calculo2_a
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reta x \uf03d 1 (coordenadas cartesianas) e pelo eixo polar. 
Dica para a resolução: Considere 1A (\uf071) como sendo a área da região composta pelo 
triângulo OMP, dado na figura abaixo. 
tg\uf072\uf03d \uf071
O
2
\uf070
3
\uf070
4
\uf070
\uf070
3
\uf0702
4
\uf0703
6
\uf0705
6
\uf0707
4
\uf0705
3
\uf0704
3
\uf0705
4
\uf0707
6
\uf07011
2
\uf0703
\uf070
0
21 x
x\uf03d1Reta:
\uf070
6
x
\uf03d\uf071
tg\uf072\uf03d \uf071
3
\uf070
O 1M3
P3
cos\uf071\uf072
sen \uf071\uf072
4
\uf070
x
\uf03d\uf071
tg\uf072\uf03d \uf071
O 1M2
P2
sen \uf071\uf072
cos\uf071\uf072
\uf070
6
x
\uf03d\uf071
tg\uf072\uf03d \uf071
O 1M1
P1
cos\uf071\uf072
sen \uf071\uf072
 
Resolução: 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 2-20
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
4
\uf070 u.a. 
2.5 Volume de Sólido Obtido pela Rotação de um Conjunto 
Em coordenadas cartesianas já foi estudado o volume a seguir: 
 V \uf03d \uf05b \uf05d\uf0f2\uf070
b
a
dxxf 2)( 
a
x
f x( )y
b 
Vamos tomá-lo como base e fazer o equivalente para coordenadas polares. 
2.5.1 Volume em Coordenadas Polares 
O volume do sólido formado pela rotação da curva \uf072 \uf03d )(\uf071f , definida no intervalo 
[\uf061,\uf062], pode ser dado através das funções paramétricas: 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf071\uf072\uf03d
\uf071\uf072\uf03d
sin
cos
y
x
, com \uf061 \uf0a3 \uf071 \uf0a3 \uf062. 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 2-21
 V \uf03d \uf0f2\uf070
b
a
dxy2 \uf03d \uf0f2
\uf062
\uf061
\uf071\uf072\uf070 dx22 sin 
mas, 
 dx \uf03d (\uf072\u2019 \uf071cos \uf02d\uf072 \uf071sin ) \uf071d 
então: 
 V \uf03d \uf0f2
\uf062
\uf061
\uf071\uf072\uf070 22 sin (\uf072\u2019 \uf071cos \uf02d\uf072 \uf071sin ) \uf071d . 
Exemplo 
12. Calcular o volume do sólido formado pela rotação em torno do eixo polar, da cardióide de 
equação \uf072 \uf03d 2\uf0d7(1 \uf02b \uf071cos ). 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: V \uf03d
3
64\uf070 u.v. 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 2-22
2.5.2 Fórmula do Volume Simplificada 
Rotação em torno da reta cuja direção é dada por: 
\uf0b7 \uf071 \uf03d 0 (eixo Ox ): 
 V \uf03d \uf0f2
\uf062
\uf061
\uf071\uf071\uf072
\uf070 dsin
3
2 3 . 
\uf0b7 \uf071 \uf03d
2
\uf070 : 
 V \uf03d \uf0f2
\uf062
\uf061
\uf071\uf071\uf072
\uf070 dcos
3
2 3 . 
13. Refazer o exemplo anterior, \uf072 \uf03d 2\uf0d7(1 \uf02b \uf071cos ). 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: V \uf03d
3
64\uf070 u.v. 
2.6 Diferencial do Comprimento de Arco 
Como foi feito para o volume, tomaremos como base as coordenadas cartesianas para 
desenvolver o diferencial do comprimento de arco em coordenadas polares. 
xO
y
\uf044y\uf044s
dy
dx
ds
 
