calculo2_a
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calculo2_a


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max e teremos: 
 \uf0e5
\uf03d
\uf0ae\uf044
\uf078
n
i
ilx
A
10
)(lim \uf03d \uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf05b \uf05d\uf0e5
\uf03d
\uf0ae\uf044
\uf044\uf078\uf02b\uf078\uf070
n
i
iiix
xff
1
2
0
'12lim \uf03d \uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf05b \uf05d\uf0f2 \uf02b\uf070
b
a
dxxfxf 2'12 
Assim, definimos a área S da superfície obtida pela rotação do gráfico de f em torno 
do eixo x por: 
 S \uf03d \uf0f2 \uf0f7\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6\uf02b\uf070
b
a
dx
dx
dyy
2
12 
Se a curva é descrita como )(ygx \uf03d , com y \uf0ce [c , d], temos a fórmula equivalente: 
 S \uf03d \uf0f2 \uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02b\uf070
b
a
dy
dy
dxx
2
12 
Considerando o diferencial do comprimento de arco ( ds ), dado anteriormente, temos: 
 ds \uf03d dx
dx
dy 21 \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6\uf02b ou ds \uf03d dy
dy
dx
2
1 \uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02b 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 2-26
Daí, temos a rotação em torno dos eixos: 
\uf0b7 Eixo x: 
 S \uf03d \uf0f2\uf070
b
a
yds2 
\uf0b7 Eixo y: 
 S \uf03d \uf0f2\uf070
b
a
xds2 
2.7.2 Área da Superfície de Sólidos de Revolução na Forma Polar 
Tome a função \uf072 \uf03d )(\uf071f , em coordenadas polares, com \uf061 \uf0a3 \uf071 \uf0a3 \uf062, de tal forma que 
\uf071
\uf072
d
d seja contínua em [\uf061,\uf062]. 
Para as coordenadas polares, faremos as adaptações feitas anteriormente. 
Temos que: 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf071\uf072\uf03d
\uf071\uf072\uf03d
sin
cos
y
x
 e ds \uf03d \uf071\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf071
\uf072
\uf02b\uf072 d
d
d 22 ou ds \uf03d \uf071\uf072\uf02b\uf072 d22 )'( . 
Então: 
Rotação em torno da reta cuja direção é dada por: 
\uf0b7 \uf071 \uf03d 0 (eixo polar) 
 S \uf03d 2\uf070 \uf0f2
\uf062
\uf061
yds\uf03d 2\uf070 \uf0f2
\uf062
\uf061
\uf071\uf072\uf02b\uf072\uf071\uf072 d22 )'(sin 
\uf0b7 \uf071 \uf03d
2
\uf070 
 S \uf03d 2\uf070 \uf0f2
\uf062
\uf061
xds \uf03d 2\uf070 \uf0f2
\uf062
\uf061
\uf071\uf072\uf02b\uf072\uf071\uf072 d22 )'(cos 
 
 
Exemplos 
14. Achar o comprimento total da cardióide de equação \uf072 \uf03d 1\uf02d \uf071cos . 
2
\uf070
3
\uf070
4
\uf070
\uf070
6
\uf070
3
\uf0702
4
\uf0703
6
\uf0705
6
\uf0707
4
\uf0705
3
\uf0704
3
\uf0705 4
\uf0707 6
\uf07011
2
\uf0703
\uf070
0
2
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 2-27
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: L \uf03d 8 u.c. 
15. Considerando a mesma equação \uf072 \uf03d 1\uf02d \uf071cos , calcular a área da superfície formada pela 
rotação em torno do eixo polar. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: S \uf03d
5
32\uf070 u.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 2-28
2.8 Exercícios 
16. Encontre a área da região no plano limitada pela cardióide )cos1(2 \uf071\uf02b\uf03dr . 
2
\uf070
3
\uf070
4
\uf070
\uf070
6
\uf070
3
\uf0702
4
\uf0703
6
\uf0705
6
\uf0707
4
\uf0705
3
\uf0704
3
\uf0705 4
\uf0707 6
\uf07011
2
\uf0703
\uf070
0
2
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: \uf070\uf03d 6A u.a. 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 2-29
17. Encontre a área dentro do laço menor do caracol 1cos2 \uf02b\uf071\uf03dr . 
2
\uf070
3
\uf070
4
\uf070
\uf070
6
\uf070
3
\uf0702
4
\uf0703
6
\uf0705
6
\uf0707
4
\uf0705
3
\uf0704
3
\uf0705 4
\uf0707 6
\uf07011
2
\uf0703
\uf070
0
2
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: \uf028 \uf029233\uf02d\uf070\uf03dA u.a. 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 2-30
18. Encontre a área da região que está dentro do círculo 1\uf03dr e fora da cardióide \uf071\uf02d\uf03d cos1r . 
2
\uf070
3
\uf070
4
\uf070
\uf070
6
\uf070
3
\uf0702
4
\uf0703
6
\uf0705
6
\uf0707
4
\uf0705
3
\uf0704
3
\uf0705 4
\uf0707 6
\uf07011
2
\uf0703
\uf070
0
2
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: ..
4
2 auA \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf070\uf02d\uf03d
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 3-1
3 Integrais Eulerianas 
3.1 Leonhard Euler 
 
