Sérgio Carvalho - Curso de Estatística e Matemática Financeira
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EM 1º/1/90 
Classes de 
Idades 
(anos) 
Freqüências 
(fi) 
Pontos 
Médios 
(PM) 
diPM =\u2212
5
37
 
di.fi di2.fi di3.fi di4.fi 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
22 
27 
32 
37 
42 
47 
52 
-3 
-2 
-1 
--- 
1 
2 
3 
-6 
-18 
-23 
--- 
18 
24 
21 
18 
36 
23 
--- 
18 
48 
63 
-54 
-72 
-23 
--- 
18 
96 
189 
162 
144 
23 
--- 
18 
192 
567 
Total n=100 16 206 154 1106 
 
 Repararam na data? 
 Estávamos em 1º de janeiro de 1990! 
 Naquela data, as idades dos funcionários estava representada na tabela acima. 
 Só que agora, o enunciado propõe que estamos no dia 1º de janeiro de 1996. E 
diz ainda que o quadro de pessoal da empresa permanece o mesmo, ou seja, nenhum 
dos funcionários que trabalhava lá em 1990 saiu de lá, e ninguém mais entrou! 
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 Pois bem! O que ocorre com a idade de uma pessoa, quando se passam seis 
anos? Ora, aquela idade será somada a seis, obviamente! 
 Daí, matamos a charada: a nova situação, na data 1º/jan/1996, corresponde a 
pegarmos todos os elementos do conjunto original (idades em 1º/jan/1990) e a todos 
eles adicionarmos a constante 6. 
 E o que pede essa questão? Pede justamente o valor da nova média das idades, 
nesta nova data 1º/jan/1996. 
 Ora, havíamos calculado a Média das idades em 1990. Deu 37,8 anos. E agora? 
 Agora recordaremos a propriedade da média, que reza que se somarmos todos os 
elementos do conjunto com uma constante, a nova Média será a média original também 
somada a essa mesma constante. 
 Daí, meramente com o uso desta propriedade, diremos que nova média será: 
 
 Æ X NOVA = X ORIGINAL + 6 Æ X NOVA = 37,8 + 6 Æ X NOVA = 43,8 Æ Resposta! 
 
 Questão de resolução imediata, caso nos lembrássemos das propriedades da 
Média. Só posso dizer que, no estilo de prova da Esaf de hoje, conhecer todas as 
propriedades é algo imprescindível! 
 
13. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários 
em 1º/1/96. 
a) 35,49 anos b) 36,44 anos c) 41,49 anos d) 41,91 anos e) 43,26 anos 
 
Sol.: Esta questão é um retrato da anterior. Aquela propriedade da soma que usamos 
para a Média também se aplica, tal e qual, para a Mediana! 
 Sabemos que qualquer distribuição de freqüências pode ser representada por 
uma curva. É a dita curva de freqüências. Vejamos a curva abaixo, e suponhamos que 
ela é o retrato de um conjunto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pois bem! Se somarmos cada elemento do conjunto a uma constante, o efeito 
disso será um deslocamento na curva. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Muda, portanto, a posição da curva! Daí, Média, Moda e Mediana, que são 
Medidas de Posição, serão igualmente influenciadas pela operação de soma! 
 Conclusão: a mesma propriedade da Média da soma (e da subtração) são 
identicamente válidas para a Moda e para a Mediana. 
 Daí, como havíamos calculado a Mediana das idades para a data 1º de janeiro de 
1990 (Md=37,26), em 1º de janeiro de 1996 todas essas idades estarão somadas à 
constante 6. Logo, pela propriedade, a nova Mediana será a anterior também somada à 
mesma constante. Teremos: 
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Æ MdNOVA = MdORIGINAL + 6 Æ MdNOVA = 37,26 + 6 
 
Æ MdNOVA = 43,26 Æ Resposta! 
 
 
30. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média 
aritmética M e variância S2, onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) \u3a3i ( Xi \u2013 M )2 . 
Seja \u3b8 a proporção dessas mensurações que diferem de M, em valor absoluto, por 
pelo menos 2S. Assinale a opção correta. 
a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar \u3b8 
exatamente, mas sabe-se que 0,25 \u2265 \u3b8. 
b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar \u3b8 exatamente, na realidade 
tem-se \u3b8 = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar \u3b8 exatamente, na realidade 
tem-se \u3b8 = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar \u3b8 exatamente, na realidade 
tem-se \u3b8 = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar \u3b8 exatamente, na realidade 
tem-se \u3b8 = 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
 
Sol.: Esta é das boas! Envolve um teorema de nome complicado, mas de fácil 
compreensão. É o Teorema de Tchebichev. Quanto ao nome desse sujeito, eu não dou 
garantia absoluta de estar certa a escrita, mesmo porque já o vi escrito de três formas 
diferentes em livros por aí...! Mas, tudo bem! O importante é conhecer o Teorema e 
como ele funciona. 
 O Teorema de Tcheb (vamos chamá-lo assim, já que vamos ter mesmo que ficar 
íntimos dessa teoria...) trata acerca de uma relação entre a Média ( X ) e o Desvio-
Padrão (S) de um conjunto. Aprende-se esse Teorema de uma forma quase que 
meramente visual. Vejamos o desenho abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esta curva é representativa de uma distribuição qualquer. Certo? Daí, 
suponhamos que a Média esteja aí mais ou menos pelo meio da curva. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 X 
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 O que a questão vai fazer? Vai fornecer o valor desta Média, e vai fornecer o valor 
do Desvio-Padrão (S). 
 E vai fornecer dois limites, os quais definirão um intervalo qualquer. 
 
 Depois disso, a questão vai poder fazer uma destas duas perguntas: 
 
 1ª) Qual a proporção máxima de elementos fora deste limite? 
 ou 
 2ª) Qual a proporção mínima de elementos dentro deste limite? 
 
 Vou criar um exemplo, para entendermos melhor. 
 Suponha que eu diga que para um conjunto qualquer, o valor da média é igual a 
100 (cem) e o desvio-padrão é igual a 10 (dez). Ok? 
 Daí, eu estabeleço um intervalo, que vai de 70 a 130. 
 E pergunto: qual a proporção máxima de elementos do conjunto que está fora 
desse intervalo? 
 Desenhando a questão, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 100 130 
 
 Quem for bom observador já percebeu que esses limites (70 e 130) guardam uma 
relação entre o valor da média e o desvio-padrão do conjunto. É verdade isso? Claro. 
Atentem que de 70 a 130 nós temos ( X -3S) a ( X +3S). 
 Uma relação assim será sempre observada. Não necessariamente somando e 
subtraindo de 3S. Pode ser de 2S, ou de apenas S, ou de 1,5S, ou de 0,5S. Não 
importa! O que importa é que a distância entre a média e o limite superior desse 
intervalo será a mesma entre a média e o limite inferior. Chamando essa distância de D, 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 100 130 
 
 D D 
 
 Até aqui, tudo bem? Pois agora vem a pergunta. E pode ser qualquer uma entre 
as seguintes: 
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 1ª) Qual a proporção máxima dos elementos do conjunto fora do intervalo 70 
a 130? 
 Essa pergunta seria representada ilustrativamente assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 100 130 
 
 Repetindo: qual a proporção máxima dos elementos que estão fora dos limites do 
intervalo, ou seja, nestas duas áreas destacadas (à esquerda do 70 e à direita do 130)? 
 
 2ª) Qual a proporção
Fio
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