Sérgio Carvalho - Curso de Estatística e Matemática Financeira
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Sérgio Carvalho - Curso de Estatística e Matemática Financeira


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Æ Daí: X=12.080, Æ Resposta! 
 
 
21. (AFRF-2001) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez 
dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros 
obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? 
b) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36% 
 
Sol.: Já temos obrigação de resolver essa questão em pouco tempo, sobretudo depois 
da aula passada, em que aprendemos a utilizar uma equação para trabalhar questões 
de convenção linear! Lembrados? 
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 Aqui, mais uma vez, o enunciado pede que calculemos o valor de um elemento 
(juros) como porcentagem de um outro elemento (capital). Como artifício, adotaremos 
para esse último, que é o nosso elemento de referência, o valor cem. Daí, nossos 
dados são os seguintes: 
 
 Æ C=100,00 
 Æ i=6% ao mês 
 Æ n=6meses e 10dias 
 Æ J=? 
 
 Ora, sabemos que temos que trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade! E 
sendo o tempo quebrado em duas unidades (meses e dias, neste caso) temos que ter 
ambas na mesma unidade da taxa. Logo, diremos que 10 dias é o mesmo que um 
terço de mês. Daí: 
 
 Æ n=6 meses + (1/3) mês 
 
 Ok! Estamos prontos para aplicar a fórmula. Teremos: 
 
( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= 
 
 Onde: n é a parte inteira do tempo da operação, e K é parte quebrada! 
Daí, teremos: 
 
Æ ( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= Æ M=100.(1+0,06)6.(1+0,06x
3
1
) Æ M=144,69 
 
 Encontramos o montante da operação, mas não é isso o que está sendo 
solicitado! A questão quer os Juros. E este se calcula pela diferença entre montante e 
capital. Daí, teremos: 
 
 Æ J=M \u2013 C Æ J=144,69-100 Æ J=44,69 
 
 Como o enunciado pede os juros como porcentagem do capital, e pelo fato de 
termos adotado o capital como valendo 100, basta acrescer o símbolo de porcentagem 
aos juros. Teremos: 
 
 Æ J=44,69% do Capital Æ Resposta! 
 
 
33. (AFRF-1996) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% 
ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final 
do primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao 
final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: 
a) $ 3.250 b) $ 3.100 c) $ 3.050 d) $ 2.975 e) $ 2.750 
 
Sol.: Esta questão expressa uma das formas de apresentação da questão de 
equivalência de capitais. O entendimento é muito fácil: se eu pego uma quantia de 
dinheiro emprestada de alguém no dia de hoje, obviamente que terei que devolver no 
futuro. Logicamente que o valor a ser devolvido no futuro terá de ser maior que aquele 
que foi tomado emprestado! 
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 Daí, o raciocínio é o seguinte: as parcelas que servirão de devolução do 
empréstimo têm que ser equivalentes ao valor que foi pegue emprestado! Aqui, neste 
enunciado, empréstimo fica como sinônimo de financiamento. 
 Em suma: se eu chamar o que peguei hoje de primeira obrigação, a segunda 
obrigação recairá para a parcela (ou as parcelas) de devolução. 
 Resta fazermos o desenho da questão, e deixar prontos, de uma feita, todos os 
passos preliminares. Teremos: 
 
 10.000, 
 
 6000, 
 X 
 3000, 
 
 
 
 0 1m 2m 3m 
 (I) (II) (II) (II) 
 
 Ora, é bastante claro que se eu peguei dez mil emprestados hoje, e depois paguei 
seis mil um mês depois e mais três mil no segundo mês, é evidente que ainda não 
liquidei a minha dívida! Resta aquela parcela X, na data três meses. 
 Ainda nos passos preliminares, precisamos saber se estamos trabalhando no 
regime simples ou no composto. 
 
 
 Daí, ficou fácil, uma vez que o enunciado apresentou uma taxa nominal, qual 
seja, 120% ao ano capitalizados mensalmente. A questão ainda foi camarada e colocou 
entre parênteses que essa taxa significa regime composto. Não precisava fazer isso! Já 
era nossa obrigação saber disso. 
 Ora, se o regime é o composto, então a equivalência é a composta. E assim 
sendo, as operações de desconto que realizaremos para resolver a questão serão todas 
de desconto composto por dentro (desconto racional)! 
 Antes de mais nada, transformemos nossa taxa nominal em taxa efetiva, por 
meio do conceito de taxas proporcionais. Teremos: 
 
Æ 120% ao ano, c/ capitalização mensal = (120/12) = 10% ao mês 
 
 Agora temos taxa e tempos na mesma unidade! 
 Resta escolher uma data focal. 
 Vale o lembrete: se a equivalência é no regime composto, a escolha da data focal 
é livre! Qualquer uma serve, e a resposta é sempre a mesma. A título de sugestão, é 
bom escolher por data focal aquela que fica mais à direita do desenho! Por quê? Porque 
fazendo assim, estaremos evitando divisões! Estaremos trocando contas de dividir por 
contas de multiplicar. Particularmente, prefiro multiplicar a dividir. E vocês? 
 Nesta questão temos ainda outro motivo para escolher a data três meses como 
sendo a nossa data focal. Além de ser a data mais à direita do desenho, é também 
aquela em que está o valor X, que é por quem estamos procurando! 
 Decidido: a data focal será a data três meses. 
 Passemos ao primeiro passo efetivo de resolução, que consiste em levar para a 
data focal, uma a uma, as parcelas da primeira obrigação! 
 
1º Passo) Só temos uma parcela de primeira obrigação. É o valor do financiamento. Do 
empréstimo! Teremos: 
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 E 
 
 10.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 0 3m 
 DF 
 
 O desconto é composto e é por dentro. Daí, teremos: 
 
 Æ E=10000.(1+0,10)3 Æ E=10000x1,331 Æ E=13.310,00 
 
 Acabou o primeiro passo. Não há mais ninguém que seja primeira obrigação. 
Passemos ao segundo passo, que consiste em levar para a data focal as parcelas da 
segunda obrigação. 
 
2º Passo) Começando com a parcela de seis mil, na data um mês. Teremos: 
 
 
 
 
 
 F 
 
 
 6000, 
 
 
 
 
 
 1m 3m 
 DF 
 
 Estou certo que todos já perceberam, desde a operação anterior, que o desconto 
composto por dentro é a mesmíssima operação do juros compostos, aqui que estamos 
projetando uma parcela para uma data futura. 
 Prosseguindo, novamente usando o desconto composto racional, teremos: 
 
 Æ F=6000.(1+0,10)2 Æ F=6000x1,21 Æ F=7.260,00 
 
 
Ainda no segundo passo, trabalharemos agora com a parcela de R$3000, que 
está na data dois meses. Teremos: 
 
 
 
 
 
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 G 
 3000, 
 
 
 
 2m 3m 
 DF 
 
 Æ G=3000.(1+0,10)1 Æ G=3000x1,1
Fio
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