Sérgio Carvalho - Curso de Estatística e Matemática Financeira
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Sérgio Carvalho - Curso de Estatística e Matemática Financeira


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também por Æ ( )
\u23aa\u23ad
\u23aa\u23ac
\u23ab
\u23aa\u23a9
\u23aa\u23a8
\u23a7
\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212= \u2211\u2211 n
Xi
Xi
n
S
2
22 1 
 
 Isto quando estivermos trabalhando com elementos de um conjunto que 
representem toda a População! Caso contrário, ou seja, caso estejamos trabalhando 
apenas com dados de uma Amostra, as fórmulas acima se modificarão, recebendo um 
fator de correção de Bessel, que consiste apenas no acréscimo de um menos um no 
denominador. Teremos, portanto, que: 
 
 Æ ( )
1
2
2
\u2212
\u2212= \u2211
n
XX
S i ou também por Æ ( )
\u23aa\u23ad
\u23aa\u23ac
\u23ab
\u23aa\u23a9
\u23aa\u23a8
\u23a7
\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212\u2212=
\u2211\u2211 n
Xi
Xi
n
S
2
22
1
1
 
 
 Será, pois, uma destas últimas fórmulas que utilizaremos em nossa resolução, 
uma vez que a questão pediu o cálculo da variância amostral, e amostral refere-se à 
amostra! 
 Ora, qual das duas fórmulas empregar? Saibamos que qualquer das duas nos fará 
chegar ao mesmo resultado! Faremos, então, nossa escolha com base nos dados 
fornecidos pelo enunciado! Vejamos o que nos forneceu a questão: 
 
Æ ( )\u2211 \u2211 =\u2212 00,66850
2
2 XiXi 
 
 Será que essa informação se encaixa em alguma das nossas fórmulas? Sim! E 
como uma luva! Percebamos que esses dados são exatamente o que está dentro do 
colchete da equação maior. Claro! Uma vez que n=50, nossa fórmula assim: 
 
( )
\u23aa\u23ad
\u23aa\u23ac
\u23ab
\u23aa\u23a9
\u23aa\u23a8
\u23a7
\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212\u2212=
\u2211\u2211 5011
2
22 XiXi
n
S 
 
 Conhecendo o valor do colchete (668), e sabendo que (n-1)=49, teremos: 
 
Æ \u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7=
49
6682S Æ Daí: S2=13,6 
 
 
 
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 Juntando os dois resultados, teremos: 
 
 Æ Md=9,0 e S2=13,6 Æ Resposta! 
 
 
42. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos 
de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Pode-se afirmar que: 
a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. 
b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva. 
c) a distribuição amostral dos preços é simétrica. 
d) a distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com 
assimetria negativa. 
e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços. 
 
Sol.: Aqui uma questão mais fácil. Se olharmos as três primeiras opções de resposta, 
veremos que elas trazem as três situações possíveis de assimetria de um conjunto. A 
opção A fala em assimetria negativa; a B fala em assimetria positiva; enquanto que a 
opção C, em distribuição simétrica! Ora, qualquer distribuição de freqüências estará 
inserida em uma \u2013 e somente uma \u2013 destas três situações. Não existe uma quarta 
possibilidade! 
 Assim, concluímos de pronto que a resposta da questão está entre uma das três 
primeiras opções. 
 Resta-nos lembrar do seguinte: existe uma relação entre as três medidas de 
tendência central (Média, Moda e Mediana) e a situação de simetria ou assimetria de um 
conjunto. 
 As três figuras abaixo ilustram exatamente qual é esta relação. Teremos: 
 
 
Figura 01 
 
 
 
 Moda < Mediana < Média 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 02 
 
 
 
 Média < Mediana < Moda 
 
 
 
