Sérgio Carvalho - Curso de Estatística e Matemática Financeira
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Sérgio Carvalho - Curso de Estatística e Matemática Financeira


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que nós façamos de pronto um desenho que a represente. 
Trata-se do desenho de transformação da variável. 
 Teremos: 
 
 1ª)-140 2ª)÷10 
 
 
X Z 
 
 
 2ª)+140 1ª)x10 
 
 
 Observemos que as operações do caminho de cima nos conduzem da variável 
original X para a variável transformada Z. E as operações que realizam esse trabalho 
(em azul) são aquelas presentes no próprio enunciado da questão (X-140/10). 
 Já o caminho de baixo (a volta) é aquele que nos faz retornar à variável original 
X, partindo da variável transformada Z. As operações que formam esse caminho são as 
inversas das do caminho de cima. Onde havia subtração, agora há soma; divisão, agora 
há um produto! 
 Atentem para o fato de que também a seqüência das operações do caminho de 
cima são invertidas: onde acaba lá em cima, começa aqui em baixo! Viram? 
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 Pois bem! Por que fizemos esse desenho? 
 Porque, via de regra, quando a questão nos fornece uma transformação da 
variável (nosso caso), ela irá nos dar subsídios para calcularmos alguma coisa (média, 
desvio-padrão, variância etc) referente à variável transformada! 
 Daí, calcularemos essa medida estatística para a transformada, e depois, 
seguindo o caminho de baixo, e lembrando-nos das propriedades daquela medida, 
retornaremos para o lado da variável original e chegaremos à resposta da questão! 
 É exatamente o que vai ocorrer aqui. 
 Voltemos ao dado adicional trazido pelo enunciado: 16807 1
2 =\u2211 =i ii fZ 
 Comparemos esse dado com as duas fórmulas passíveis de serem usadas: 
 
 Æ 
1
.)( 22
\u2212
\u2212= \u2211
n
fiXPM
S ou Æ ( ) \u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
\u2212=
\u2211\u2211 n
PMfi
PMfi
n
S
2
22 ...
1
1
 
 
 Pronto! Já temos condição de afirmar que a fórmula boa para essa resolução é a 
fórmula desenvolvida! A maior! Para ficar melhor de enxergar, troquemos PM (Ponto 
Médio) por Zi (que é o ponto médio da variável Z), e teremos: 
 
Æ ( ) \u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
\u2212=
\u2211\u2211 n
Zifi
Zifi
n
S
2
22 ...
1
1
 
 
 Viram? Daquele colchete, já conhecemos o valor da primeira parcela, que é igual 
a 1680. Sabemos também que para essa distribuição de freqüências, n=200, conforme 
dito na segunda linha do enunciado (...foram examinados 200 itens...). 
 Daí, até agora, substituindo os valores conhecidos na fórmula, teremos: 
 
Æ ( ) \u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
\u2212=
\u2211
200
.
1680.
1200
1
2
2 ZifiS 
 
 Em suma: só nos resta descobrir o valor do numerador da segunda parcela do 
colchete, ou seja, o valor de (\u2211fi.Zi)2. 
 Vamos trabalhar as colunas de freqüência da nossa distribuição. A coluna P(%) 
representa neste caso, conforme já é do nosso conhecimento, a freqüência relativa 
acumulada crescente (Fac). Daí, construiremos primeiro a coluna da Freqüência 
Relativa Simples (Fi) e depois a da freqüência absoluta simples (fi). 
 Esse trabalho com as colunas de freqüência é algo cujo conhecimento é 
imprescindível para nós! E estou contando que todos nós já saibamos fazer isso! O 
resultado deste trabalho será o seguinte: 
 
Classes Fac Fi Fi 
70-90 5% 5% 10 
90-110 15% 10% 20 
110-130 40% 25% 50 
130-150 70% 30% 60 
150-170 85% 15% 30 
170-190 95% 10% 20 
190-210 100% 5% 10 
 n=200 
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 Do que precisamos mesmo? Da parcela (\u2211fi.Zi)2. Ora, a coluna fi já é nossa 
conhecida! Resta, pois, encontrarmos quem é o Zi. Sabemos que Zi=(Xi-140)/10, e 
que este Xi representa o Ponto Médio da variável original. Daí, precisamos logo 
construir a coluna do Xi. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi Xi 
70-90 5% 5% 10 80 
90-110 15% 10% 20 100 
110-130 40% 25% 50 120 
130-150 70% 30% 60 140 
150-170 85% 15% 30 160 
170-190 95% 10% 20 180 
190-210 100% 5% 10 200 
 n=200 
 
