Calculo 3 -2012.2  -Prova.Final.
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Calculo 3 -2012.2 -Prova.Final.


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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN \u2013 DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA \u2013 A´REA2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3
PROVA FINAL. SEGUNDO SEMESTRE DE 2012
22 de Abril de 2013
Nome:
Respostas sem ca´lculos ou justificativas na\u2dco sera\u2dco aceitas.
1a Questa\u2dco: Com ajuda do Teorema de Green encontre a integral de linha do campo vetorial
~F (x, y) =
(
2x y e\u2212y + 2 y, x2 (1\u2212 y) e\u2212y)
sobre a semicircunfe\u2c6rencia Cs: x
2 + y2 = 9, (y \u2264 0). (3,0 pt.)
Resposta: Como a curva na\u2dco e´ fechada vamos completar esta com o segmento Cr que une
seus extremos; assim o dominio D da integral dupla e´ o semidisco x2 + y2 \u2264 9, (y \u2264 0); logo\u222b\u222b
D
(
\u2202Q
\u2202y
\u2212 \u2202P
\u2202y
)
dx dy =
\u222b
Cs
~F · d~r +
\u222b
Cr
~F · d~r.
Podemos parametrizar Cr como ~r = (x, 0), sendo que x vai de 3\u2192 \u22123; de aqui:\u222b
Cr
~F · d~r =
\u222b \u22123
3
(
2x 0 e\u22120 + 2 · 0) 1 dx+ (x2 (1\u2212 0) e\u22120) 0 dx = 0,
Por outro lado Qx \u2212 Py =
[
2x (1\u2212 y) e\u2212y]\u2212 [2x e\u2212y \u2212 2x y e\u2212y + 2] = \u22122, e\u222b
Cs
~F · d~r =
\u222b\u222b
D
(
\u2202Q
\u2202y
\u2212 \u2202P
\u2202y
)
dx dy \u2212
\u222b
Cr
~F · d~r =
\u222b 2pi
pi
[\u222b 3
0
\u22122 \u3b6 d\u3b6
]
d\u3b8 \u2212 0 = \u22129pi.
2a Questa\u2dco: O elipsoide x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 pode ser visto como um alongamento nos eixos
coordenados da esfera unidad, pelo qual uma poss´\u131vel parametrizac¸a\u2dco e´ dada por
~r(\u3b8, \u3d5) = (a cos \u3b8 sin\u3d5, b sin \u3b8 sin\u3d5, c cos\u3d5).
(a) Afirma-se que o fluxo do campo ~F = (0, 0, z) atrave´s de uma superf´\u131cie fechada e´ igual
ao volume que ela engloba. Com um Teorema conhecido, Justifique. (0,5 pt.)
(b) Calcule o volume do elipsoide por meio de uma integral de superf´\u131cie. (1,5 pt.)
(c) Partindo de uma integral de superf´\u131cie chegue a uma integral ordina´ria que seja a a´rea
do elipsoide de revoluc¸a\u2dco, ou seja tome a = b. (1,0 pt.)
Resposta:
(a) Veja que ~\u2207 · ~F = Px +Qy +Rz = 0 + 0 + 1, e pelo Teorema de Gauss temos\u222b\u222b
©
S
~F · d~S =
\u222b\u222b\u222b
\u2126
~\u2207 · ~F dV \u21d2
\u222b\u222b
©
S
(0, 0, z) · d~S =
\u222b\u222b\u222b
\u2126
1 dV = volume.
(b) O vetor normal e´ dado por
~r\u3b8 × ~r\u3d5 =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~i ~j ~k
\u2212a sin \u3b8 sin\u3d5 b cos \u3b8 sin\u3d5 0
a cos \u3b8 cos\u3d5 b sin \u3b8 cos\u3d5 \u2212c sin\u3d5
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~r\u3b8 × ~r\u3d5 =
(\u2212b c cos \u3b8 (sin\u3d5)2,\u2212a c sin \u3b8 (sin\u3d5)2,\u2212a b sin\u3d5 cos\u3d5) \u21d2
~F · ~r\u3d5 × ~r\u3b8 = a b c sin\u3d5 (cos\u3d5)2.
