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DisciplinaCálculo II24.846 materiais711.563 seguidores
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(7), A \uf03d \uf0f2\uf0f2
D
dA 
x
y
2
5
3
1
\uf02d1
\uf02d2
32 41
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
2
9 u.a. (unidades de área) 
7.8 Integrais Triplas 
Definição 
Seja w \uf03d f (x, y, z) uma função definida e contínua numa região fechada e limitada T 
do espaço. Subdividimos T em pequenas sub-regiões traçando planos paralelos aos planos 
coordenados. 
x
z
y
( , , )x y zk k k
T
 
Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 até n. Em cada um dos pequenos 
paralelepípedos Tk, escolhemos um ponto arbitrário (xk, yk, zk). 
Formamos a soma \uf0e5
\uf03d
n
k
f
1
(xk, yk, zk)\uf044Vk, onde \uf044Vk é o volume do paralelepípedo Tk. 
Faz-se isso de maneira arbitraria, mas de tal forma que a maior aresta dos 
paralelepípedos Tk tende a zero quando n \uf0ae \uf0a5. 
Se existir 
\uf0a5\uf0aen
lim \uf0e5
\uf03d
n
k
f
1
(xk, yk, zk)\uf044Vk, ele é chamado: 
INTEGRAL TRIPLA da função f (x, y, z) sobre a região T e representamos por 
 \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
f (x, y, z)dV ou \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
f (x, y, z)dxdydz 
Propriedades 
De forma análoga a integrais duplas, temos: 
\uf0b7 1. \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
kf dV \uf03d k \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
f dV; 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-17
\uf0b7 2. \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
( f1 \uf0b1 f2)dV \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
f1 dV \uf0b1 \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
f2 dV; 
\uf0b7 3. \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
f dV \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2
1T
f dV \uf02b \uf0f2\uf0f2\uf0f2
2T
f dV, onde T \uf03d T1 \uf0c8 T2, como mostra a figura a seguir. 
T
T2T1
 
7.9 Cálculo de Integrais Triplas 
Através das três situações seguintes, o cálculo da integral tripla será reduzido, 
inicialmente, a resolução de uma integral dupla. 
Serão apresentados três casos: (i), (ii) e (iii). 
\uf0b7 (i) Domínio D: 
x
z
y
( , )x y1z\uf03d h
( , )x y2z\uf03d h
T
D
 
\uf0b7 (ii) Domínio D\u2019: 
x
z
y
( , )x z1\uf03d p
( , )x z2\uf03d p
TD
y
y
 
\uf0b7 (iii) Domínio D\u201d: 
x
z
y
( , )y z2x\uf03dq
T
D
( , )y z1x\uf03d q
 
\uf0b7 (i) A região T é delimitada inferiormente pelo gráfico z \uf03d h1(x, y) e superiormente pelo 
gráfico z \uf03d h2(x, y), onde h1 e h2 são funções contínuas sobre a região D do plano xy. 
 \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
f (x, y, z)dV \uf03d \uf0f2\uf0f2
D
\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf0f2
),(
),(
2
1
),,(
yxh
yxh
dzzyxf dxdy (8) 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-18
Logo, se, por exemplo, a região D for do tipo Dx: 
 D:
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf0a3\uf0a3
\uf0a3\uf0a3
bxa
xgyxg )()( 21 
a integral tripla será dada pela seguinte integral iterada tripla: 
 \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
f (x, y, z)dV \uf03d \uf0f2 \uf0f2 \uf0f2
b
a
xg
xg
yxh
yxh
f
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
(x, y, z)dzdydx. 
\uf0b7 (ii) A região T é delimitada à esquerda por y \uf03d p1(x, z) e a direita por y \uf03d p2(x, z), onde p1 e 
p2 são funções contínuas sobre a região D\u2019 do plano xz. 
 \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
f (x, y, z)dV \uf03d \uf0f2\uf0f2
'D
\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf0f2
),(
),(
2
1
),,(
zxp
zxp
dyzyxf dxdz (9) 
\uf0b7 (ii) A região T é delimitada na parte de traz por x \uf03d q1(y, z) e na frente por x \uf03d q2(y, z), 
onde q1 e q2 são funções contínuas sobre a região D\u201d do plano yz. 
 \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
f (x, y, z)dV \uf03d \uf0f2\uf0f2
"D
\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf0f2
),(
),(
2
1
),,(
zyq
zyq
dxzyxf dydz (10) 
Exercícios 
10. Calcular I \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
x dV, onde T é o sólido delimitado pelo cilindro x2 \uf02b y2 \uf03d 25, 
pelo x \uf02b y \uf02b z \uf03d 8 e pelo plano xy. 
x
z
y
z\uf03d8\uf02d \uf02dx y
T
D 5
z\uf03d0
D
5
y
x
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-19
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: I \uf03d \uf02d
4
625
\uf070 
11. Calcular I \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
y dV, onde T é a região delimitada pelos planos coordenados e pelo plano 
3
x \uf02b 
2
y \uf02b z \uf03d 1. 
T é o tetraedro representado a seguir: 
x
z
y
z\uf03d 1
T
D
2
z\uf03d 0
D
y
x
3
1
x
3
y
2\uf02d \uf02d 2
3
 