 Agora, sim: nosso próximo passo é construir a coluna do Zi. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi Xi 
Zi= \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212
10
140Xi
 
70-90 5% 5% 10 80 -6 
90-110 15% 10% 20 100 -4 
110-130 40% 25% 50 120 -2 
130-150 70% 30% 60 140 0 
150-170 85% 15% 30 160 2 
170-190 95% 10% 20 180 4 
190-210 100% 5% 10 200 6 
 n=200 
 
 Voltemos agora para nosso objetivo: (\u2211fi.Zi)2. Próximo passo? Construir a coluna 
(fi.Zi), e somar seus valores. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi Xi 
Zi= \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212
10
140Xi
 
fi.Zi 
70-90 5% 5% 10 80 -6 -60 
90-110 15% 10% 20 100 -4 -80 
110-130 40% 25% 50 120 -2 -100 
130-150 70% 30% 60 140 0 0 
150-170 85% 15% 30 160 2 60 
170-190 95% 10% 20 180 4 80 
190-210 100% 5% 10 200 6 60 
 n=200 (\u2211fi.Zi)=-40 
 
 Quase lá! O que queremos? (\u2211fi.Zi)2. Daí, teremos: (-40)2=1600. Agora só 
precisamos completar a fórmula e fazer as contas. Ficaremos com: 
 
Æ ( ) \u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
\u2212=
\u2211
200
.
1680.
1200
1
2
2 ZifiSz Æ Æ \u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b=
200
16001680.
199
12Sz Æ
199
16722 =Sz 
 
 Æ E: SZ2=8,4020 
 
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 Bem que esta poderia ser nossa resposta! Só que ainda não é! Claro que não! O 
que encontramos foi a variância da variável transformada! E o que a questão pede é 
a variância da variável original. 
 É aí que entra aquele tal desenho de transformação da variável. 
 O resultado que temos até aqui (8,4020) está do lado da variável Z. Teremos: 
 
 1ª)-140 2ª)÷10 
 
 
 X Z Sz2=8,4020 
 
 
 2ª)+140 1ª)x10 
 
 Para chegarmos à variância do lado de cá, ou seja, da variável original X, teremos 
que percorrer o caminho de baixo, lembrando das propriedades da variância. 
 Variância é influenciada por produto ou divisão? Sim! Multiplicaremos (ou 
dividiremos) a variância pelo quadrado da constante! 
 Logo, se a primeira operação do caminho de baixo é uma multiplicação por dez, 
então faremos com a variância um produto pelo quadrado de dez, ou seja, 
multiplicaremos por 100 (cem). 
 Já no tocante à segunda operação do caminho de baixo, lembraremos que a 
variância não é influenciada por operações de soma ou subtração. Ou seja, a segunda 
operação (soma com 140) não será realizada! Teremos: 
 
 1ª operação) 8,4020 x 100 = 840,20 
 
 2ª operação) Não realizaremos! 
 
 Daí: Variância da Variável Original = Sx2=840,20 Æ Resposta! 
 
 
41. (AFTN-94) Indique a opção correta: 
a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é menor do 
que o coeficiente de curtose. 
b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um real no 
intervalo [-3, 3]. 
c) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a três vezes 
o quadrado da variância da distribuição. 
d) O coeficiente de curtose é igual a três em uma distribuição normal 
padrão. 
e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo. 
 
Sol.: Questão teórica! Analisemos item por item. 
 
Item a) Falso! E a razão é bem simples: não há qualquer relação entre a situação de 
assimetria e a situação de curtose de um conjunto. Só isso! 
 
Item b) Falso! Aqui o elaborador talvez tenha tentado provocar alguma confusão nos 
candidatos, com esse valor 3. Sabemos que a assimetria pode ser negativa ou positiva, 
mas não há essa limitação entre -3 e 3. Ok? 
 
Item c) Falso! Traduzindo o que este item afirma: C=3[(S2)2]=3.S4 
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 Totalmente equivocado. Sabemos que a
Fio
Fio fez um comentário
Ajuda muito obrigado!
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