Resolução parte 2 cap 4 Calculo 1, Rubens Starke

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RESOLUC¸O˜ES DOS EXERCI´CIOS: CA´LCULO 1
CAPI´TULO 4 - PARTE 2
Professores Inder Jeet Taneja e Rubens Starke.
38) y = excosx.
Vamos calcular y′ e y′′ e verificar se com expresso˜es encontradas a equac¸a˜o reduz-se a uma
identidade 0 = 0:
y′ = excosx+ ex(−senx) = ex(cosx− senx).
y′′ = ex(cosx− senx) + ex(−senx− cosx) = −2exsenx.
Substituindo y′ e y′′ na equac¸a˜o y′′ − 2y′ + 2y = 0, temos:
−2exsenx− 2ex(cosx− senx) + 2excosx = 0
−2exsenx− 2excosx+ 2exsenx+ 2excosx = 0
0 = 0 .
Logo, a func¸a˜o excosx satisfaz a equac¸a˜o.
39)
f ′(x) = −42
8
x5 +
20
4
x3 − 6x
= −21
4
x5 + 5x3 − 6x.
40) Escreva assim:
y = (3x)
1
2 − 4x−13 + 3x−32
y′ =
1
2
(3x)
−1
3 . 3 − 4
3
x
−2
3 − 9
2
x
−5
2
=
3
2
√
3x
− 4
3
3
√
x2
− 9
2
√
x5
=
3
2
√
3
√
x
− 4
3
3
√
x2
− 9
2
√
x2. x2. x
=
√
3
2
√
x
− 4
3
3
√
x2
− 9
2x2
√
x
1
41) f ′(t) =
(ct+ d)a− (at+ b)c
(ct+ d)2
=
act+ ad− act− bc
(ct+ d)2
=
ad− bc
(ct+ d)2
42) g′(u) = 7(5− 4u3)6 · (−12u2) = −84u2(5− 4u3)6
43) h′(y) =
1
3
(a+ by + cy2)
−2
3 · (b+ 2cy)
=
b+ 2cy
3 3
√
(a+ by + cy2)2
44) F ′(y) = 6x ·
√
1 + 5x2 + (2 + 3x2) · 1
2
(1 + 5x2)
−1
2 · 10x
= 6x
√
1 + 5x2 +
5x(2 + 3x2)√
1 + 5x2
=
6x(1 + 5x2) + 5x(2 + 3x2)√
1 + 5x2
=
6x+ 30x3 + 10x+ 15x3√
1 + 5x2
=
x(45x2 + 16)√
1 + 5x2
45) f ′(x) = lim
∆x→0
3(x+∆x)2 − 2(x+∆x) + 1− (3x2 − 2x+ 1)
∆x
= lim
∆x→0
6x∆x+ 3(∆x)2 − 2∆x
∆x
= lim
∆x→0
(6x− 2 + 3∆x) = 6x− 2
2
46)
g′(−1) = lim
∆t→0
g(−1 + ∆t)− g(−1)
∆t
= lim
∆t→0
5√
8+1−∆t − 53
∆t
= lim
∆t→0
15− 5√9−∆t
3∆t
√
9−∆t .
Multiplicando e dividindo pelo conjugado chega-se a
lim
∆t→0
25
3
√
9−∆t (15 + 5√9−∆t) =
5
54
.
O outro ı´tem e´ feito de maneira ana´loga, ou seja,
g′(a) = lim
∆t→0
g(a+∆t)− g(a)
∆t
= lim
∆t→0
5√
8−a−∆t − 5√8−a
∆t
. . .
47) Para achar a equac¸a˜o da reta tangente devemos ter o coeficiente angular da reta e um
ponto por onde ela passa. O ponto e´ (-2,1). O coeficiente angular e´ f ′(−2).
f ′(x) =
(3x+ 4)2x− (x2 − 6).3
(3x+ 4)2
=
3x2 + 8x+ 18
(3x+ 4)2
.
Logo,
f ′(−2) = 14
4
=
7
2
A equac¸a˜o e´: y = 7
2
x+ b. Substituindo x e y pelas coordenadas do ponto (-2,1), temos
1 = −7 + b⇒ b = 8.
Resposta: y = 7
2
x+ 8.
48)
Duas retas paralelas teˆm o mesmo coeficiente angular.
O coeficiente angular da reta y = −7x+ 8 e´ −7. Portanto temos que achar os pontos
do gra´fico de f onde a reta tangente tem coeficiente angular −7, ou seja, os pontos x tais
que f ′(x) = −7.