Neste caso, T se enquadra em qualquer um dos casos: (i), (ii) ou (iii). No desenho, é 
sugerida a utilização de (i). 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: I \uf03d
2
1 
7.10 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas 
Seja I dada por (10): 
 I \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
f (x, y, z)dxdydz (10) 
Induzindo novas variáveis de integração u, v, w com x \uf03d x(u, v, w), y \uf03d y(u, v, w) e 
z \uf03d z(u, v, w), a integral (10) fica: 
 I \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2
'T
f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))
),,(
),,(
wvu
zyx
\uf0b6
\uf0b6 dudvdw (11) 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-20
onde T\u2019 é a correspondente região no espaço u, v, w e 
),,(
),,(
wvu
zyx
\uf0b6
\uf0b6 é o determinante jacobiano 
de x, y e z em relação a u, v e w. 
7.11 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas 
A relação entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas é dada pelas equações: 
x \uf03d rcos\uf071 y \uf03d rsin\uf071 z \uf03d z 
 
x
z
y
P
r\uf071
( , , )x y z
 
O jacobiano de x, y, z em relação às novas variáveis r, \uf071 e z é: 
 
),,(
),,(
zr
zyx
\uf071\uf0b6
\uf0b6
\uf03d
100
0cossin
0sincos
\uf071\uf071
\uf071\uf02d\uf071
r
r
\uf03d r 
Assim, usando (11), vem: 
 \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
f (x, y, z)dV \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2
'T
f ( rcos\uf071, rsin\uf071, z)rdrd\uf071dz (12) 
onde T\u2019 é a região T descrita em coordenadas cilíndricas. 
Exercício 
12. Calcular I \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
(x2 \uf02b y2)dV, onde T é a região delimitada pelo plano xy, pelo parabolóide 
z \uf03d x2 \uf02b y2 e pelo cilindro x2 \uf02b y2 \uf03d a2. 
a
a2
a
a2
D
T
z
z \uf03d0 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-21
A região T é limitada inferiormente por z \uf03d 0 e superiormente por z \uf03d x2 \uf02b y2 que, em 
coordenadas cilíndricas, tem equação z \uf03d r2. 
Observação: Levando-se em conta que a região T se enquadra no caso (i), pode-se 
escrever a equação (12) representada pela (13). 
 \uf0f2\uf0f2
'D
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0f2
\uf071
\uf071
),(
),(
2
1
rh
rh
f ( rcos\uf071, rsin\uf071, z)dz \uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
rdrd\uf071 (13) 
\uf0b7 Onde h1 e h2 delimitam T inferior e superiormente. 
\uf0b7 D\u2019 é a projeção de T sobre o plano xy descrita em coordenadas polares. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: I \uf03d
3
6\uf070a 
7.12 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas 
A relação entre as coordenadas esféricas e cartesianas é desenvolvida da seguinte 
forma, conforme figura a seguir: 
x
y
r
r
z
\uf071
\uf066
\uf03d r sen\uf071y
\uf066
\uf071
\uf066
\uf072
\uf072
P( , , )\uf072 \uf066 \uf071 \uf072
\uf066
\uf072
r
z
x\uf03d r cos\uf071 \uf03d cos
\uf03dr sen\uf072
\uf066
\uf066
z \uf072
 
 x \uf03d \uf072sen\uf066cos\uf071 
 y \uf03d \uf072sen\uf066sen\uf071 
 z \uf03d \uf072cos\uf066 
O jacobiano de x, y, z em relação às novas variáveis r, \uf071 e \uf066 é: 
 
),,(
),,(
\uf066\uf071\uf072\uf0b6
\uf0b6 zyx
\uf03d
\uf066\uf072\uf02d\uf066
\uf071\uf066\uf072\uf071\uf066\uf072\uf071\uf066
\uf071\uf066\uf072\uf071\uf066\uf072\uf02d\uf071\uf066
sin0cos
sincoscossinsinsin
coscossinsincossin
\uf03d \uf0722sin\uf066 
Assim, usando (11), vem: 
 \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
f (x, y, z)dV \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2
'T
f (\uf072sen\uf066cos\uf071, \uf072sen\uf066sen\uf071, \uf072cos\uf066)\uf0722sin\uf066d\uf072d\uf071d\uf066 
onde T\u2019 é a região de integração T descrita em coordenadas esféricas. 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-22
Exercício 
13. Calcular I \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2
T
zdV, onde T é a região limitada superiormente pela esfera x2 \uf02b y2 \uf02b z2 \uf03d16 
e inferiormente pelo cone 22 yxz \uf02b\uf03d . 
\uf072Esféra \uf03d 4
Cone \uf03d 4
\uf066 \uf070
T
D
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: I \uf03d 32\uf070 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-23
7.13 Aplicações Físicas da Integral Dupla 
Usando as integrais duplas, podemos encontrar a massa, o centro de massa e o 
momento de inércia de uma lâmina plana não homogênea, com a forma de uma região R e 
com densidade de área em um ponto (x, y) de R dada pela função contínua \uf072 \uf03d \uf072(x, y). 
A massa total da lâmina é definida por: 
 M \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf072
R
dAyx ),( 
Além disso, o momento de massa em relação ao eixo x é dado por: 
 Mx \uf03d \uf0f2\uf0f2 \uf072
R
dAyxy ),( 
Analogamente, o momento de massa em relação ao eixo y é dado por: 
 My \uf03d \uf0f2\uf0f2 \uf072
R
dAyxx ),( 
O centro de massa, denotado por ),( yx é definido por: 
 
M
M
x y\uf03d e 
M
My x\uf03d 
O momento de inércia em relação ao eixo x é: 
 Ix \uf03d \uf0f2\uf0f2 \uf072
R
dAyxy ),(2 
O momento de inércia em relação