Prova com Gab - 1ºEE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II
1a AVALIAC¸A˜O DE CA´LCULO 3 – 2013.1
1. Considere a curva parametrizada por
α(t) = (et/2 cos t, et/2sen t), 0 ≤ t ≤ pi
2
.
(a) (1,5) Ache ds o elemento de comprimento de arco da curva parametrizada α.
(b) (1,0) Calcule o comprimento desta curva.
(c) (1,0) Calcule ∫
α
y ds.
Soluc¸a˜o:
(a) Como ds = ‖α′(t)‖ dt, temos que
ds =
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
=
√[
(et/2 cos t)
′ ]2
+
[
(et/2sen t)
′ ]2
dt
=
√(
1
2
et/2 cos t− et/2sen t
)2
+
(
1
2
et/2 sen t+ et/2 cos t
)2
dt
=
√
1
4
et cos2 t−hhhhhhet cos t sen t+ et sen2 t+ 1
4
et sen2 t+
hhhhhhet sen t cos t+ et cos2 t dt
=
√
5
4
et (sen2 t+ cos2 t) dt,
logo,
ds =
√
5
2
et/2 dt
(b) O comprimento de α e´
L (α) =
∫
α
ds =
∫ pi/2
0
√
5
2
et/2 dt =
√
5 et/2
∣∣∣pi/2
0
,
ou seja,
L (α) =
√
5
(
epi/4 − 1)
(c) Temos que ∫
α
y ds =
∫ pi/2
0
et/2 sen t ·
√
5
2
et/2 dt =
√
5
2
∫ pi/2
0
et sen t dt.
Integrando, obtemos ∫
α
y ds =
√
5
2
· 1
2
et (sen t− cos t)
∣∣∣pi/2
0
,
e portanto
∫
α
y ds =
√
5
4
(
epi/2 + 1
)
.
2. Seja ~F o campo de vetores em R3 dado por
~F (x, y, z) = [yz cos(xz) + 1]~i+ [sen(xz) + 2]~j + [xy cos(xz) + 3]~k.
(a) (1,0) Determine um potencial para ~F .
(b) (1,0) Calcule
∫
α
~F · ~dr, onde α e´ o segmento de reta determinado pelos pontos A =
(0, 0, 1) e B = (1, 1, 1).
(c) (1,5) Calcule a integral acima, desta vez sem usar o potencial do campo ~F .
Soluc¸a˜o:
(a) Procuramos ϕ(x, y, z) tal que ∇ϕ(x, y, z) = ~F (x, y, x), ∀(x, y, z) ∈ R3. Explicitando o
sistema obtemos as equac¸o˜es:
∂ϕ
∂x
(x, y, z) = yz cos(xz) + 1
∂ϕ
∂y
(x, y, z) = sen (xz) + 2
∂ϕ
∂z
(x, y, z) = xy cos(xz) + 3
.
Integrando a segunda equac¸a˜o, obtemos ϕ(x, y, z) = y sen (xz) + 2y + g(x, z). Substituindo
na primeira equac¸a˜o, temos que
∂ϕ
∂x
(x, y, z) =
∂
∂x
[y sen (xz) + 2y + g(x, z)] = yz cos(xz) + 1
⇒ yzcos(xz) + ∂g
∂x
= yz cos(xz) + 1,
de onde conclu´ımos que ∂g
∂x
= 1, e portanto g(x, y) = x+ h(z). Assim,
ϕ(x, y, z) = y sen (xz) + 2y + h(z) + x.
Agora, substituindo-a na terceira equac¸a˜o, obtemos
∂
∂z
[y sen (xz) + 2y + h(z) + x] = xy cos(xz) + h′(z) = xy cos(xz) + 3,
de onde tiramos que h′(z) = 3 e portanto h(z) = 3z + C, com C ∈ R.
