calculo2_a
166 pág.

calculo2_a


DisciplinaCálculo II26.975 materiais737.334 seguidores
Pré-visualização22 páginas
)(
)(
2
1
(x, y)dxdy (Teorema 2) 
7.3.2 Definição: Integrais Iteradas 
\uf0b7 (i) \uf0f2 \uf0f2
b
a
xg
xg
f
)(
)(
2
1
(x, y)dydx \uf03d \uf0f2
b
a \uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf0f2 dyyxf
xg
xg
),(
)(
)(
2
1
dx 
\uf0b7 (ii) \uf0f2 \uf0f2
d
c
yh
yh
f
)(
)(
2
1
(x, y)dxdy \uf03d \uf0f2
d
c \uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf0f2 dxyxf
yh
yh
),(
)(
)(
2
1
dy 
Exercícios 
1. Seja D a região do plano xy delimitada pelos gráficos de y \uf03d x2 e y \uf03d 2x. 
Calcule \uf0f2\uf0f2
D
(x3 + 4y)dA aplicando: (a) Teorema 1; (b) Teorema 2. 
\uf0b7 (a) Teorema 1 
x
y D
\uf03d
(2,4)
y
2x\uf03dy
x2
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
3
32 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-7
\uf0b7 (b) Teorema 2 
x
y D
\uf03d
(2,4)
y
2x\uf03d
y
x
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
3
32 
2. Seja D a região delimitada pelos gráficos das equações y \uf03d x , y \uf03d 183 \uf02dx e y \uf03d 0. Se f é 
uma função contínua arbitrária em D, expresse a integral dupla \uf0f2\uf0f2
D
f (x, y)dA em termos de 
integrais iteradas utilizando apenas: (a) Teorema 1; (b) Teorema 2. 
\uf0b7 (a) Teorema 1 
x
y
2
D
\uf03d
(9,3)
y x
1
D \uf03dy 3 18x\uf02d
(6,0)
D
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-8
\uf0b7 (b) Teorema 2 
x
y
2\uf03d
(9,3)
yx
\uf03d 3
(6,0)
D
1 2yx 6\uf02b
 
Resolução: 
 
 
 
Resposta: 
3. Dada \uf0f2 \uf0f2
4
0
2
y
y 5cos x dxdy, inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante. 
x
y
\uf03dx
(2,0)
D
(2,4)
\uf03d yx
2
x
y
(2,0)
D
(2,4)
\uf03dy x 2
dxdy dydx 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 0,055 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-9
4. Calcular I \uf03d \uf0f2\uf0f2
D
y sinxy dxdy, 
onde D é o retângulo de vértices \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf070
2
,0 , \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf070
2
,1 , \uf028 \uf029\uf070,1 e \uf028 \uf029\uf070,0 . 
x
D
1 \uf070( , )
1 \uf070( , )2
0 \uf070( , )
0 \uf070( , )2
\uf070 \uf070 2
1 \uf070( , )2
1 \uf070( , )
x
y
D
10 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 1\uf02b
2
\uf070 
7.4 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 
Através de uma mudança de variáveis 
 x \uf03d x(u, v) e y \uf03d y(u, v) (1) 
uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral 
dupla sobre uma região D\u2019 do plano uv. 
U
V
\uf03dx ( , )u v
X
Y
u
v y
x
DD\u2019
x
\uf03dy ( , )u vy
 
A correspondência entre as regiões D\u2019 e D é BIJETORA, e podemos retornar de D 
para D\u2019 através da transformação inversa 
 u \uf03d u(x, y) e v \uf03d v(x, y). (2) 
Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais 
contínuas em D\u2019 e D, respectivamente, temos 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-10
 \uf0f2\uf0f2
D
f (x, y)dxdy \uf03d \uf0f2\uf0f2
'D
f (x(u, v), y(u, v))
),(
),(
vu
yx
\uf0b6
\uf0b6 dudv (3) 
onde 
),(
),(
vu
yx
\uf0b6
\uf0b6 é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por 
 
