: VPL (Valor Presente Liquído) VPL=−I+∑ n=1 n FC n (1+i)n VPL=−18250+∑ n=1 7 FCn (1+0,1)n VPL=−18250+ 4000 (1+0,1)1 + 4000 (1+0,1)2 + 4000 (1+0,1)3 + 4000 (1+0,1)4 + 4000 (1+0,1)5 + 4000 (1+0,1)6 + 4000 (1+0,1)7 VPL=$1.223,68 VPL > 0, portando, projeto aprovado. Técnica de avaliação do investimento: TIR (Taxa Intrínseca de Rendimento) TIR= VPL0(i0−i1) VPL1−VPL0 +i0 Encontrando um VPL de valor negativo: para uma taxa i1 = 15% a.a. VPL1=−18250+∑ n=1 7 FC n (1+0,15)n VPL1=$−1.608,32 Fazendo a interpolação: sendo: VPL0 = VPL = $ 1.223,68 | i0 = i = 10% TIR= VPL0(i0−i1) VPL1−VPL0 +i0 TIR= 1223,68(10−15) −1608,32−1223,68 +10 TIR≈12,16 % Técnica de avaliação do investimento: PAYBACK I=∑ n=1 n FC n (1+i)n 18250=∑ n=1 n FCn (1+0,1)n Para n = 7, a somatória resultará em um valor igual à $ 19.473,68; Para n = 6, a somatória resultará em um calor igual à $ 17.421,04; Como sabemos, o payback é o tempo necessário para que se recupere o valor investido, então, podemos concluir que o tempo de payback desse projeto é de 7 anos. Técnica de avaliação do investimento: C/B (Índice Custo-Benefício) C /B= ∑ n=0 n Bn (1+i)n ∑ n=0 n Cn (1+i)n C /B= 4000 (1+0,1)1 + 4000 (1+0,1)2 + 4000 (1+0,1)3 + 4000 (1+0,1)4 + 4000 (1+0,1)5 + 4000 (1+0,1)6 + 4000 (1+0,1)7 18250 (1+0,1)0 C /B=1,07 C/B > 1, portanto, o projeto é viável. Técnica de avaliação do investimento: VAUE (Valor Anual Uniforme) VAUE=−I (U /P;i ;n)+Fc VAUE=−18250⋅[ (1+0,1)7⋅0,1 (1+0,1)7−1 ]+4000 VAUE=$251,35 Saldo positivo, portanto, o projeto é viável. Com base em todas as técnicas de análise utilizadas, e seus critérios de escolha, o projeto é recomendado, pois o mesmo não foi reprovado em nenhuma das analises. 3. A Neil Corporation está avaliando três projetos. Os fluxos de caixa de cada projeto constam da tabela a seguir. A empresa tem custo de capital de 16%. Projeto A Projeto B Projeto C Investimento inicial (FC0) $ 40.000 $ 40.000 $ 40.000 Ano (n) Entradas de caixa (FCn) 1 $ 13.000 $ 7.000 $ 19.000 2 $ 13.000 10.000 16.000 3 $ 13.000 13.000 13.000 4 $ 13.000 16.000 10.000 5 $ 13.000 19.000 7.000 De forma análoga à resolução do exercício 2, apenas aplicaremos as formulas das técnicas de investimento usadas neste exercício, salvo que todas elas já foram descritas no exercício 1. Técnica de avaliação do investimento: VPL (Valor Presente Líquido) VPL=−I+∑ n=1 n FC n (1+i)n IA = $ 40.000 | i = 16% | n = 5 Calculo do VPL para o Projeto A: VPLA=−40000+∑ n=1 5 FCn (1+0,16)n VPLA=−40000+ 13000 (1+0,16)1 + 13000 (1+0,16)2 + 13000 (1+0,16)3 + 13000 (1+0,16 )4 + 13000 (1+0,16)5 VPLA=$2.565,82 Calculo do VPL para o Projeto B: VPLB=−40000+∑ n=1 5 FCn (1+0,16)n VPLB=−40000+ 7000 (1+0,16)1 + 10000 (1+0,16)2 + 13000 (1+0,16)3 + 16000 (1+0,16 )4 + 19000 (1+0,16)5 VPLB=$−322,53 