Figura 03 
 
 
 Média=Mediana=Moda 
 
 
 Traduzindo: se a média for maior que a mediana, e esta por sua vez for maior 
que moda, estaremos diante de uma distribuição assimétrica à direita, ou de assimetria 
positiva (figura 01). 
Caso a média seja menor que a mediana, e esta menor que a moda, a 
distribuição será assimétrica à esquerda, ou de assimetria negativa (figura 02). 
Por fim, se as três medidas \u2013 Média, Moda e Mediana \u2013 forem iguais, a 
distribuição será dita simétrica ou de assimetria nula. 
Em outras palavras: basta conhecermos o valor de duas medidas de tendência 
central (média e moda; ou média e mediana; ou moda e mediana) e já teremos 
condição de afirmar se o conjunto é simétrico ou se é assimétrico à direita ou à 
esquerda! 
Neste nosso caso, já sabemos pela questão anterior, que o valor da Mediana é 
Md=9,0. Pronto! Basta calcularmos a média do conjunto é chegaremos à resposta! E 
média de um rol é sempre dado por: 
 
Æ 
n
Xi
X \u2211= 
 
 Onde o numerador (\u2211Xi) é a soma dos elementos do conjunto e o denominador 
(n) é o número de elementos do conjunto. Foi dito no enunciado que \u2211Xi=490. Logo: 
 
Æ 8,9
50
490 === \u2211
n
Xi
X 
 
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 Ou seja, descobrimos que para esse conjunto a Média (9,8) é maior que a 
Mediana (9,0). Daí, caímos no caso da figura 01, de sorte que estamos diante de um 
conjunto assimétrico e de assimetria positiva! Æ Resposta! 
 
 
48. (AFRF-2002.2) Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que 
500.24)(7 1
2 =\u2212\u2211 =i ii fxx e que 
500.682.14)(7 1
4 =\u2212\u2211 =i ii fxx . 
Nessas expressões os xi representam os pontos médios das classes e x a média 
amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose 
com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é 
populacional. 
a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. 
b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. 
c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. 
d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base 
nos momentos centrados de X. 
e) A distribuição de X é normal. 
 
Sol.: Curtose é uma medida estatística que indica o grau de achatamento da curva de 
freqüências. Existem três situações de curtose de um conjunto. As seguintes: 
 
 
 CURVA LEPTOCÚRTICA 
 
 
 
 CURVA MESOCÚRTICA 
 
 
 
 CURVA PLATICÚRTICA 
 
 
 
 
 É fácil memorizar: a do meio, por exemplo, começa com meso, que significa 
meio. Logo, mesocúrtica é o mesmo curtose média; nem de mais, e nem de menos! 
 A mais achatada (em verde) parece um prato virado para baixo. Ou não? Sim! 
Daí, lembraremos: prato leva a plati, e plati leva a platicúrtica. 
 A curva azul, a mais alta de todas, nem é plati e nem é meso. Será lepto. Isso 
mesmo: leptocúrtica! 
 Como saber a situação de curtose de um conjunto? 
 Há duas maneiras. Cada maneira é uma fórmula diferente. 
 
 i) Coeficiente Percentílico de Curtose: 
( )
( )192
13
DD
QQC \u2212
\u2212= 
 
 Esta fórmula acima faz uso de quatro medidas separatrizes: o primeiro quartil 
(Q1), o terceiro quartil (Q3), o primeiro decil (D1) e o nono decil (D9). 
 
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 ii) Coeficiente Momento de Assimetria: 
( )
( ) 22
4
4
4
.
.
\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212
\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212
==
\u2211
\u2211
n
fiXPM
n
fiXPM
S
mC 
 
 Onde m4 é o momento de quarta ordem centrado na média, e S4 é o desvio-
padrão elevado à quarta potência, que é o mesmo do quadrado da variância! 
 
 Este enunciado especificou que deveríamos trabalhar com a fórmula que usa os 
momentos centrados, ou seja, o coeficiente momento! Mesmo que não tivesse dito 
nada, saberíamos que seria ela a ser utilizada, em função dos dados fornecidos pela 
questão. 
Reparemos que estes dados adicionais 500.24)(7 1
2 =\u2212\u2211 =i ii fxx e 
500.682.14)(7 1
4 =\u2212\u2211 =i ii fxx correspondem exatamente aos numeradores da nossa 
equação. Daí, teremos:
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