Matemático suíço, que viveu entre 1707 e 1783. Euler apresentou uma valiosa 
contribuição para o uso da geometria das coordenadas no espaço tridimensional. Este 
apresentou equações gerais para três classes de superfícies (cilindros, cones, superfícies de 
revolução). Euler escreveu duas notas sobre o sistema de coordenadas polares tão perfeitas e 
sistemáticas que por vezes dá-se o nome de \u201csistema Euler\u201d. 
Ao nos referirmos a Leonhard Euler estamos falando do escritor de matemática mais 
produtivo de todos os tempos. Com 886 trabalhos publicados, a maioria deles no final de sua 
vida, quando já estava completamente cego, Euler foi tão importante não apenas para a 
matemática, mas também a física, engenharia e astronomia. Para se ter uma idéia, a Academia 
de Ciências de São Petersburgo continuou a publicar trabalhos novos de Euler por mais de 30 
anos depois da sua morte. 
Entre suas contribuições mais conhecidas na matemática moderna estão: a introdução 
da função gama, a relação entre o cálculo diferencial de Leibniz e o método das fluxões de 
Newton e a resolução de equações diferenciais com a utilização do fator integrante. 
Euler foi o primeiro a tratar seno e cosseno como funções. Devemos a ele as notações 
f(x) para uma função, e para a base do logaritmo natural, i para a raiz quadrada de \uf02d1, \uf0e5 para 
a somatória, yd n para derivadas de graus elevados, entre muitas outras. 
Um acontecimento interessante: Euler foi um cristão por toda a sua vida e 
frequentemente lia a Bíblia a sua família. Uma história sobre sua religião durante sua estada 
na Rússia envolve o dito filósofo ateu Diderot. Diderot foi convidado à corte por Catarina, 
mas tornou-se inconveniente ao tentar converter todos ao ateísmo. Catarina pediu a Euler que 
ajudasse, e Euler disse a Diderot, que era ignorante em matemática, que lhe daria uma prova 
matemática da existência de Deus, se ele quisesse ouvir. Diderot disse que sim, e, conforme 
conta De Morgan, Euler se aproximou de Diderot e disse, sério, em um tom de perfeita 
convicção: \u201c x
n
bna
\uf03d
\uf02b , portanto, Deus existe\u201d. Diderot ficou sem resposta, e a corte caiu na 
gargalhada. Diderot voltou imediatamente à França. 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 3-2
3.2 Função Gama (\uf047) 
Definida pelo matemático Leonard Euler, a função gama representada por \uf047(n), é 
definida por: 
 \uf047(n) \uf03d \uf0f2
\uf0a5 \uf02d\uf02d
0
1 dxex xn 
\uf047(n) é uma função convergente quando n \uf03e 0. 
 Demonstração: Coleção Schaum (18: pág. 354) 
Para n \uf03d1: 
\uf047(1) \uf03d \uf0f2
\uf0a5 \uf02d\uf02d
0
11 dxex x \uf03d \uf0f2
\uf0a5 \uf02d
0
dxe x \uf03d \uf0f2 \uf02d\uf0a5\uf0ae
b x
b
dxe
0
lim \uf03d
b
xb e 0
1lim \uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf02d
\uf0a5\uf0ae
 \uf03d \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf0a5\uf0ae bb e
11lim \uf03d 1 
3.2.1 Fórmula de Recorrência 
 \uf047(n \uf02b1) \uf03d n \uf047(n) 
Esta expressão pode determinar \uf047(n) para todo n \uf03e 0. Em particular, se n é um número 
inteiro positivo, então: 
 \uf047(n \uf02b1) \uf03d n\uf047(n) \uf03d n! (n \uf03d1, 2, 3, \uf0bc). 
 
