Cálculo 3 UFPE - PROVA 3A UNIDADE - 2012.2 (RESOLVIDA)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3
TERCEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR. SEGUNDO SEMESTRE DE 2012
10 de Abril de 2012
1a Questa˜o: Responda e justifique.
(a) Use o teorema do confronto e encontre o limite da sequeˆncia
{
n
√
ln(n)
}∞
n=1
. (1,0 pt.)
(b) Em cada caso diga um exemplo de sequeˆncia que: (1,0 pt.)
– Seja convergente e na˜o monoto´nica,
– Seja limitada e na˜o convergente.
– Seja crescente e convergente.
Respostas:
(a) 1 < ln(n) < n ⇒ n
√
1 < n
√
ln(n) < n
√
n→ 1 ⇒ lim
n→∞
n
√
ln(n) = 1.
(b)
{
1− (−1)
n
n
}∞
n
,
{(
1
n
− 1
)n}∞
n
,
{
1− 1
n
}∞
n
.
2a Questa˜o: Em cada item abaixo, determine se a se´rie converge ou na˜o. Justifique. (3,0 pt.)
(a)
∞∑
n=2
cos(npi)n!
(2n)!
, (b)
∞∑
n=2
0,98n n111
ln(n)
, (c)
∞∑
n=1
(
1− 100
n2
)n2
.
Respostas:
(a) Pelo teste da raza˜o a se´rie e´ convergente, veja que cos(npi) = (−1)n
lim
n→∞
∣∣∣∣(−1)n+1 (n+ 1)!(2n+ 2)!
∣∣∣∣∣∣∣∣(−1)n n!(2n)!
∣∣∣∣ = limn→∞
|(−1)n| (n+ 1)n!
(2n+ 2) (2n+ 1) (2n)!
|(−1)n|n!
(2n)!
= lim
n→∞
n+ 1
4n2 + 6n+ 2
= 0 < 1.
(b) Pelo teste da ra´ız n-e´sima a se´rie e´ convergente. Veja,
lim
n→∞
n
√
|an| = lim
n→∞
n
√∣∣∣∣0,98n n111ln(n)
∣∣∣∣ = limn→∞ 0,98 ( n
√
n)111
n
√
ln(n)
=
0,98 · 1111
1
< 1.
(c) Pela condic¸a˜o necessaria de convergeˆncia a se´rie e´ divergente. Veja,
lim
n→∞
an = lim
n→∞
(
1− 100
n2
)n2
= lim
m→∞
(
1− 100
m
)m
= e−100 6= 0.
3a Questa˜o: Dada a seguinte se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
(2x+ 1)n
7
√
n
determine os valores de x para os
quais ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. (3,0 pt.)
Resposta: Pelo teste da ra´ız: lim
n→∞
n
√∣∣∣∣(2x+ 1)n7√n
∣∣∣∣ = limn→∞ n
√|2x+ 1|n
7
√
n
√
n
=
|2x+ 1|
1
– Converge absolutamente quando: |2x+ 1| < 1 ⇒ x ∈ (−1, 0)
– Diverge se |2x+ 1| > 1 ⇒
{
x ∈ (−∞,−1)
x ∈ (0,∞)
– Se x = 0:
∞∑
n=1
(0 + 1)n
7
√
n
=
∞∑
n=1
1
np
, com p = 1
7
≤ 1 temos uma conhecida se´rie
divergente.
– Se x = −1:
∞∑
n=1
(−2 + 1)n
7
√
n
=
∞∑
n=1
(−1)n
7
√
n
e´ uma se´rie alternada com bn =
1
7
√
n
.
E pelo teste para se´ries alternadas a se´rie e´ convergente,
1o. lim
n→∞
bn = lim
n→∞
1
7
√
n
= 0, 2o. 0 ≤ bn+1 < bn, pois 0 < 17√n+ 1 <
1
7
√
n
.
4a Questa˜o: (a) Encontre uma se´rie para a func¸a˜o f(x) = ex ln(pi)−1 ao redor do ponto x0 = 0
e seu intervalo de convergeˆncia. (1,5 pt.)
(b) Com a se´rie obtida encontre lim
x→0
f(x)
x
. (0,5 pt.)
Resposta: Veja que f(x) = ex ln(pi)−1, logo
n
∣∣∣ f (n)(x) f (n)(0)
0
∣∣∣ ex ln(pi)−1 0
1
∣∣∣ ln(pi)1 ex ln(pi) ln(pi)1
2
∣∣∣ ln(pi)2 ex ln(pi) ln(pi)2
...
...
...
n
∣∣∣ ln(pi)n ex ln(pi) ln(pi)n
⇒
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(0)
n!
xn =
∞∑
n=1
ln(pi)n
n!
xn
pi x − 1 = ln(pi)
1
1!
x+
ln(pi)2
2!
x2 + . . .
Usando o teste da raza˜o provamos que o raio de convergencia e´ infinito, logo a se´rie
converge absolutamente para qualquer valor de x, veja
lim
n→∞
∣∣∣∣ ln(pi)n+1 xn+1(n+ 1)!
∣∣∣∣∣∣∣∣ ln(pi)n xnn!
∣∣∣∣ = limn→∞
| ln(pi)n+1| |x|n+1
(n+ 1)n!
| ln(pi)n| |x|n
n!
= ln(pi) |x| lim
n→∞
1
n+ 1
= 0 < 1.
(b) lim
x→0
pix − 1
x
= lim
x→0
{
ln(pi)1
1!
+
ln(pi)2
2!
x+
ln(pi)3
3!
x2 + . . .
}
= ln(pi).
Durante a prova podem ser u´teis algumas das seguintes sentencias:
Desigualdades: n < n! < nn; 1 < ln(n) < n; 1 + αn < (1 + α)n; (α > 0).
lim
n→∞ :
ln(n)
n
→ 0; n√n→ 1;
(
1 +
1
n
)n
→ 2,718281 . . .
Aritme´tica: ln(x) = loge(x); a
x = ex ln(a); logb(a) = 1/loga(b).