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Introdução à mecânica analítica

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forma que a Lagrangiana do sistema é 
( ) 2232122211222211 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 xkxxkxkxmxmVTL −−−−+=−= && . 
As forças nos amortecedores são proporcionais às velocidades e para levá-las em conta 
basta montar a função de Rayleigh conforme a definição (68) 
( ) 2232122211 2
1
2
1
2
1 xcxxcxcR &&&& +−+= . 
 
30 
Para este problema devem ser montadas, então, as equações de Lagrange na forma (72): 
i) equação para a coordenada x1 
Etapas intermediárias: 
11
1
xm
x
L && =∂
∂ 
11
1
xm
x
L
dt
d &&& =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂ 
)( 12211
1
xxkxk
x
L −+−=∂
∂ 
)( 12211
1
xxcxc
x
R &&&& −−=∂
∂ 
Forma final: 
0)()( 221212212111 =−++−++ xkxkkxcxccxm &&&& 
ii) equação para a coordenada x2 
Etapas intermediárias: 
22
2
xm
x
L && =∂
∂ 
22
2
xm
x
L
dt
d &&& =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂ 
23122
2
)( xkxxk
x
L −−−=∂
∂ 
23122
2
)( xcxxc
x
R &&&& +−=∂
∂ 
Forma final: 
0)()( 232122321222 =++−++− xkkxkxccxcxm &&&& 
 
31 
13. PEQUENAS OSCILAÇÕES 
Considere que o comportamento de um sistema seja descrito pela equação diferencial 
)(xfx =& (73) 
e que a origem x=0 seja uma posição de equilíbrio, isto é, 
0)0( =f . (74) 
A função f pode ser expandida na série de Taylor 
)()( 21 xRxfxf += , (75) 
onde 
0
1
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂=
xx
ff (76) 
e )(2 xR é da ordem de x
2. 
A equação diferencial 
xfx 1=& (77) 
é a equação linearizada associada à equação original (73). Se o movimento do sistema 
permanece restrito a uma vizinhança da origem, a equação linearizada representa bem o 
seu comportamento. 
Seja, agora, um sistema descrito pelas equações de Lagrange 
),,2,1(0 ni
q
L
q
L
td
d
ii
K& ==∂
∂−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂ . (78) 
Em coordenadas generalizadas a energia cinética pode ser escrita sob a forma geral 
∑∑
= =
=
n
j
n
k
kjnjk qqqqT
1 1
1 ),,(2
1 &&Kα . (79) 
Definindo 
)0,,0( Kjkjka α= , (80) 
então a primeira parcela da expansão da energia cinética em série de Taylor em torno da 
origem pode ser escrita na forma 
∑∑
= =
=
n
j
n
k
kjjk qqaT
1 1
2 2
1 && , (81) 
 
32 
onde o índice 2 foi usado para indicar que a expressão é quadrática nas velocidades 
generalizadas. 
Considere, agora, a expansão da energia potencial V em série de Taylor em torno da 
origem das coordenadas generalizadas: 
210 VVVV ++= (82) 
A primeira parcela, V0, é um termo constante, que é arbitrário, pois não influi nas equações 
do movimento onde aparecem apenas derivadas da energia potencial. A segunda parcela, 
V1, é a parcela linear que tem a forma geral 
∑
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂=
n
j
j
origemj
n qq
VqqV
1
11 ),,( K (83) 
e a última parcela, V2, é a parcela quadrática dada por 
∑∑
= = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
∂=
n
j
n
k
kj
origemkj
n qqqq
VqqV
1 1
2
12 2
1),,( K . (84) 
Se a origem é um ponto de equilíbrio, a energia potencial é mínima nesse ponto e todas as 
suas derivadas parciais primeiras se anulam na origem 
0=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂
origemj
q
V (85) 
e, portanto, 
0),,( 11 =nqqV K . (86) 
Nesse caso, a parcela da energia potencial de menor ordem a ser considerada é a parcela 
quadrática V2. 
Definindo 
origemkj
jk qq
Vb ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
∂=
2
 (87) 
a energia potencial pode ser colocada na forma 
∑∑
= =
=
n
j
n
k
kjjkn qqbqqV
1 1
12 2
1),,( K . (88) 
A Lagrangiana a ser considerada no problema linearizado será, então, 
222 VTL −= (89) 
 
