calculo2_a
166 pág.

calculo2_a


DisciplinaCálculo II27.103 materiais738.493 seguidores
Pré-visualização22 páginas
ao eixo y é: 
 Iy \uf03d \uf0f2\uf0f2 \uf072
R
dAyxx ),(2 
O momento de inércia polar é: 
 I0 \uf03d \uf0f2\uf0f2 \uf072\uf02b
R
dAyxyx ),()( 22 
Observação 
Os valores y2, x2 e (x2 \uf02b y2) que aparecem nestas expressões são as \u201cdistâncias ao 
quadrado\u201d, como mostra a figura a seguir: 
y
x
y
xk
k
Pk
 
No retângulo genérico Rk, temos o ponto (xk, yk) \uf0ce Rk, e: 
2
kx é o quadrado da distância de Pk ao eixo y. 
2
ky é o quadrado da distância de Pk ao eixo x. 
22
kk yx \uf02b é o quadrado da distância de Pk a origem. 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-24
Exercícios 
14. Determinar o centro de massa da chapa homogênea da figura abaixo. 
y
xa
R
a\uf02d
2
a
a
3a
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-25
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: ),( yx \uf03d \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
15
19,0 a 
15. Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos y da chapa da figura a seguir, 
sabendo que a densidade de massa é igual a xy Kg/m2. 
y
x
2
4
y
R
\uf03d x
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 102,4 Kg/m2 
7.14 Aplicações Físicas da Integral Tripla 
De maneira análoga ao que foi feito com as integrais duplas, vamos analisar o uso das 
integrais triplas para calcular a massa de um corpo, as coordenadas do seu centro de massa e o 
momento de inércia em relação a um eixo L. 
Seja T um corpo ou sólido delimitado por uma região fechada e limitada do espaço. 
Suponhamos que a densidade de massa por unidade de volume, em relação a um ponto 
(x, y, z), é dado pela função \uf064 \uf03d \uf064(x, y, z), contínua em T. 
A massa total do corpo é dada por: 
 M \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2\uf064
T
dVzyx ),,( 
O momento de massa em relação ao plano xy do sólido T é dado por: 
 Mxy \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2 \uf064
T
dVzyxz ),,( 
Analogamente, o momento de massa em relação aos planos xz e yz são dados por: 
 Mxz \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2 \uf064
T
dVzyxy ),,( e Myz \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2 \uf064
T
dVzyxx ),,( 
Obtemos assim o centro de massa do sólido T, denotado por ),,( zyx definido por: 
 
