Sérgio Carvalho - Curso de Estatística e Matemática Financeira
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Sérgio Carvalho - Curso de Estatística e Matemática Financeira


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Esaf trabalhou com o conhecimento 
de variáveis transformadas. Dê uma olhadinha na quarta coluna da tabela acima, logo 
após a dos Pontos Médios. Que tipo de coluna é essa? Ora, trata-se de uma coluna de 
transformação da variável original. Antes dela, tínhamos os Pontos Médios referentes à 
variável original. Até que então tomando esses Pontos Médios originais, fizemos com 
eles duas operações: subtraímos de 37 e depois dividimos por 5. 
 Com isso, passamos a trabalhar com os chamados Pontos Médios Transformados, 
que já não mais se referem à variável original, mas a uma variável transformada! 
 Quando a questão já trouxer pronta essa coluna de transformação da variável, 
então a aceitaremos da forma como foi fornecida. 
 Aqui estamos em busca da Média Aritmética. 
 Já sabemos que faremos uso do método da variável transformada para 
determinação da Média. 
 Os passos desse procedimento, os quais já são nossos conhecidos, são os 
seguintes: 
1º Passo) Construir a coluna dos Pontos Médios! 
 Já foi feito pelo enunciado! 
 
2º Passo) Construir a coluna de transformação da variável. 
 Também já foi feito pela questão. 
 Caso não o tivesse sido, faríamos nós esse trabalho. E a título de sugestão, 
utilizaríamos as seguintes operações para construir essa coluna de transformação: 
 
h
PMPM o1\u2212
 
 
 Ou seja, faríamos: Ponto Médio subtraído do valor do primeiro ponto médio, e 
tudo isso dividido pela amplitude da classe. Caso a questão não tivesse trazido a coluna 
de transformação já pronta, a que seria construída por nós seria a seguinte: 
 
5
22\u2212PM
 
 
 Uma vez que 22 é o primeiro ponto médio (o da primeira classe) e 5 é a 
amplitude da classe. 
 Mas tudo bem! A questão já trouxe uma coluna de transformação, de sorte que a 
aceitaremos de pronto e sem reclamar! Repare que o Ponto Médio Transformado foi 
chamado pela questão de di. Poderia ser dado qualquer nome a esse ponto médio 
transformado! Quis a questão chamá-lo di. Tudo bem! 
 
3º Passo) Construir a coluna fi.di e descobrir qual é o somatório desta coluna. 
 Olha que beleza: a questão já fez isso! Trata-se da quinta coluna da tabela, logo 
após a coluna de transformação da variável. Teremos que \u2211fi.di=16. 
 
4º Passo) Calcular a Média da Variável Transformada di , mediante aplicação da fórmula 
abaixo: 
n
difi
di \u2211= . 
 
 Observemos que o valor do numerador já é nosso conhecido (16). E o n também 
foi dado da questão (n=100). Daí: 
16,0
100
16 ==di 
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5º Passo) Aplicar as propriedades da Média à transformação da variável e calcular a 
Média da variável original. 
 Sabemos que a média é influenciada pelas quatro operações. Daí, teremos que: 
 
diPM =\u2212
5
37
 Æ ( ) diX =\u2212
5
37
 Æ X -37=5x0,16 Æ X =0,8+37 
 
Æ X =37,8 Æ Resposta! 
 
Ou seja, essa questão já veio quase toda pronta! Questão feita para ser resolvida 
rapidamente! Próxima! 
 
11. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários 
em 1º/1/90. 
a) 35,49 anos b) 35,73 anos c) 35,91 anos d) 37,26 anos e)38,01 anos 
Sol.: Para cálculo da Mediana, usaremos aquela regra-de-três da qual tratamos na 
primeira questão de hoje! Os passos para determinação da Mediana são, pois, os 
seguintes: 
 
1º Passo) Descobrir quem é o n (número de elementos do conjunto) e calcular a fração 
(n/2). Sabemos que n=100. Logo (n/2)=50. 
 