),(
),(
vu
yx
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d
v
y
u
y
v
x
u
x
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
. 
A fórmula (3) é válida se: 
\uf0b7 (i) f é contínua; 
\uf0b7 (ii) as regiões D e D\u2019 são formadas por um número finito de sub-regiões do tipo Dx ou Dy; 
\uf0b7 (iii) o jacobiano 
),(
),(
vu
yx
\uf0b6
\uf0b6 \uf0b9 0 em D\u2019 ou se anula num número finito de pontos de D\u2019. 
7.5 Coordenadas Polares 
A transformação que leva pontos (r, \uf071) do plano r\uf071 a pontos (x, y) do plano xy é dada 
por 
 x \uf03d x(r, \uf071) \uf03d rcos\uf071 e y \uf03d y(r, \uf071) \uf03d rsin\uf071 (4) 
e seu jacobiano é dado por 
 
),(
),(
\uf071\uf0b6
\uf0b6
r
yx
\uf03d
\uf071\uf071
\uf071\uf02d\uf071
cossin
sincos
r
r
\uf03d r. 
Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por: 
 \uf0f2\uf0f2
D
f (x, y)dxdy \uf03d \uf0f2\uf0f2
'D
f (rcos\uf071, rsin\uf071)rdrd\uf071. (5) 
7.5.1 Obtenção da fórmula 
Para que (4) seja bijetora, considera-se r\uf071 para os quais r e \uf071 satisfazem: 
 r \uf0b3 0 e 0 \uf0a3 \uf071 \uf03c 2\uf070 ou r \uf0b3 0 e \uf02d\uf070 \uf03c \uf071 \uf0a3 \uf070. 
Para os cálculos, pode-se considerar \uf0a3 como sendo \uf03c. 
r
\uf071
\uf03dx
x
y
DD\u2019
rcos
\uf03dy
\uf071
r
\uf071\uf044\uf02b\uf071
\uf044\uf02br r r \uf044\uf02br r
rsen
\uf071
\uf071 \uf071
\uf071\uf044\uf02b\uf071
Retângulos
 
Existe uma correspondência entre \uf044A\u2019 e \uf044A, que veremos a seguir: 
7.5.2 Área \uf044A\u2019 do retângulo em D\u2019 
 \uf044A\u2019 \uf03d \uf044r\uf0d7\uf044\uf071 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-11
7.5.3 Área \uf044A do retângulo polar em D 
x
y
D
r \uf044\uf02br r
\uf071
\uf071\uf044\uf02b\uf071
\uf044A
\uf071\uf044
\uf044r
\uf044\uf02br r
r
R
R \uf044\uf02br r\uf03d
 
Área de um setor circular: A \uf03d \uf0712
2
1 r 
\uf044A é a diferença entre dois setores circulares de mesmo ângulo \uf044\uf071 e raios R e r. 
\uf044A \uf03d \uf071\uf044\uf0d72
2
1 R \uf02d \uf071\uf044\uf0d72
2
1 r 
\uf044A \uf03d \uf028 \uf029 \uf071\uf044\uf0d7\uf02d 22
2
1 rR \uf0de R \uf03d r \uf02b \uf044r 
\uf044A \uf03d \uf028 \uf029 \uf071\uf044\uf0d7\uf02d\uf044\uf02b 22)(
2
1 rrr \uf03d \uf028 \uf029 \uf071\uf044\uf0d7\uf02d\uf044\uf02b\uf044\uf02b 222 2
2
1 rrrrr \uf03d \uf028 \uf029 \uf071\uf044\uf0d7\uf044\uf02b\uf044 22
2
1 rrr 
\uf044A \uf03d \uf028 \uf029 \uf071\uf044\uf044\uf0d7\uf044\uf02b rrr2
2
1 \uf03d \uf028 \uf029 \uf071\uf044\uf044\uf0d7\uf044\uf02b\uf02b rrrr
2
 \uf03d \uf071\uf044\uf044\uf0d7\uf02b rRr
2
 \uf0de 
2
Rrrk
\uf02b
\uf03d 
\uf044A \uf03d \uf071\uf044\uf044\uf0d7 rrk \uf03d 'Ark \uf044\uf0d7 
Setor maior ( )R
Setor menor ( )r
 