 2)(ds \uf03d 2)(dx \uf02b 2)(dy \uf0de ds \uf03d 22 )()( dydx \uf02b 
Em relação a y \uf03d f(x): \uf0de ds \uf03d dx
dx
dy
dx
dx 22
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6\uf02b\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf0de ds \uf03d dx
dx
dy 21 \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6\uf02b 
Em relação a x \uf03d g(y): \uf0de ds \uf03d dy
dy
dy
dy
dx
22
\uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02b\uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf0de ds \uf03d dy
dy
dx
2
1 \uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02b 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 2-23
Mas o que queremos desenvolver é para coordenadas polares: 
Em relação a \uf072 \uf03d f(\uf071): \uf0de ds \uf03d \uf071\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf071
\uf02b\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf071
d
d
dy
d
dx 22 
Mas 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf071\uf072\uf03d
\uf071\uf072\uf03d
sin
cos
y
x
, então: 
\uf071d
dx
\uf03d 
\uf071
\uf072
d
d
\uf071cos \uf02d\uf072 \uf071sin e 
\uf071d
dy
\uf03d 
\uf071
\uf072
d
d
\uf071sin \uf02b\uf072 \uf071cos 
I \uf0de 
2
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf071d
dx
\uf03d 
2
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf071
\uf072
d
d
\uf0712cos \uf02d2
\uf071
\uf072
d
d
\uf071cos \uf0d7\uf072 \uf071sin \uf02b\uf0722 \uf0712sin 
II \uf0de 
2
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf071d
dy
\uf03d 
2
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf071
\uf072
d
d
\uf0712sin \uf02b2
\uf071
\uf072
d
d
\uf071sin \uf0d7\uf072 \uf071cos \uf02b\uf0722 \uf0712cos 
Somando I com II: 
I\uf02bII \uf0de 
2
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf071d
dx
\uf02b
2
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf071d
dy
\uf03d
2
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf071
\uf072
d
d
\uf02b \uf0722 já que \uf0712sin \uf02b \uf0712cos \uf03d1. 
Logo: 
 ds \uf03d \uf071\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf071
\uf072
\uf02b\uf072 d
d
d 22 ou ds \uf03d \uf071\uf072\uf02b\uf072 d22 )'( 
Com este desenvolvimento, podemos calcular o comprimento de um arco e também a 
área da superfície de sólidos de revolução, tomando como base os estudos em coordenadas 
cartesianas, adaptando para coordenadas polares. 
2.6.1 Comprimento de Arco 
Se 
\uf071
\uf072
d
d for contínua em [\uf061,\uf062], então o comprimento da curva \uf072 \uf03d )(\uf071f , com \uf061 \uf0a3 \uf071 \uf0a3 \uf062, 
é dado por: 
 L \uf03d \uf0f2
\uf062
\uf061
ds \uf03d \uf0f2
\uf062
\uf061
\uf071\uf072\uf02b\uf072 d22 )'( 
Como uma variação do comprimento de arco, vamos definir também a função 
comprimento de arco em coordenadas polares. 
Definição 
Tome a função \uf072 \uf03d )(\uf071f , com \uf061 \uf0a3 \uf071 \uf0a3 \uf062 e seja )(\uf071s a distância ao longo da curva 
)(\uf071f do ponto inicial P0(\uf061 , f(\uf061)) ao ponto P(\uf071 , )(\uf071f ). Então s é uma função, chamada 
função comprimento de arco e é dada por: 
 )(\uf071s \uf03d \uf0f2
\uf071
\uf061
\uf02b\uf072 dttf 22 )]('[ 
A mudança da variável de integração para t tem como objetivo não dar dois 
significados para a variável \uf071. 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 2-24
2.7 Área da Superfície de Sólidos de Revolução 
Uma superfície de revolução é formada quando uma curva é girada ao redor de uma 
reta. Tal superfície é a fronteira lateral de um sólido de revolução. 
Queremos definir a área da superfície de revolução de tal maneira que ela corresponda 
a nossa intuição. Podemos pensar em descascar uma camada externa muito fina do sólido de 
revolução e torna-la plana de modo que possamos medir sua área. Ou, se a área da superfície 
for A, podemos pensar que para pintar a superfície seria necessário a mesma quantidade de 
tinta que para pintar uma região plana com área A. 
2.7.1 Dedução da Fórmula Cartesiana 
Vamos tomar como superfície aproximadora do sólido de revolução, faixas. Cada qual 
formada pela rotação de um segmento de reta ao redor de um eixo. Para encontrar a área da 
superfície cada uma dessas faixas pode ser considerada como uma porção de um cone circular 
(tronco de cone regular), como mostra a figura seguinte, com geratriz g e raios superior e 
inferior r1 e r2 respectivamente, é calculada pela subtração das áreas laterais dos dois cones: 
V
\uf061
\uf062
1h
2h
O
r
O
r1
2
g
h
 
