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AULA L-03 1 Algarismos Significativos – Parte 1 LABORATÓRIO DE FÍSICA I Algarismos Significativos (A.S.) – Parte 1 1. OBJETIVOS Expressar números e executar operações usando o número correto de algarismos significativos; Fazer arredondamento de números usando os critérios da ABNT; Escrever números e fazer operações usando a notação científica. 2. MATERIAL Cópia do roteiro disponibilizado no site da disciplina. 3. CONCEITOS INICIAIS Suponha que se deseje medir o comprimento de uma barra AB usando uma régua graduada em centímetros. LAB = 2,4 cm. Nesta indicação temos certeza quanto ao algarismo 2 (correto). No entanto, não temos certeza no algarismo 4 (duvidoso), uma vez que ele foi apenas avaliado. Se a medida da mesma barra AB fosse feita com uma régua graduada em milímetros teríamos: LAB = 2,43 cm Temos certeza, agora, nos algarismos 2 e 4 (corretos); não temos certeza no algarismo 3 (duvidoso) pois ele foi apenas avaliado. Outro observador poderia ter, por exemplo, atribuído o algarismo 4 e não 3. AULA L-03 2 Algarismos Significativos – Parte 1 Os números que representam uma medida são formados pelos algarismos corretos, isto é, aqueles que temos certeza de seu valor e por um algarismo duvidoso, isto é, que não temos certeza sobre seu valor. Na leitura efetuada, o operador leu: 2 unidades de centímetro com certeza 4 unidades de milímetros com certeza 3 unidades de décimos de milímetros por avaliação – isto é sem certeza. Observe que não teria nenhum sentido indicar o resultado da medida como: LAB = 2,435 cm Para indicar corretamente o resultado de uma medida devemos utilizar o conceito de algarismo significativo. O ZERO COMO ALGARISMO SIGNIFICATIVO Escrito entre dois algarismos é significativo. Exemplo: 30,507 m (5 A.S.) Escrito à esquerda de um número não é significativo. Exemplo 0,000 324 m (3 A.S.) Escrito à direita de um número é significativo. Exemplo 32,40 m (4 A.S.) AULA L-03 3 Algarismos Significativos – Parte 1 NÚMEROS EXATOS Alguns números que aparecem em aplicações científicas são exatos, como: Números presentes nas equações físicas decorrentes de deduções matemáticas como o número 2 no denominador e no expoente da expressão para a energia cinética de uma partícula: 2mv E= 2 . Número obtido pela contagem de pequenos conjuntos de objetos ou indivíduos, por exemplo, 30 pessoas, 12 livros. Não é correto, do ponto de vista científico, dizer que a população do Brasil é de 190 000 000 de pessoas, pois isto corresponderia a um número exato. Outros exemplos: O número = 3,141 592 654 Os números irracionais como 2, 3 A velocidade da luz c = 299 792 458 m/s A aceleração normal da gravidade g = 9,806 65 m/s2. OBSERVAÇÕES: Suponha que o comprimento de uma barra seja L = 12,3 m. Se desejarmos expressar este comprimento em centímetros, lembrando que 1 m = 100 cm, a conversão seria L = 1230 cm. Esta representação, no entanto não é correta, pois contém quatro algarismos significativos, enquanto a medida tem três algarismos significativos. Assim, para expressar corretamente a medida devemos usar a notação científica, isto é: L= 12,3 m = 1,23 x 103 cm. Na conversão de unidades deve ser mantido o número de algarismos significativos. O uso de algarismos significativos está ligado ao processo de medição que envolve o tipo de instrumento utilizado e sua sensibilidade. Não tem sentido em falar em algarismos significativos caso o número não tenha sido obtido por algum tipo de medição. AULA L-03 4 Algarismos Significativos – Parte 1 Não se pode usar o conceito de algarismos significativos para números que representam avaliações ou usados como base de cálculo. Por exemplo, se avaliarmos a dimensão de comprimento de uma parede como tendo 10 m. Neste caso, não há sentido em dizer que este número tem 2 algarismos significativos, pois não houve um processo de medição para determiná-lo. Da mesma forma, não há sentido em dizer que um tanque de 5000 litros tem 4 algarismos significativos enquanto não for realizada a medição de sua capacidade. Somente após à medição e dependendo do procedimento utilizado é que poderemos afirmar qual o número de algarismos significativos referentes à capacidade do tanque. OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO O resultado da adição ou subtração deve ser apresentado com o mesmo número de casas decimais correspondentes à parcela que tem menor número de casas decimais. Observe que só podem ser somados ou subtraídos números que correspondem a medidas do mesmo tipo de grandeza. Exemplo 1: 123,456 m + 12,13 m = 135,59 m Exemplo 2: 434,57 + 67,790 23,2 525,560 = 525,6 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO O resultado da operação de multiplicação ou divisão deve ser apresentado com o número de algarismos significativos correspondentes ao fator que tem menor número de algarismos Exemplo: Vamos multiplicar 23,8 N por 1,784 52 m. Para tanto, observemos que o primeiro fator contém três algarismos significativos enquanto o segundo contém seis algarismos significativos, assim o AULA L-03 5 Algarismos Significativos – Parte 1 resultado da multiplicação deverá conter apenas três algarismos significativos. A operação feita na calculadora fornece: 23,8 x 1,784 52 = 42,471 576. Tal resultado não tem significado, pois tem um excesso de algarismos significativos. O resultado correto é: 23,8 N x 1,784 52 m = 42,5 N.m ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS NORMA TÉCNICA NBR 5891 Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação. Exemplo: 1,2324 - Arredondado à primeira decimal: 1,2324. Torna-se: 1,2. Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade. Exemplos: 1,6666 - arredondado à primeira decimal: 1,6666 Torna-se: 1,7. 4,8505 - arredondado à primeira decimal: 4,8505 Tornar-se: 4,9. 9,95001 - arredondado à primeira decimal: 9,95001 Tornar-se: 10,0. AULA L-03 6 Algarismos Significativos – Parte 1 Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5, seguido de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo. Consequentemente, o último a ser retirado, se for ímpar, aumentará uma unidade. Exemplo: 4,7500 - arredondado à primeira decimal: 4,7500 Tornar-se: 4,8. Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último a ser conservadofor 5, seguido de zeros, ele permanecerá sem modificação se for par o algarismo a ser conservado. Exemplo: 4,8500 - arredondado à primeira decimal: 4,8500 Tornar-se: 4,8. Observação: Nem sempre é possível fazer arredondamento para um número arbitrário de decimais. Por exemplo, o número 0,000346 não pode ser arredondado até a primeira, segunda ou terceira decimal. O arredondamento máximo deverá ocorrer na quarta decimal, isto é: 0,0003. NOTAÇÃO CIENTÍFICA As medidas de grandezas na Ciência podem levar a números extraordinariamente grandes, como a massa da Terra: 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg Ou a números muito pequenos: 0,00000000798 m de comprimento. AULA L-03 7 Algarismos Significativos – Parte 1 Para representar tais números, faz-se uso da notação científica utilizando-se de potências de 10. Qualquer número N pode ser escrito como um número A, maior ou igual a 1 e menor que 10, multiplicado por uma potência B inteira positiva ou negativa do número 10. N = A x 10 B Exemplos: 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg = 5,98 x 1024 kg 0,00000000798 m = 7,98 x 10-9 m O uso da notação científica é conveniente para: Representar corretamente o resultado de uma medida utilizando todos os algarismos significativos; Facilitar cálculos numéricos; Permitir mudanças de unidades sem alterar a precisão da medida efetuada. REGRAS PRÁTICAS NÚMEROS MAIORES QUE 10 Uma vez localizada a vírgula do número decimal, desloque-a para a esquerda até o primeiro algarismo não nulo. O número de casas deslocadas fornece a potência de 10 da notação científica. Exemplos: 436 789 = 4,36789 x 105 72 000, 567 = 7,2000567 x 104 NÚMEROS MENORES QUE 10 Uma vez localizada a vírgula do número decimal, desloque-a para a direita até o primeiro algarismo não nulo. O valor negativo do número de casas deslocadas fornece a potência de 10 da notação científica. Exemplos: 0,436789 = 4,36789 x 10-1 0,000324 = 3,24 x 10-4 AULA L-03 8 Algarismos Significativos – Parte 1 OPERAÇÕES MATEMÁTICAS ADIÇÃO OU SUBTRAÇÃO Dados dois números X e Y para efetuar a adição (ou subtração) devemos, inicialmente, representá-los na notação científica usando a mesma potência de dez (mesma base) e, a seguir fazemos a operação com a parte significativa do número. Exemplo: Para somar os números X = 356, 797 e Y = 4 315,67 escrevemos: X = 3,56797 x 102 e Y = 43,1567 x 102 X + Y = (3,56797 + 43,1567) x 102 = 46,7246 x 102 = 4,67247 x 103 MULTIPLICAÇÃO Dados dois números X e Y para efetuar a multiplicação devemos, inicialmente, representá-los na notação científica. A seguir, fazemos a operação com a parte significativa do número, multiplicando o resultado pelo número 10, com a potência obtida pela soma das potências de 10, dos números X e Y, em sua notação científica. Exemplo 1: Para multiplicar os números X = 356, 797 e Y = 4 315,67 escrevemos: X = 3,56797 x 102 e Y = 4,31567 x 103 X x Y = 3,56797 x 102 x 4,31567 x 103 = 15,3981810899 x 102 + 3 = = 15,39818 x 105 = 1,53982 x 106 Exemplo 2: Para multiplicar os números X = 0,0000356797 e Y = 4 315,67 escrevemos: X = 3,56797 x 10-5 e Y = 4,31567 x 103 X x Y = 3,56797 x 10-5 x 4,31567 x 103 = 15,3981810899 x 10-5 + 3 = 15,39818 x 10-2 = 1,53982 x 10-1 AULA L-03 9 Algarismos Significativos – Parte 1 DIVISÃO Dados dois números X e Y para efetuar a divisão devemos, inicialmente, representá-los na notação científica; a seguir fazemos a operação com a parte significativa do número multiplicando o resultado pelo número 10, com a potência obtida pela diferença entre potências de 10, dos números X e Y em sua notação científica. Exemplo 1: Para dividir os números X = 356, 797 e Y = 4 315,67 escrevemos: X = 3,56797 x 102 e Y = 4,31567 x 103 X /Y = 3,56797 x 102 / 4,31567 x 103 = 0,826748 x 102 - 3 = 0,826748 x 10-1 = 8,26748 x 10-2 Exemplo 2: Para dividir os números X = 4 315,67 e Y = 0,0000356797 escrevemos: X = 4,31567 x 103 e Y = 3,56797 x 10-5 X / Y = 4,31567 x 103 / 3,56797 x 10-5= 1,20956 x 103 – (-5) = 1,20956 x 103 – (-5) = 1,20956 x 103 +5 = 1,20956 x 108 POTENCIAÇÃO Dado o número X em sua representação científica para efetuar sua potenciação elevamos a parte significativa do número à potência indicada, multiplicando-a pelo número 10 elevado à potência obtida pelo produto entre a potência de 10 do número em sua representação científica e a potência indicada. Exemplos: Dado X = 4,31567 x 103 X3= (4,31567 x 103)3= 4,31567 3 x 103 x 3 = 80,37939 x 109 = 8,037939 x 1010 X4= (4,31567 x 103)4 = 4,315674 x 103 x 4 = 346,8909 x 1012 = 3,46891 x 1014 AULA L-03 10 Algarismos Significativos – Parte 1 RADICIAÇÃO Dado o número X em sua representação científica, para extrair a raiz de ordem n, inicialmente escrevemos o número usando a potência de 10, múltiplo de n, a seguir efetuamos a raiz da parte significativa desta representação multiplicando o resultado pelo número 10, elevado à potência obtida pelo quociente entre a potência de 10 obtida e o número n. Exemplos: Dado X = 4,31567 x 105 = 43,1567 x 104 4 4/2 2X= 43,1567x10 = 43,1567 x 10 =6,5694x10 3 3/3 1 23 3X= 431,567x10 = 431,567 x 10 =20,774x10 =2,0774 x10 ORDEM DE GRANDEZA "A Ordem de Grandeza de um número é a potência de 10, mais próxima deste número". É uma forma de avaliação rápida, do intervalo de valores em que o resultado deverá ser esperado. Para se determinar com facilidade a ordem de grandeza, deve-se escrever o número em notação científica (isto é, na forma N = A x 10 B) e verificar se A é maior ou menor que (10) 1/2, ou seja, 10 . Se X> 10=3,162278 a ordem de grandeza será: OG = 10 B+ 1 Se X< 10=3,162278 a ordem de grandeza será: OG = 10 B Exemplos: 267,3456 = 2,673456 x 102 OG = 102 867,3456 = 8,673456 x 102 OG = 103 AULA L-03 11 Algarismos Significativos – Parte 1 PREFIXOS Os múltiplos e submúltiplos das unidades SI, identificados pelos seus respectivos prefixos, devem ser verbalizados por completo, ou seja, com o prefixo mais a unidade da grandeza correspondente. Isto se justifica pelo fato de que é comum encontrar pessoas que ao se referirem, por exemplo, a uma quantidade de massa igual a 14,5 kg, a identificam como “14,5 quilos” o que é incorreto. Cabe lembrar que unidades em múltiplos daquelas do Sistema Internacional são consideradas unidades deste sistema. Por exemplo: MPa mega pascal, é múltiplo da unidade pascal; pF pico farad é um submúltiplo da unidade farad; GHz gigahertz é múltiplo da unidade hertz; mN milinewton é submúltiplo da unidade newton; cm centímetro é submúltiplo da unidade metro. Para mais múltiplos de grandezas, veja Rozemberg (2006), página 65. Referência: ROZENBERG, I.M. O Sistema Internacional de Unidades – SI. 3ª ed. São Paulo: Instituto Mauá de Tecnologia. 2006. 116p. AULA L-03 12 Algarismos Significativos – Parte 1 LABORATÓRIO DE FÍSICA I Algarismos Significativos Grupo Turma Laboratório Equipe Data Nota RA NOME ASSINATURA 1. Determine o número de algarismos significativos de: a) 23,894 N b) 15,780 000 cm c) 0,003 456 kg d) 1,456 x 10-3 Pa2. Calcule o perímetro de um polígono cujos lados são 5,78 cm, 4,7cm, 6,891 cm e 3,2 cm. 3. Um cubo tem aresta a = 2,456 cm. Calcule: a)Área de cada face. b)A área total. AULA L-03 13 Algarismos Significativos – Parte 1 4. Uma esfera tem raio R = 0,456 cm. a. Calcule o volume (V = 4R3/3). b. Expresse os resultados anteriores em m3. 5. Para a determinação da aceleração da gravidade num ponto mediu-se o período de oscilação T de um pêndulo simples de comprimento L. Sabendo que g = 42L /T2, Calcule o valor g para: L = 1,250 m e T = 2,23 s. 6. O Índice de Massa Corporal (IMC) é reconhecido como padrão internacional para avaliar o grau de obesidade. O IMC é calculado dividindo a massa (em kg) pela altura (em m) ao quadrado. Calcule o IMC de um dos componentes da sua equipe. 7. Faça o arredondamento dos números abaixo até a casa decimal indicada: a. Terceira: 7,895505 b. Primeira: 78,855 c. Segunda 78,8550 d. Segunda 0,00156 AULA L-03 14 Algarismos Significativos – Parte 1 8. Represente os números abaixo usando a notação científica: a. 56 778,879 b. 78 875 567 345 c. 0,00003456 d. 0,03467 9. Efetue as operações indicadas: a. 7,55 x 104 + 1,22 x 104 = b. 1,33 x 10-3 x 2,44 x 102 = c. 1,33 x 10-3 : 2,44 x 10-5 = 10. Calcule e represente o resultado em notação científica: a. (7,8 x 10-3) 2 = b. (4,2 x 10-2)-3 = c. 46784,23x10 = 11. Determine a ordem de grandeza dos números: a. 256 783 654 128 b. 0,00026782 c. 856 783 654 128 d. 0,00056782 12. Represente as grandezas abaixo, usando os prefixos convenientes: a. 256 783 N b. 0,00026782 C c. 7,55 x 103 Pa d. 7,55 x 10-4 Pa
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