calculo2_a
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DisciplinaCálculo II27.073 materiais737.632 seguidores
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Resposta: dV \uf04016,8\uf070 3pol 
35. Dada a superfície z \uf03d
yx
yx
\uf02b
\uf02d
, se no ponto x \uf03d4, y \uf03d2, x e y são acrescidos de 
10
1 , qual é 
a variação aproximada de z ? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: \uf044 z \uf03d\uf02d0,01075 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 6-26
36. As dimensões de uma caixa são 10 cm , 12 cm e 15 cm . Essas medidas têm um possível 
erro de 0,02 cm . Encontre, aproximadamente, o máximo erro no cálculo do volume. 
x
y z
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Logo: \uf044V \uf040 9 3cm . 
6.4 Derivadas de Funções Compostas 
6.4.1 Regra da Cadeia para Funções de Duas Variáveis Intermediárias 
Se w\uf03d f ( x , y ) for diferenciável e x e y forem funções diferenciáveis de t , então w 
será uma função diferenciável de t e: 
 
dt
dw
\uf03d
x
w
\uf0b6
\uf0b6
dt
dx
\uf02b
y
w
\uf0b6
\uf0b6
dt
dy 
 (DIAGRAMA) 
w
t
x y
w
x
w
d
d
d
d
x y
t t
y
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 6-27
Exemplo 
37. Use a regra da Cadeia para encontrar a derivada de w \uf03d yx \uf0d7 em relação a t ao longo do 
caminho x \uf03d tcos , y \uf03d tsin . Qual é o valor da derivada em t \uf03d
2
\uf070 ? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: \uf02d1 
6.4.2 Regra da Cadeia para Funções de Três Variáveis Intermediárias 
Se w\uf03d f ( x , y , z ) for diferenciável e x , y e z forem funções diferenciáveis de t , 
então w será uma função diferenciável de t e: 
 
dt
dw
\uf03d
x
w
\uf0b6
\uf0b6
dt
dx
\uf02b
y
w
\uf0b6
\uf0b6
dt
dy
\uf02b
z
w
\uf0b6
\uf0b6
dt
dz 
 (DIAGRAMA) 
w
t
x z
w
x
w
d
d
d
d
x z
t t
z
y
w
y
d
d
y
t
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6\uf0b6
\uf0b6
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 6-28
Exemplo 
38. Encontre 
dt
dw sendo que w \uf03d x y \uf02b z , x \uf03d tcos , y \uf03d tsin e z \uf03d t . Determine o valor da 
derivada em t \uf03d0. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 2 
6.4.3 Regra da Cadeia para Duas Variáveis Independentes e Três Variáveis 
Intermediárias 
Sejam w \uf03d f ( x , y , z ), x \uf03d g ( r , s ), y \uf03d h ( r , s ) e z \uf03d k ( r , s ). Se todas as quatro 
funções forem diferenciáveis, então w terá derivadas parciais em relação a r e s , dadas pelas 
fórmulas a seguir. 
 
r
w
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d
x
w
\uf0b6
\uf0b6
r
x
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b
y
w
\uf0b6
\uf0b6
r
y
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b
z
w
\uf0b6
\uf0b6
r
z
\uf0b6
\uf0b6 
 
s
w
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d
x
w
\uf0b6
\uf0b6
s
x
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b
y
w
\uf0b6
\uf0b6
s
y
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b
z
w
\uf0b6
\uf0b6
s
z
\uf0b6
\uf0b6 
 (DIAGRAMA) 
 
w
x z
w
x
w
x z
r
z
y
w
y
y
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6\uf0b6
\uf0b6
r
r
r
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6 \uf0b6
\uf0b6
 
w
x z
w
x
w
x z
s
z
y
w
y
y
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6\uf0b6
\uf0b6
s
s
s
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6 \uf0b6
\uf0b6
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 6-29
Exemplo 
39. Expresse 
r
w
\uf0b6
\uf0b6 e 
s
w
\uf0b6
\uf0b6 em termos de r e s se: w \uf03d x \uf02b2 y \uf02b 2z , x \uf03d
s
r , y \uf03d 2r \uf02b sln , z \uf03d2 r . 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
r
w
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d
s
1
\uf02b12 r e 
s
w
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d
s
2
\uf02d 2s
r 
6.4.4 Regra da Cadeia Generalizada 
Suponha que w\uf03d f ( 1x , 2x ,\uf0bc, nx ), 1x \uf03d 1g ( 1y , 2y ,\uf0bc, my ), 2x \uf03d 2g ( 1y , 2y ,\uf0bc, my ), \uf0bc, 
nx \uf03d ng ( 1y , 2y ,\uf0bc, my ) sejam todas funções diferenciáveis, então w terá derivadas parciais 
em relação a 1y , 2y ,\uf0bc, my , dadas pelas fórmulas: 
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b\uf02b
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b\uf02b
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b\uf02b
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d
\uf0b6
\uf0b6
m
n
nmmm
n
n
n
n
y
x
x
f
y
x
x
f
y
x
x
f
y
w
y
x
x
f
y
x
x
f
y
x
x
f
y
w
y
x
x
f
y
x
x
f
y
x
x
f
y
w
\uf04c
\uf04d
\uf04c
\uf04c
2
2
1
1
22
2
22
1
12
11
2
21
1
11
 