 \uf044A \uf03d 'Ark\uf044 
7.5.4 Integral dupla em D\u2019 
Assim, obtemos o jacobiano rk da fórmula (5). 
Enumerando os retângulos polares e 1 a n, tome um ponto arbitrário 
 (xk , yk) 
no k-ésimo retângulo. Este ponto pode ser representado por 
 (rk cos\uf071k , rk sin\uf071k) 
que tem representação (rk , \uf071k) referente à região correspondente em D\u2019. Assim, a soma de 
Riemann 
 \uf0e5
\uf03d
n
k
f
1
(xk , yk)\uf044Ak 
é equivalente a 
 \uf0e5
\uf03d
n
k
f
1
(rk cos\uf071k , rk sin\uf071k)rk kA'\uf044 
onde kA'\uf044 \uf03d \uf044rk\uf0d7\uf044\uf071k é a área do k-ésimo retângulo em D\u2019. 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-12
Assim, se tomarmos limite com n \uf0ae \uf0a5 com o máximo das diagonais dos n retângulos 
tendendo a zero, temos 
 
\uf0a5\uf0aen
lim \uf0e5
\uf03d
n
k
f
1
(rk cos\uf071k , rk sin\uf071k)rk kA'\uf044 
que equivale a integral 
 \uf0f2\uf0f2
'D
f (rcos\uf071, rsin\uf071)rdrd\uf071 
dada pela fórmula (5). 
Exercícios 
5. Calcular I \uf03d \uf0f2\uf0f2
D
22 yx \uf02b dxdy, sendo D o círculo de centro na origem e raio 2. 
Identificar D\u2019 em r\uf071, com correspondência ao D em xy. 
Contorno da região D: x2 \uf02b y2 \uf03d 4. 
D\u2019: 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf0a3\uf0a3
\uf070\uf0a3\uf071\uf0a3
20
20
r
 
2
2
r
D
2
2
x
y
\uf070
\uf071
D\u2019\uf071r
\uf03drx cos
\uf03dry sen\uf071
\uf071
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
3
16\uf070 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-13
6. Calcular I \uf03d \uf0f2\uf0f2
D
22 yxe \uf02b dxdy, onde D é a região do plano xy delimitada entre x2 \uf02b y2 \uf03d 4 e 
x2 \uf02b y2 \uf03d 9. 
Região D: x2 \uf02b y2 \uf0b3 4 \uf0c7 x2 \uf02b y2 \uf0a3 9 Região D\u2019: 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf0a3\uf0a3
\uf070\uf0a3\uf071\uf0a3
32
20
r
 
x
y
D
\uf071
2
r
3
D\u2019
r2
2\uf070
\uf071
3
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: \uf028 \uf029\uf070\uf02d 49 ee 
7.6 Cálculo de Volumes (Aplicações) 
Para f (x, y) \uf0b3 0, a integral 
 V \uf03d \uf0f2\uf0f2
D
f (x, y)dA (6) 
nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z \uf03d f (x, y), inferiormente 
pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D. 
Exercícios 
7. Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z \uf03d 4 \uf02d 2x2 \uf02d 2y2. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-14
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 4\uf070 u.v. 
8. Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z \uf03d 4 \uf02d x \uf02d y, 
inferiormente pela região delimitada por x \uf03d 2, x \uf03d 0, y \uf03d 0 e y \uf03d
4
1 x \uf02b
2
1 e lateralmente 
pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D. 
1
x
z
y
2
4
(2,0,2)
(2,1,1)
(0, , )1 2 7 2
1 2
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: V \uf03d 
4
15 unidades de volume. 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-15
7.7 Cálculo de Áreas de Regiões Planas 
Fazendo f (x, y) \uf03d 1, a área da região de integração D é dada por: 
 A \uf03d \uf0f2\uf0f2
D
dA (7) 
Exercício 
9. Calcular a área da região D delimitada por x \uf03d y2 \uf02b 1 e x \uf02b y \uf03d 3. Calcular pelas duas 
formas: 
a) Dx (Teorema 1) 
b) Dy (Teorema 2) 
 Por