33 
Montem-se, agora, as equações de Lagrange. De (89), (81) e (88) 
∑
=
=∂
∂=∂
∂ n
k
kik
ii
qa
q
T
q
L
1
22 &&& (90) 
e, portanto, 
∑
=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂ n
k
kik
i
qa
q
L
td
d
1
2 &&& . (91) 
Das expressões (89), (81) e (88) segue também que 
∑
=
−=∂
∂−=∂
∂ n
k
kik
ii
qb
q
V
q
L
1
22 . (92) 
Substituindo-se as expressões (91) e (92) na expressão (78), obtêm-se as equações de 
Lagrange na forma linear 
),,2,1(0
11
niqbqa
n
k
kik
n
k
kik K&& ==+ ∑∑
==
 (93) 
que são válidas para pequenos movimentos em torno da posição de equilíbrio. 
Estas equações também podem ser apresentadas na forma matricial, mais compacta. Para 
isso definam-se as matrizes [A] e [B] tais que 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
nnn
n
aa
aa
K
MOM
K
1
111
]A[ (94) 
e 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
nnn
n
bb
bb
K
MOM
K
1
111
]B[ (95) 
e coloquem-se as coordenadas generalizadas no vetor {q}, definido por 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
nq
q
M
1
}q{ . (96) 
Com essas definições as equações de Lagrange linearizadas podem ser escritas na forma 
}0{}B]{q[}q]{A[ =+&& . (97) 
 
34 
A matriz [A] é chamada de matriz de massa do sistema e a matriz [B] é chamada de matriz 
de rigidez do sistema. A relação (87) mostra que a matriz de rigidez é simétrica. Pode-se 
mostrar que a matriz de massa também é simétrica. 
Exemplo 
Monte as equações de Lagrange para o sistema formado pelos dois pêndulos acoplados, 
esquematizado na figura 13, linearizadas em torno da posição de equilíbrio θ1=θ2=0, 
sabendo que nessa posição a mola está indeformada. 
 
Figura 13 - Dois pêndulos acoplados por uma mola 
Solução 
A energia cinética do sistema é 
2
2
2
2
1
2 )(
2
1 TmLT =+= θθ && . 
e a energia potencial é a soma da energia armazenada na mola com a energia potencial 
gravitacional 
)cos(cos)sen(sen
2
1
21
2
21
2 θθθθ +−−= mgLkaV , 
com a referência da energia potencial fixada na extremidade superior dos pêndulos. 
Lembrando as expansões em série da função seno 
)(O
6
sen 5
3
θθθθ +−= 
e da função cosseno 
 
35 
)(O
2
1cos 4
2
θθθ +−= , 
a parte quadrática da energia potencial será 
)(
2
1)(
2
1 2
2
2
1
2
21
2
2 θθθθ ++−= mgLkaV 
e a Lagrangiana a ser considerada no problema linearizado será 
)(
2
1)(
2
1)(
2
1 2
2
2
1
2
21
22
2
2
1
2
222 θθθθθθ +−−−+=−= mgLkamLVTL && . 
A partir daqui é só montar as equações de Lagrange. 
i) equação para a coordenada θ1 
Etapas intermediárias: 
1
2
1
2 θθ
&& mL
L =∂
∂ 
1
2
1
2 θθ
&&& mL
L
dt
d =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂ 
121
2
1
)( θθθθ mgLka
L −−−=∂
∂ 
Forma final: 
0)( 2
2
1
2
1
2 =−++ θθθ kamgLkamL && (98) 
ii) equação para a coordenada θ2 
Etapas intermediárias: 
2
2
2
2 θθ
&& mL
L =∂
∂ 
2
2
2
2 θθ
&&& mL
L
dt
d =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂ 
221
2
2
)( θθθθ mgLka
L −−=∂
∂ 
Forma final: 
0)( 2
2
1
2
2
2 =++− θθθ mgLkakamL && (99) 
 
36 
Note que as equações de Lagrange linearizadas (98) e (99) podem ser agrupadas na forma 
matricial 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
−++
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
0
0
0
0
2
1
22
22
2
1
2
2
θ
θ
θ
θ
mgLkaka
kamgLka
mL
mL
&&
&&
 . 
14. BIBLIOGRAFIA 
França, L. N. F. Mecânica Analítica - 1ª parte. Monografia no 87/93. Departamento de 
Engenharia Mecânica - EPUSP. 
Goldstein, H. Classical Mechanics. Second Edition, Addison-Wesley, 1980. 
Greenwood, D. T. Principles of Dynamics. Second Edition, Prentice-Hall, 1988. 
Lanczos, C. The Variational Principles of Mechanics. Dover Publications, 1970. 
Meirovitch, L. Elements of Vibration Analysis. Second Edition, McGraw Hill, 1986. 
Meirovitch, L. Methods of Analytical Dynamics. McGraw-Hill, 1970.

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