Calculo do VPL para o Projeto C: VPLC=−40000+∑ n=1 5 FC n (1+0,16)n VPLC=−40000+ 19000 (1+0,16)1 + 16000 (1+0,16 )2 + 13000 (1+0,16)3 + 10000 (1+0,16)4 + 7000 (1+0,16)5 VPLC=$5.454,17 Como o Projeto B apresenta um valor negativo, ele já é considerado inviável. Entre os projetos A e B, o de maior VPL é o Projeto C, portanto, este é o projeto recomendado por essa técnica. Já que o Projeto B foi descartado pela técnica de avaliação do VPL, a partir de agora, seguiremos avaliando pelas outras técnicas apenas o Projeto A e o Projeto C. Técnica de avaliação do investimento: TIR (Taxa Intrínseca de Rendimento) TIR= VPL0(i0−i1) VPL1−VPL0 +i0 Calculo da TIR para o Projeto A: primeiro encontra-se o VPL1 negativo referente a uma taxa i1 = 20% VPL1=−40000+∑ n=1 5 FCn (1+0,20)n VPL1=−40000+ 13000 (1+0,20)1 + 13000 (1+0,20)2 + 13000 (1+0,20)3 + 13000 (1+0,20)4+ 13000 (1+0,20)5 VPL1=$−1.122,04 Sendo VPL0 = VPLA, realizamos a interpolação TIRA= VPL0(i0−i1) VPL1−VPL0 +i0 TIRA= 2565,82(16−20) −1122,04−2565,82 +16 TIRA≈18,78 % Calculo da TIR pra o Projeto C: encontrando o VPL1 de valor negativo referente a taxa i1 = 25% VPL1=−40000+∑ n=1 5 FCn (1+0,25)n VPL1=−40000+ 19000 (1+0,25)1 + 16000 (1+0,25)2 + 13000 (1+0,25)3 + 10000 (1+0,25)4 + 7000 (1+0,25)5 VPL1=$−1.514,24 Se VPLC = VPL0 e iC = VPL0 TIRC= VPL0( i0−i1) VPL1−VPL0 +i0 TIRC= 5454,17 (16−25) −1514,24−5454,17 +16 TIRC≈23,04 % Como a TIR do Projeto C é maior, este é o projeto mais rentável, logo, por essa técnica é o recomendado. Técnica de avaliação do investimento: PAYBACK I=∑ n=1 n FC n (1+i)n Calculo do payback para o Projeto A: 40000=∑ n=1 n FCn (1+i)n Para n = 4, a somatória, ou seja, o valor recuperado em 4 anos é ∑ n=1 4 FCn (1+i)n = 13000 (1+0,16)1 + 13000 (1+0,16)2 + 13000 (1+0,16)3 + 13000 (1+0,16 )4 =$36.376,35 Para n = 5, o valor recuperado em 5 anos é ∑ n=1 5 FCn (1+i)n = 13000 (1+0,16)1 + 13000 (1+0,16)2 + 13000 (1+0,16)3 + 13000 (1+0,16 )4 + 13000 (1+0,16 )5 =$ 42.565,82 Pode-se concluir então, que o payback para o Projeto A é de 5 anos. Calculo do payback para o Projeto C: 40000=∑ n=1 n FCn (1+i)n Para n = 3 o valor recuperado será ∑ n=1 3 FCn (1+i)n = 19000 (1+0,16)1 + 16000 (1+0,16)2 + 13000 (1+0,16)3 =$36.598,47 Para n = 4 o valor recuperado será ∑ n=1 4 FCn (1+i)n = 19000 (1+0,16)1 + 16000 (1+0,16)2 + 13000 (1+0,16)3 + 10000 (1+0,16 )4 =$ 42.121,38 Portanto, o payback para o Projeto C é de 4 anos. Assim, conclui-se que por essa técnica, o projeto mais recomendado é o Projeto C por apresentar um tempo de payback menor. Técnica de avaliação do investimento: C/B (Índice Custo-Benefício) C /B= ∑ n=0 n Bn (1+i)n ∑ n=0 n Cn (1+i)n Calculo de C/B para o Projeto A: (C /B)A= 13000 (1+0,16)1 + 13000 (1+0,16)2 + 13000 (1+0,16)3 + 13000 (1+0,16)4 + 13000 (1+0,16)5 40000 (1+0,16)0 (C /B)A=1,06 Calculo de C/B para o Projeto C: (C /B)C= 19000 (1+0,16 )1 + 16000 (1+0,16)2 + 13000 (1+0,16)3 + 10000 (1+0,16)4 + 7000 (1+0,16)5 40000 (1+0,16)0 (C /B)C=1,14 O projeto de índice C/B maior é o Projeto C, portanto, utilizando os critérios dessa técnica, este é o projeto recomendado. Técnica de avaliação do investimento: VAUE (Valor Anual Uniforme) VAUE=−I (U /P;i ;n)+Fc VAUE=−I⋅[ (1+i)n⋅i (1+i)n−1 ]+Fc Calculo do VAUE para o Projeto A: VAUE A=−40000⋅[ (1+0,16)5⋅0,16 (1+0,16)5−1 ]+13000 VAUE A=$783,62 Calculo do VAUE para o Projeto B: Neste projeto nós não temos entradas de caixa uniformes, portanto, teremos que leva-las para um valor futuro (F) e com este, encontrar o fluxo de caixa uniforme (U) referente ao Projeto C e então, aplicaremos a formula do VAUE. Para o ano 1: F1=P1(F /P;i ;n) F1=P1(1+i) n = 19000⋅(1+0,16)1 = $ 22.040,00 Para o ano 2: F2=P2(F /P;i ;n) F2=P2(1+i) n = 16000⋅(1+0,16)2 = $ 21.529,60 Para o ano 3: F3=P3(F /P;i; n) F3=P3(1+i) n = 13000⋅(1+0,16)3 = $ 20.291,65 Para o ano 4: F4=P4(F /P;i; n) F4=P4(1+i) n = 10000⋅(1+0,16)4 = $ 18.106,39 Para o ano 5: F5=P5(F /P;i; n) F5=P5(1+i) n = 7000⋅(1+0,16 )5 = $ 14.702,39 Valor futuro total F = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = $ 96.670,03 Agora encontramos o valor uniforme: U=F (U /F ;i ;n) U=F [ i (1+i)n−1 ] = U=96670,03[ 0,16 (1+0,16)5−1 ] = $ 14.065,72 Agora, aplicando na equação do VAUE: Sendo U = Fc VAUEC=−400000⋅[ (1+0,16)5⋅0,16 (1+0,16)5−1 ]+14065,72 VAUEC=$1.849,34 O projeto que apresenta maior VAUE é o Projeto C, ou seja, o mesmo apresenta maior salto positivo, portanto, este é o projeto recomendo usando esta técnica. Numa conclusão geral, o projeto recomendado seria o Projeto C, pois ele foi o recomendado em todas as técnicas de análise presentes no exercício. BIBLIOGRAFIA: • Artigo sugerido como modelo para desenvolvimento da atividade. ANÁLISE DE VIABILIDADE ECONÔMICO-FINANCEIRA DA REATIVAÇÃO DE UM POSTO DE COMBUSTÍVEL NA CIDADE DE SÃO JOSÉ DOS PINHAIS – PR. V Congresso Brasileiro de Engenharia de Produção, Ponta Grossa, PR, Brasil, 02 a 04 de Dezembro de 2015. • Prof. Giácomo Balbinotto Neto, Análise de Custo-Benefício – Aula #5. Disponível em: <http://www.ppge.ufrgs.br/giacomo/arquivos/finpub/aula7.pdf>. Acesso em 10 de novembro de 2015. • Warley A. Pereira e Lindomar S. Almeida, Método manual pra cálculo dataxa interna de retorno. Disponível em: <http://faculdadeobjetivo.com.br/arquivos/Metodo Manual.pdf>. Acesso em 10 de novembro de 2015. • Prof. Wanderson S. Paris, Comparação de Projetos de Investimentos. Acesso em: <http://www.cronosquality.com/aulas/eec/C07.pdf>. Acesso em 11 de novembro de 2015.
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