\uf070C 2 r
g
superfície lateral
base
r
r1
2
2
\uf070C 2 r1
B
base b
2
1
 
A área lateral do tronco de cone ( lA ) é igual à área do trapézio de altura g, base menor 
1C \uf03d2\uf070 1r e base maior 2C \uf03d2\uf070 2r . 
lA \uf03d 2
g ( 1C \uf02b 2C ) \uf0de lA \uf03d 2
g (2\uf070 1r \uf02b2\uf070 2r ) \uf0de lA \uf03d\uf070g( 1r \uf02b 2r ) 
Sendo r o raio médio da faixa (tronco de cone), temos: r \uf03d 
2
21 rr \uf02b \uf0de 2r \uf03d 1r \uf02b 2r 
lA \uf03d\uf070g\uf0d7( 1r \uf02b 2r ) \uf0de lA \uf03d\uf070g\uf0d7(2r) 
Logo: 
 lA \uf03d2\uf070rg 
Estendendo o conceito de área para superfície obtida pela rotação, em torno do eixo x, 
do gráfico de uma função f, com derivada contínua e f(x) \uf0b3 0 em [a , b]. 
Vamos considerar uma partição \uf044 de [a , b] definida por: 
a \uf03d x0 \uf03c x1 \uf03c x2 \uf03c \uf0bc \uf03c xi\uf02d1 \uf03c xi \uf03c xi\uf02b1 \uf03c \uf0bc \uf03c xn\uf02d1 \uf03c xn \uf03d b. 
Desta forma, definimos n subintervalos do tipo [xi\uf02d1 , xi], onde i \uf03d 1, 2, \uf0bc, n com 
larguras \uf044xi. Tome \uf078i como sendo o valor médio de x no i-ésimo subintervalo, ou seja, 
2
1 ii
i
xx \uf02b
\uf03d\uf078 \uf02d . O segmento de reta ii PP 1\uf02d é tangente ao gráfico de f no ponto \uf028 \uf029)(, ii f \uf078\uf078 , sendo 
\uf028 \uf029 iif \uf061\uf03d\uf078 tan' . 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 2-25
Ao girar ii PP 1\uf02d ao redor do eixo x, o resultado é uma faixa (um tronco de cone) com 
geratriz g \uf03d ii PP 1\uf02d e raio médio \uf028 \uf029if \uf078 . Desta forma, a área da superfície é dada por: 
 lA \uf03d2\uf070rg \uf0de )( ilA \uf078 \uf03d2\uf070 \uf028 \uf029if \uf078 ii PP 1\uf02d 
sendo )( ilA \uf078 a área lateral do tronco de cone, raio médio \uf028 \uf029if \uf078 no subintervalo ix\uf044 . 
x
\uf03d
O
P 1i\uf02d
Pi
x 1i\uf02d xi\uf078i
\uf061i
y f ( )x
 
Então 
 ii PP 1\uf02d \uf03d
i
ix
\uf061
\uf044
cos
\uf03d i\uf061sec ix\uf044 \uf03d \uf028 \uf029\uf05b \uf05d ii xf \uf044\uf078\uf02b 2'1 
Substituindo ii PP 1\uf02d na área do tronco de cone, temos: 
 )( ilA \uf078 \uf03d2\uf070 \uf028 \uf029if \uf078 \uf028 \uf029\uf05b \uf05d ii xf \uf044\uf078\uf02b
2'1 
Se ix\uf044 for suficientemente pequeno, esta área será uma boa aproximação para a área 
da superfície gerada pela rotação da parte da função limitada entre as retas 1\uf02d\uf03d ixx e ixx \uf03d . 
Desta forma podemos tomar como aproximação completa da área da superfície de 
revolução o somatório seguinte: 
 \uf0e5
\uf03d
\uf078
n
i
ilA
1
)( 
Reconhecendo que a somatória anterior é uma soma de Riemann para a função 
)( ilA \uf078 , contínua em [a , b], tome ixx \uf044\uf03d\uf044