2º Passo) Construir a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente (fac). 
Teremos: 
Classes de Idades 
(anos) 
fi fac 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
2 
11 
34 
63 
81 
93 
100 
Total n=100 
 
3º Passo) Comparar o valor da fração (n/2) com os valores da coluna da fac que 
acabamos de construir. Essa comparação se fará mediante aquela pergunta de praxe 
que já conhecemos tão bem: \u201cesta fac é maior ou igual a (n/2)?\u201d. Começaremos a 
pergunta com a fac da primeira classe. Enquanto a resposta for \u201cnão\u201d, passaremos 
para a fac da classe seguinte. Quando a resposta for \u201csim\u201d, pararemos, procuraremos 
a classe correspondente e diremos que esta será a classe mediana! 
 Teremos: 
 
Classes de Idades 
(anos) 
fi fac 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
2 
11 
34 
63 
81 
93 
100 
Æ 2 é \u2265 a 50? Não! (pra frente!) 
Æ 11 é \u2265 a 50? Não! (pra frente!) 
Æ 34 é \u2265 a 50? Não! (pra frente!) 
Æ 63 é \u2265 a 50? SIM! (achamos a 
Classe Mediana!) 
Total n=100 
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4º Passo) Preparar o desenho auxiliar para feitura da regra-de-três. Esse desenho tem 
por base a classe mediana. Na parte de cima do desenho, colocaremos os limites dessa 
classe; na parte de baixo, as freqüências acumuladas associadas a cada um desses 
limites. Teremos: 
 
 34,5 39,5 
 
 
 34 63 
 
 E agora qual é o valor que está faltando para complementar o desenho acima? 
Ora, estamos buscando a Mediana. Logo, o valor que falta é justamente a fração da 
mediana, ou seja, (n/2), que é igual a 50. Este valor (50) indica que a Mediana ocupa 
a qüinquagésima posição no conjunto! E as posições dos elementos ficam, no desenho, 
indicados na parte de baixo! Teremos, portanto, que: 
 
 34,5 39,5 
 
 
 34 63 
 
 Daí: 
 
 5 
 
 
 X 
 
 34,5 Md 39,5 
 
 
 34 50 63 
 
 16 
 
 
 29 
 
 Nossa regra-de-três será, pois, a seguinte: 
 
1629
5 X= Æ E: X=2,76 
 
 Finalmente, somando esse valor X ao limite inferior da classe, chegaremos à 
Mediana. Teremos: 
 
 Æ 34,5 + 2,76 = 37,26 Æ Resposta! 
 
 
 Ok? Vamos pensar um pouquinho...! Vejamos que as duas questões acima 
foram trabalhadas para o mesmo conjunto, no caso, a mesma distribuição de 
freqüências. Primeiro, encontramos que a Média do conjunto é X =37,8. Depois 
encontramos que a Mediana é Md=37,26. 
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 Caso a próxima questão da prova viesse a perguntar acerca da situação de 
assimetria do conjunto. Ou seja, se quisesse saber se a distribuição é simétrica ou 
assimétrica à direita (assimetria positiva) ou assimétrica à esquerda (assimetria 
negativa). Será que já teríamos condição de responder a isso? 
 Claro que sim! E sem maiores esforços. Só teríamos que nos lembrar do 
desenho de uma distribuição assimétrica à esquerda, e de uma assimétrica à direita! E 
daí, uma vez que a Média tem valor maior que a Mediana, o desenho de assimetria para 
esta situação será o seguinte: 
 
 
 
 Moda < Mediana < Média 
 
 Conclusão: esta distribuição é assimétrica à direita, ou de assimetria positiva! 
 Para responder às duas próximas questões, que são facílimas, teremos que estar 
atentos ao que nos diz o enunciado que se segue: 
 
Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal da 
empresa continua o mesmo em 1º/1/96. 
 
12. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários 
em 1º/1/96. 
a) 37,4 anos b) 39,0 anos c) 43,4 anos d) 43,8 anos e) 44,6 anos 
 
Sol.: Ora, meus amigos! Vamos dar uma breve olhada no texto que havia sobre a 
tabela das questões anteriores. Vejamos: 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS 
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA,
Fio
Fio fez um comentário
Ajuda muito obrigado!
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