A função gama generaliza a função fatorial. 
Desenvolvimento 
\uf047(n \uf02b1) \uf03d \uf0f2
\uf0a5 \uf02d\uf02d\uf02b
0
11 dxex xn \uf03d \uf0f2
\uf0a5 \uf02d
0
dxex xn Integração por partes: \uf0f2\uf0f2 \uf02d\uf03d vduuvudv . 
 u \uf03d xn \uf0de du\uf03d dxnxn 1\uf02d 
 dv \uf03d dxe x\uf02d \uf0de v \uf03d xe\uf02d\uf02d . 
\uf047(n \uf02b1) \uf03d \uf0f2
\uf0a5 \uf02d
0
dxex xn \uf03d \uf0f2 \uf02d\uf0a5\uf0ae
b xn
b
dxex
0
lim \uf03d \uf0f2\uf0a5\uf0ae
b
b
udv
0
lim \uf03d \uf05b \uf05d
b
b
uv
0
lim
\uf0a5\uf0ae
\uf02d \uf0f2\uf0a5\uf0ae
b
b
vdu
0
lim 
\uf047(n \uf02b1) \uf03d
\uf034\uf033\uf034\uf032\uf031
0
0
lim
\uf0ae
\uf0a5\uf0ae \uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d
b
x
n
b e
x
\uf02b \uf0f2 \uf02d\uf02d\uf0a5\uf0ae
b xn
b
dxexn
0
1lim 
\uf047(n \uf02b1) \uf03d \uf0f2
\uf0a5 \uf02d\uf02d
0
1 dxexn xn \uf03d n\uf047(n) 
Então, por recorrência: 
\uf047(2) \uf03d1\uf0d7\uf047(1) \uf03d1\uf0d71 \uf03d 1! 
\uf047(3) \uf03d2\uf0d7\uf047(2) \uf03d2\uf0d71 \uf03d 2! 
\uf047(4) \uf03d3\uf0d7\uf047(3) \uf03d3\uf0d72\uf0d71 \uf03d 3! 
\uf04d 
\uf047(n \uf02b1) \uf03d n\uf047(n) \uf03d n\uf0d7(n \uf02d1)\uf0d7\uf0bc\uf0d73\uf0d72\uf0d71 \uf03d n! 
Logo: 
 \uf047(n \uf02b1) \uf03d n\uf047(n) \uf03d n! 
 
 
 
 
 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) 3-3
3.2.2 Função Gama para 10 \uf03c\uf03c n 
Para 0 \uf03c n \uf03c 1, obtém-se a relação dos complementos dada por: 
 \uf047(n)\uf0d7\uf047(1\uf02d n) \uf03d
\uf070
\uf070
nsin
 
n \uf03d
2
1 \uf047 \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
2
1
\uf0d7\uf047 \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
2
1 \uf03d
2sin
\uf070
\uf070 \uf03d \uf070 
 
2
2
1
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6\uf047 \uf03d \uf070 \uf0de \uf047 \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
2
1 \uf03d \uf070 . 
Então: 
\uf047 \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
2
1 \uf03d \uf070 
\uf047 \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
2
3 \uf03d \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d1
2
3
\uf047 \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
2
1 \uf03d
2
1
\uf0d7 \uf070 \uf03d
2
\uf070 
Exercício 
1. Com base no que já foi dado, determine os valores de: \uf047 \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
2
5 , \uf047 \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
2
7 e \uf047 \uf0f7