ou 
y
w
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d
x
w
\uf0b6
\uf0b6
\uf02a
y
x
\uf0b6
\uf0b6 obs.: 
x
w
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d
x
f
\uf0b6
\uf0b6 . 
REPRESENTAÇÃO EM FORMA MATRICIAL: 
y
w
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d \uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0b6
\uf0b6
1y
w 
2y
w
\uf0b6
\uf0b6 \uf0bc \uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0b6
\uf0b6
my
w , 
x
w
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d \uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0b6
\uf0b6
1x
w 
2x
w
\uf0b6
\uf0b6 \uf0bc \uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0b6
\uf0b6
nx
w , 
y
x
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
m
nnn
m
m
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
\uf04c
\uf04d\uf04d\uf04d
\uf04c
\uf04c
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
. 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 6-30
Exemplo 
40. Dada a função w \uf03d 2x \uf02b 2y \uf02b 2z e sabendo que x = r \uf071cos \uf067sin , y \uf03d r \uf071sin \uf067sin e 
z \uf03d r \uf067cos , calcular as derivadas da função w em relação a r , \uf071 e \uf067. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
r
w
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d 2 r , 
\uf071\uf0b6
\uf0b6w
\uf03d 0 e 
\uf067\uf0b6
\uf0b6w
\uf03d 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 6-31
Exercícios: 
41. A altura de um cone circular é de h \uf03d100 pol e decresce a razão de 10 pol / seg . O raio da 
base é de r \uf03d50 pol e cresce a razão de 5 pol / seg . Com que velocidade está variando o 
volume, quando h \uf03d100 pol e r \uf03d50 pol ? 
h
r 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Portanto, o volume cresce à taxa de 26180 3pol / seg no dado instante 
42. Use a lei do gás ideal com k \uf03d10 para encontrar a taxa de variação da temperatura no 
instante em que o volume do gás é 120 3cm e o gás está sob uma pressão de 8 din / 2cm , se 
o volume cresce à taxa de 2 3cm / seg e a pressão decresce à taxa de 0,1 din / 2cm ( din , 
unidade de força) por segundo. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A temperatura cresce à taxa de 0,4 graus por segundo no dado instante. 
6.4.5 Derivadas de Funções Implícitas 
1o Caso: F(x,y) \uf03d 0 com y \uf03d f(x) 
Tendo 
y
F
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b9 0 no ponto ( x , )(xf ), pode-se obter 
x
y
\uf0b6
\uf0b6 aplicando-se a regra da cadeia 
para F ( x , y ). Então: 
x
F
\uf0b6
\uf0b6
\uf07b
1\uf03d
\uf0b6
\uf0b6
x
x
\uf02b
y
F
\uf0b6
\uf0b6
x
y
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d 0 \uf0de 
y
F
\uf0b6
\uf0b6
x
y
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d \uf02d
x
F
\uf0b6
\uf0b6 \uf0de 
x
y
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d 
y
F
x
F
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf02d
. 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 6-32
Exemplo: 
43. Encontre 
x
y
\uf0b6
\uf0b6 para 2y \uf02d 2x \uf02d xysin \uf03d 0. 
Resolução: 
 
 
 
 
Resposta: 
x
y
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d
xyxy
xyyx
cos2
cos2
\uf02d
\uf02b 
44. Dada a equação 2x \uf02b 2y \uf03d 1, encontre 
x
y
\uf0b6
\uf0b6 usando derivação por duas formas: 
a) Derivando implicitamente; 
b) Derivando através de função de uma variável. 
\uf0b7 a) F ( x , y ) \uf03d 2x \uf02b 2y \uf02d 1 
Resolução: 
 
 
 
 
 
Resposta: 
x
y
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d \uf02d
y
x 
\uf0b7 b) y \uf03d 21 x\uf02d 
Resolução: 
 
 
 
 
 
Resposta: 
x
y
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d \uf02d
y
x 
2o Caso: F(x,y,z) \uf03d 0 com z \uf03d f(x,y) 
Tendo 
z
F
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b9 0 no ponto ( x , y , ),( yxf ), podem-se obter 
x
z
\uf0b6
\uf0b6 e 
y
z
\uf0b6
\uf0b6 aplicando-se a 
regra da cadeia para F ( x , y , z ). 
\uf0b7 Em relação a x : 
x
F
\uf0b6
\uf0b6
\uf07b
1\uf03d
\uf0b6
\uf0b6
x
x
\uf02b
y
F
\uf0b6
\uf0b6
\uf07b
0\uf03d
\uf0b6
\uf0b6
x
y
\uf02b
z
F
\uf0b6
\uf0b6
x
z
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d 0 \uf0de 
x
z
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d 
z
F
x
F
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf02d
. 
\uf0b7 Em relação a y : 
x
F
\uf0b6
\uf0b6
\uf07b
0\uf03d
\uf0b6
\uf0b6
y
x
\uf02b
y
F
\uf0b6
\uf0b6
\uf07b
1\uf03d
\uf0b6
\uf0b6
y
y
\uf02b
z
F
\uf0b6
\uf0b6
y
z
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d 0 \uf0de 
y
z
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d 
z
F
y
F
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf02d
. 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 6-33
Exemplo 
45. Sabendo que z \uf03d f ( x , y ) é definida por 4x y \uf02b 3y \uf02b 3z \uf02b z \uf03d 5, determine 
x
z
\uf0b6
\uf0b6 e 
y
z
\uf0b6
\uf0b6 . 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
x
z
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d 
13
4
2
3
\uf02b
\uf02d
z
yx e 
y
z
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d 
13
3
2
24
\uf02b
\uf02b\uf02d
z
yx )(