3
f ′(x) = 3x2 − 4x− 6
f ′(x) = −7 ⇔ 3x2 − 4x + 1 = 0 ⇔ x = 1 ou x = 1
3
. Como f(1) = −5 e f(1
3
) = −5
27
,
os pontos do gra´fico em que a reta tangente e´ paralela a` reta y = −7x + 8 sa˜o (1,−5) e(
1
3
, −5
27
)
.
49)
g′(0) = lim
∆x→0
g(0 + ∆x)− g(0)
∆x
= lim
∆x→0
(∆x)2.sen
(
1
∆x
)− 0
∆x
= lim
∆x→0
∆x.sen
(
1
∆x
)
.
Como a func¸a˜o seno e´ limitada e ∆x tende a zero, o produto tende a zero. (Teorema
13, pa´gina 84). Logo, g′(0) = 0.
53) g′(t) = 2cost(−sent) + 2sen(3t)cos(3t).3
= −2costsent+ 6sen3tcos3t
56) y′ = u
′
u
(derivada de lnu)
y′ =
2senx cosx
sen2x
=
2cosx
senx
= 2cotgx
57)
y′ = ex
2
.2x+ 1.e3x + x.e3x.3− 5x2 .2x. ln 5
= 2xex
2
+ (1 + 3x)e3x − 2x.5x2 . ln 5
58)
y′ = 2x.arctg x+ x2.
1
1 + x2
+
1
1 + x2
− 1
= 2x.arctg x+
x2 + 1
1 + x2
− 1
= 2x.arctg x+ 1− 1
= 2x.arctg x
4
61)
y = x1/x
ln y =
1
x
. lnx
y′
y
=
−1
x2
. lnx+
1
x
.
1
x
y′ = y
(− lnx
x2
+
1
x2
)
=
x
1
x (1− ln x)
x2
63)
f(x) = y = (x+ 1)3 − 5
Seja g = f−1. Pelo teorema 28,
g′(y) =
1
f ′(x)
=
1
3(x+ 1)2
Devemos agora escrever 1
3(x+1)2
em func¸a˜o de y.
De y = (x+ 1)3 − 5 segue que
(x+ 1)3 = y + 5
x+ 1 = 3
√
y + 5
Logo,
g′(y) =
1
3 3
√
(y + 5)2
Portanto, g′(x) = 1
3 3
√
(x+5)2
64)
g′(y) =
1
f ′(x)
f ′(x) =
1
3 3
√
(x+ 4)2
Enta˜o g′(y) = 3 3
√
(x+ 4)2
5
De y = 3
√
x+ 4, temos: x+ 4 = y3.
Logo, g′(y) = 3 3
√
y6 = 3y2.
E g′(x) = 3x2.
67)
y = ea+bx
y′ = b.ea+bx
y′′ = b.b.ea+bx = b2.ea+bx
y′′′ = b2.b.ea+bx = b3.ea+bx
Note que cada vez que deviramos multiplicamos a derivada anterior por b.
Logo, y(n) = bn.ea+bx
68)
y = (x+ a)−1
y′ = −(x+ a)−2
y′′ = 2(x+ a)−3
y′′′ = −6(x+ a)−4 ou 3!(x+ a)−4
y(4) = 24(x+ a)−5 ou 4!(x+ a)−5
y(5) = −5!(x+ a)−6
Temos uma alternaˆncia de sinal, as derivadas de ordem ı´mpar sa˜o negativas.
Logo,
y(n) = (−1)n.(n)!(x+ a)−(n+1) ou (−1)
n.n!
(x+ a)n+1
69)
2xexy + x2.exy(xy′ + 1.y)− (x.2yy′ + 1.y2) = −y′
y′(x3exy − 2xy + 1) = y2 − x2yexy − 2xexy
y′ =
y2 − x2yexy − 2xexy
x3exy − 2xy + 1
6
70)
a)
f ′(1) = (uv)′(1) = u(1).v′(1) + u′(1).v(1) = 2.4 + 3.3 = 17
b) (u
v
)′
(1) =
v(1).u′(1)− u(1).v′(1)
[v(1)]2
=
3.3− 2.4
9
=
1
9
c)
(u ◦ v)′(1) = u′[v(1)].v′(1) = u′(3).4 = −2.4 = −8
d)
(v ◦ u)′(1) = v′[u(1)].u′(1) = v′(2).3 = 5.3 = 15
7