M
M
x yz\uf03d , 
M
My xz\uf03d e 
M
M
z xy\uf03d 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-26
Outro conceito importante é o de momento de inércia em relação a um eixo L. No caso 
de sólidos, temos que a distância de uma partícula, com massa concentrada em (xk, yk, zk), até 
os eixos coordenados é dada por: 
\uf0b7 Eixo z: 22 kkxy yxd \uf02b\uf03d ; 
\uf0b7 Eixo y: 22 kkxz zxd \uf02b\uf03d ; 
\uf0b7 Eixo x: 22 kkyz zyd \uf02b\uf03d . 
O momento de inércia em relação ao eixo z é: 
 Iz \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2 \uf064\uf02b
T
dVzyxyx ),,()( 22 
O momento de inércia em relação ao eixo x é: 
 Ix \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2 \uf064\uf02b
T
dVzyxzy ),,()( 22 
O momento de inércia em relação ao eixo x é: 
 Iy \uf03d \uf0f2\uf0f2\uf0f2 \uf064\uf02b
T
dVzyxzx ),,()( 22 
Exercícios 
16. Calcular a massa e o centro de massa do sólido T, delimitado por 2x \uf02b y \uf02b z \uf03d 1 e os 
planos coordenados, sabendo que a densidade de massa em P(x, y, z) é proporcional a 
distância até o plano xy. 
1
1 2x
z
P
y1
y
x
z
T
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-27
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: M \uf03d 
48
k unidades de massa. Centro de massa: \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
15
6,
5
1,
10
1 
17. Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelo cilindro 
x2 \uf02b y2 \uf03d 9 e pelos planos z \uf03d 2 e z \uf03d 4, sabendo que a densidade de massa é igual a 
(x2 \uf02b y2) kg/m3. 
x
z
y
T4
2
3
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 486\uf070 kg\uf0d7m2 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-28
7.15 Exercícios 
18. Calcular a integral I \uf03d \uf0f2 \uf0f2 \uf02d
1
0
4
4
2
x
y dydxe . 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: I \uf03d \uf028 \uf029161
8
1 \uf02d\uf02d e 
19. Calcular I \uf03d \uf028 \uf029\uf0f2\uf0f2
D
dAyxy sin onde D é a região delimitada por x \uf03d 0, y \uf03d 
2
\uf070 e x \uf03d y . 
y
x
D
2
\uf070
2
\uf070
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-29
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: I \uf03d
2
2\uf02d\uf070 
20. Calcular I \uf03d \uf0f2\uf0f2
D
dAxy onde D é o triângulo OAB da figura a seguir. 
1
2
0 1 2 x
y
A
B
D
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-30
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: I \uf03d
8
13 
21. Usando coordenadas polares, escrever na forma de uma integral iterada, 
a integral I \uf03d \uf0f2\uf0f2
D
dxdyyxf ),( onde D é a região delimitada por x2 \uf02b y2 \uf02d ay \uf03d 0, a \uf03e 0. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: I \uf03d \uf0f2 \uf0f2
\uf070 \uf071
\uf071\uf071\uf071
0
sin
0
)sin,cos(
a
drdrrrf 
22. Calcular I \uf03d \uf0f2\uf0f2
D
dxdyy , sendo D a região delimitada por x2 \uf02b y2 \uf02d ax \uf03d 0, a \uf03e 0. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: I \uf03d 0 
23. Calcular I \uf03d \uf0f2\uf0f2 \uf02b
D
dxdyyx 22 , sendo D a região limitada pelas curvas: 
xyx 222 \uf03d\uf02b , xyx 422 \uf03d\uf02b , xy \uf03d e xy
3
3
\uf03d . 
1 2 x
y
D
3 4
6
\uf070 4
\uf070
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-32
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: \uf028 \uf02911210
9
7
\uf02d\uf03dI 
24. Calcular \uf0f2\uf0f2 \uf02d\uf03d
D
dxdyyxI )( , sendo D o paralelogramo limitado pelas retas: 
x \uf02d y \uf03d 0, x \uf02d y \uf03d 1, y \uf03d 2x e y \uf03d 2x \uf02d 4. 
y
x
4
2 4
\uf02d1
\uf02d2
D
2
3
y \uf03d 2x y\uf03d 2x\uf02d 4
y\uf03d 0x\uf02d
y\uf03d 1x\uf02d 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-33
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: I \uf03d 2 
25. Calcular \uf028 \uf029\uf0f2\uf0f2 \uf02d\uf02b\uf02d\uf03d
D
dxdyyxI 22 )2()2( , onde D é a região delimitada pela circunferência 
(x \uf02d 2)2 \uf02b (y \uf02d 2)2 \uf03d 4. 
Obs.: Aconselha-se o uso de duas transformações: 
1a: u \uf03d x \uf02d 2 e v \uf03d y \uf02d 2; 2a: coordenadas polares. 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-34
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: I \uf03d 8\uf070 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-35
26. Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado por y \uf02b z \uf03d 2 e pelo cilindro 
que contorna a região delimitada por y \uf03d x2 e x \uf03d y2. 
x1
1
yz
x
2
1
1
1
y
x
y\uf03dx
y\uf03d 2
Região D
Sólido
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: V \uf03d 
60
31 unidades de volume 
27. Calcular o volume do sólido abaixo do plano xy delimitado por z \uf03d x2 \uf02b y2 \uf02d 9. 
y
x
4
z
\uf02d9
3
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-36
 
 
 
 
 
 
Resposta: V \uf03d 
2
81
\uf070 
28. Calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros x2 \uf02b y2 \uf03d 16 e 
x2 \uf02b z2 \uf03d 16. 
y
x
z
4
44
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: V \uf03d 
3
128 unidades de volume 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-37
29. Calcular o volume do tetraedro dado na figura abaixo. 
y
x
z
3
1
2
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: V \uf03d 1 unidade de volume 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 7-38
30. Calcule a área da região delimitada por y \uf03d x3, y \uf03d \uf02dx e 
3
20
3
2
\uf02b\uf03d xy . 
4
2 x
y
D
8
-4
y\uf03d \uf02dx
y\uf03d x23 \uf02b
20
3
y\uf03d x 3
 
Resolução: