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Probabilidade
Probabilidade
Modelos Probabil´ısticos para a Computac¸a˜o
Professora: Andre´a Rocha
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA´IBA
Agosto, 2011
Probabilidade
Varia´veis Aleato´rias
Varia´veis Aleato´rias
Definic¸a˜o: Seja E um experimento e Ω um espac¸o amostral
associado a E. Uma func¸a˜o X, que associe a cada elemento ω ∈ Ω
um nu´mero real, X(ω), e´ denominada varia´vel aleato´ria.
Definic¸a˜o: O conjunto dos valores que X pode assumir e´
chamando imagem de X, e sera´ denotado por RX.
Probabilidade
Varia´veis Aleato´rias
Varia´veis Aleato´rias
Exemplo: Suponha que dus moedas sejam lanc¸adas e observamos
a sequeˆncia de caras e coroas obtidas. Considere o espac¸o amostral
associado a esse experimento. Isto e´, Ω = {(c, c), (c,k), (k, c),
(k,k)}. Define-se a varia´vel aleato´ria,
X : nu´mero de caras obitidas nas duas moedas.
Enta˜o:
X(c, c) = 2, X(c,k) = X(k, c) = 1, X(k,k) = 0.
Neste caso, RX = {0, 1, 2}.
Probabilidade
Varia´veis Aleato´rias
Definic¸a˜o: Seja E um experimento e Ω o seu espac¸o amostral.
Seja uma varia´vel aleato´ria definida em Ω e RX sua imagem. Seja
B um evento em relac¸a˜o a RX, isto e´, B ⊂ RX. Enta˜o, define-se a
imagem inversa de B sob X como:
X−1(B) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B}.
Assim, X−1(B) sera´ constitu´ıdo por todos os resultados em Ω,
para os quais X(ω) ∈ B.
Definic¸a˜o: Seja B um evento na imagem RX. Define-se P(B) da
seguinte forma, P(B) = P(A), onde A = X−1(B). Em outras
palavras, como B e´ equivalente a A em Ω, com probabilidade de B
e´ igual a probabilidade de A em Ω.
Probabilidade
Varia´veis Aleato´rias
Exemplo: Considere as duas moedas do exemplo anterior como na˜o
viciadas. Calcule: P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X 6 2) e
P(X < 0).
P(X = 0) = P(k,k) =
1
4
, P(X = 2) = P(c, c) =
1
4
,
P(X = 1) = P((c,k) ∪ (k, c)) = 1
4
+
1
4
=
1
2
,
P(X 6 2) = P(Ω) = 1, P(X < 0) = P(∅) = 0.
Probabilidade
Varia´veis Aleato´rias
Varia´vel Aleato´ria Discreta
Definic¸a˜o: Seja X uma varia´vel aleato´ria. Se o nu´mero de valores
poss´ıveis de X, isto e´, RX, for finito ou infinito enumera´vel, enta˜o,
X e´ uma varia´vel aleato´ria discreta.
Definic¸a˜o: Chama-se func¸a˜o de probabilidade (f.d.) da varia´vel
aleato´ria discreta X, que assume valores x1, x2, . . ., a func¸a˜o p(xi),
que a cada valor de xi associa sua probabilidade de ocorreˆncia, isto
e´:
p(xi) = P(X = xi) = pi,
e deve satisfazer as seguintes condic¸o˜es:
i)p(xi) > 0,∀i;
ii)
∑∞
i=1 p(xi) = 1.
Probabilidade
Varia´veis Aleato´rias
Varia´vel Aleato´ria Cont´ınua
Definic¸a˜o: Dizemos que X e´ uma varia´vel aleato´ria cont´ınua, se
existir uma func¸a˜o f(·), denominada func¸a˜o de densidade de
probabilidade de X (f.d.p.), que satisfac¸a as seguintes condic¸o˜es:
i)f(x) > 0,∀x,
ii)
∫∞
−∞ f(x)dx = 1,
iii) Para quaisquer a e b, com −∞ < a < b <∞, teremos
P(a 6 X 6 b) =
∫b
a f(x)dx.
Probabilidade
Varia´veis Aleato´rias
Varia´vel Aleato´ria Cont´ınua
Obs.1: P(X = 0) = 0, isto e´, para uma varia´vel aleato´ria cont´ınua,
a probabilidade de X = x0 e´ sempre igual a zero. Somente tem
sentido calcular probabilidades em intervalos, pois:
P(X = x0) =
∫x0
x0
f(x)dx
Obs.2:
P(a 6 X 6 b) = P(a < X 6 b) = P(a 6 X < b) = P(a < X < b).
Probabilidade
Varia´veis Aleato´rias
Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada
Definic¸a˜o: Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta ou cont´ınua.
Define-se a func¸a˜o F(·) como a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
da varia´vel aleato´ria X como
F(x) = P(X 6 x).
i) Se X for uma varia´vel aleato´ria discreta, F(x) =
∑
j p(xj), onde
o somato´rio e´ estendidoa todos os ı´ndices j, tais que xj 6 x.
ii) Se X for uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com f.d.p. f(·),
F(x) =
∫x
−∞ f(t)dt.
Probabilidade
Varia´veis Aleato´rias
Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada
Exemplo: Suponha que a varia´vel aleato´ria X tome treˆs valores 0,
1 e 2, com probabilidades 1/3, 16 e
Probabilidade
Esperanc¸a
Esperanc¸a de uma Varia´vel Aleato´ria
Definic¸a˜o: Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta, com valores
poss´ıveis x1, x2, . . . Seja p(xi) = P(X = xi), i = 1, 2, . . . Enta˜o o
valor esperado, esperanc¸a matema´tica ou simplesmente esperanc¸a
de X, denotado por E(X) e´ definido como
E(X) =
∞∑
i=1
xip(xi),
se a se´rie
∑∞
i=1 xip(xi) convergir absolutamente, isto e´, se
∞∑
i=1
|xi|p(xi) <∞.
Probabilidade
Esperanc¸a
Se X tomar apenas um nu´mero finito, n, de valores, a esperanc¸a
de X sera´ dada por
E(X) =
n∑
i=1
xip(xi),
Isto pode ser considerado como uma me´dia ponderada dos valores
poss´ıveis x1, . . . , xn. Se todos esses valores poss´ıveis forem
igualmente prova´veis,
E(X) =
n∑
i=1
xi
n
.
que representa a me´dia aritme´tica simples ou usual dos n valores
poss´ıveis.
Probabilidade
Esperanc¸a
Exemplo: Seja X uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o Bernoulli,
isto e´, X assume os valores 0 ou 1, com probabilidades (1− p) e p,
respectivamente. Neste caso, temos que a esperanc¸a de X e´ dada
por
E(X) = 0 · (1 − p) + 1 · p = p.
Probabilidade
Esperanc¸a
Definic¸a˜o: Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com f.d.p. A
esperanc¸a de X e´ definida como
E(X) =
∫∞
−∞ xf(x)dx.
Esta integral impro´pria pode na˜o convergir. Consequentemente,
diremos que E(X) existira´ se, e somente se,∫∞
−∞ |x|f(x)dx <∞.
Probabilidade
Esperanc¸a
Propriedades da Esperanc¸a
P1. Se X = c, onde c e´ uma constante. Enta˜o E(X) = c.
P2. Seja X uma varia´vel aleato´ria e c uma constante. Enta˜o,
E(cX) = cE(X).
P3. Sejam X e Y duas varia´veis aleato´rias quaisquer. Enta˜o,
E(X+ Y) = E(X) + E(Y).
P4. Sejam X1, . . . ,Xn, n varia´veis aleato´rias quaisquer e
c1, . . . , cn constantes. Enta˜o,
E(c1X1 + · · ·+ cnXn) = c1E(X1) + · · ·+ cnE(Xn).
P5. Sejam X e Y duas varia´veis aleato´rias independentes. Enta˜o,
E(XY) = E(X)E(Y).
Probabilidade
Variaˆncia
Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria
Definic¸a˜o: Seja X uma varia´vel aleato´ria definimos a variaˆncia de
X, denotada por Var(X) ou V(X), da seguinte maneira:
V(X) = E[(X− E(X))2].
Obs.1: A raiz quadrada positiva de V(X) e´ denominada desvio
padra˜o de X e e´ denotado por σX =
√
V(X).
Obs.2: O ca´lculo de V(X) pode ser simplificado com o aux´ılio do
seguinte resultado:
V(X) = E(X2) − [E(X)]2.
Probabilidade
Variaˆncia
Exemplo: Seja X uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o Bernoulli,
isto e´, X assume os valores 0 ou 1, com probabilidades (1− p) e p,
respectivamente. Neste caso, para o ca´lculo da variaˆncia de X
temos
E(X) = 0 · (1 − p) + 1 · p = p
e
E(X) = 02 · (1 − p) + 12 · p = p.
Assim,
V(X) = E(X2) − [E(X)]2 = p− p2 = p(1 − p).
Probabilidade
Variaˆncia
Propriedades da Variaˆncia
P1. Seja X uma varia´vel aleato´ria e c uma constante. Enta˜o,
V(X+ c) = V(X).
P2. Seja X uma varia´vel aleato´ria e c uma constante. Enta˜o,
V(cX) = c2V(X).
P3. Sejam X e Y duas varia´veis aleato´rias independentes. Enta˜o,
V(X+ Y) = V(X) + V(Y).
P4. Sejam X1, . . . ,Xn, n varia´veis aleato´rias independentes e
c1, . . . , cn constantes. Enta˜o,
V(c1X1 + · · ·+ cnXn) = c21V(X1) + · · ·+ c2nV(Xn).
P5. Seja X uma varia´vel aleato´ria e a e b constantes. Enta˜o,
V(aX+ b) = a2V(X).
Probabilidade
Variaˆncia
FIM
	Variáveis Aleatórias
	Esperança
	Variância