Por fim, temos como func¸a˜o potencial
ϕ(x, y, z) = y sen (xz) + x+ 2y + 3z + C
(b) Como o campo ~F e´ conservativo,∫
γA,B
~F ~dr = ϕ(B)− ϕ(A),
onde γA,B e´ qualquer curva contida no dominio de ~F , lisa por partes, que une A e B e ϕ e´
um potencial para ~F . Assim, usando o item anterior∫
γA,B
~F ~dr = ϕ(1, 1, 1)− ϕ(0, 0, 1),
que nos da´
∫
γA,B
~F ~dr = sen 1 + 3
(c) Seja γ(t) = (t, t, 1), 0 < t < 1 a parametrizac¸a˜o do segmento de reta do ponto A para o
ponto B. Como ~F (t, t, 1) = (t cos t+1)~i+(sen t+2)~j+(t2 cos t+3)~k, e como dx = dt, dy = dt
e dz = 0, segue que
∫
γA,B
Pdx+Qdy +Rdz =
∫ 1
0
(t cos t+ 1 + sen t+ 2) dt
= t sen t
∣∣∣1
0
−
HHHHHH
∫ 1
0
sen t dt+ 3 +
HHHHHH
∫ 1
0
sen t dt.
Assim
∫
γA,B
Pdx+Qdy +Rdz = sen 1 + 3.
Claramente, o resultado coincide com o anterior.
3. Considere a ciclo´ide
γ(t) = (t− sin t, 1− cost), 0 < t < 2pi.
(a) (2,0) Calcule ∫
γB,O
ydx− xdy
onde γB,O e´ o arco de ciclo´ide entre os pontos O = (0, 0) e B = (2pi, 0), percorrido de
B para O.
(b) (1,0) Mostre como podemos usar a fo´rmula de Green para calcular a´reas delimitadas por
curvas fechadas e, em seguida, calcule a a´rea da regia˜o plana limitada superiormente
pelo arco de ciclo´ide do item anterior e inferiormente pelo eixo Ox.
Soluc¸a˜o:
(a) Usando a parametrizac¸a˜o dada por γ para o caminho −γBO, temos que∫
γB,O
ydx− xdy = −
∫
γ
ydx− xdy.
Como γ(t) = (t−sen t, 1−cos t) e ~F (x, y) = (y,−x), temos que ~F (γ(t)) = (1−cos t, sen t−t)
e γ′(t) = (1− cos t, sen t), segue que∫
γB,O
ydx− xdy = −
∫ 2pi
0
~F (γ(t)) · γ′(t) dt
= −
∫ 2pi
0
(1− cos t, sen t− t) · (1− cos t, sen t)dt
= −
∫ 2pi
0
(
1− 2 cos t+ cos2 t+ sen2 t− t sen t) dt
= −
(∫ 2pi
0
2 dt− 2
∫ 2pi
0
cos t dt−
∫ 2pi
0
t sen t dt
)
Calculando estas integrais obtemos
∫
γB,O
ydx− xdy = −6pi.
(b) Se um campo continuamente diferencia´vel ~F = M~i + N~j e´ tal que Nx −My ≡ K 6= 0
com K constante e se γ e´ uma curva fechada C1 por partes tal que ela e seu interior estejam
contidas na regia˜o de definic¸a˜o deste campo, aplicando o Teorema de Green obtemos,∫
γ
Mdx+Ndy =
∫∫
Ω
KdA, onde Ω e´ a regia˜o limitada por γ.
Assim,
A´rea(Ω) =
∫∫
Ω
dA =
1
K
∫
γ
Mdx+Ndy.
x
y
BO
Ω
Na figura acima, se α e´ a curva γB,O seguida do segmento OB de O para B; usando o campo
dado y~i− x~j podemos aplicar o argumento acima a regia˜o Ω limitada pela curva fechada α.
Assim, a a´rea A da regia˜o Ω e´:
A =
1
−2
∫
α
ydx− xdy.
A integral sobre o segmento horizontal e´ trivialmente igual a 0, e a integral sobre o arco da
cicloide ja´ foi calculado, com valor −6pi. Temos enta˜o que
A =
−6pi
−2 = 3pi