Observe que tomamos a normal exterior positiva, logo\u222b\u222b
©
S
~F · d~S =
\u222b 2pi
0
[\u222b pi
0
a b c sin\u3d5 (cos\u3d5)2 d\u3d5
]
d\u3b8 = a b c
\u222b 2pi
0
[
\u2212(cos\u3d5)
2
3
]pi
0
d\u3b8 =
4pi
3
a b c.
(c) Para o elipsoide de revoluc¸a\u2dco |~r\u3b8 × ~r\u3d5| =
\u221a
a2 c2 (sin\u3d5)4 + a4 (sin\u3d5)2 (cos\u3d5)2,\u222b\u222b
S
1 dS =
\u222b 2pi
0
[\u222b pi
0
a sin\u3d5
\u221a
c2 (sin\u3d5)2 + a2 (cos\u3d5)2 d\u3d5
]
d\u3b8
= 2pi a
\u222b pi
0
sin\u3d5
\u221a
c2 (sin\u3d5)2 + a2 (cos\u3d5)2 d\u3d5.
3a Questa\u2dco: Considere a se´rie de pote\u2c6ncias,
\u221e\u2211
n=1
(2x\u2212 4)n\u221a
n+ 7
.
\u2013 Analize o cara´ter da converge\u2c6ncia para todo valor real de x. (2,0 pt.)
Resposta: Pelo o teste da raiz: lim
n\u2192\u221e
n
\u221a\u2223\u2223\u2223\u2223(2x\u2212 4)n\u221an+ 7
\u2223\u2223\u2223\u2223 = limn\u2192\u221e n
\u221a
|2x\u2212 4|n
n
\u221a\u221a
n+ 7
=
|2x\u2212 4|
1
.
Converge absolutamente; |2x\u2212 4| < 1 \u21d2 32 < x < 52 ;
Diverge; |2x\u2212 4| > 1 \u21d2 x < 32 ou x > 52 ;
\u2013 Para x = 52 ,
\u221e\u2211
n=1
(2 52 \u2212 4)n\u221a
n+ 7
=
\u221e\u2211
n=1
1\u221a
n+ 7
\u223c
\u221e\u2211
n=1
1
n0,5
.
Pelo teste de comparac¸a\u2dco do limite e´ divergente. lim
n\u2192\u221e
(
\u221a
n+ 7)\u22121
n\u22120,5
= lim
n\u2192\u221e
1
1\u2212 7n\u22120,5 = 1.
\u2013 Para x = 32 ,
\u221e\u2211
n=1
(2 32 \u2212 4)n\u221a
n+ 7
=
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u221a
n+ 7
; seja enta\u2dco bn =
1\u221a
n+ 7
.
Obtivemos uma se´rie alternada cuja se´rie de seus modulos ja´ vimos que diverge mas pelo
teste para se´ries arternadas vemos que ela converge, assim
1o. lim
n\u2192\u221e
1\u221a
n+ 7
= 0, 2o.
1\u221a
n+ 1 + 7
<
1\u221a
n+ 7
\u21d2 e´ condicinalmente
convergente.
4a Questa\u2dco: Em cada caso diga se as se´ries nu´mericas convergem ou divergem. (2,0 pt.)
(a)
\u221e\u2211
n=2
6n + ln(n)
n2013 + 5n
, (b)
\u221e\u2211
n=7
1
n
\u221a
lnn
.
Respostas:
(a) Pelo teste de comparac¸a\u2dco do limite
\u221e\u2211
n=2
6n + ln(n)
n2013 + 5n
\u223c
\u221e\u2211
n=2
(
6
5
)n
, e´ divergente,
lim
n\u2192\u221e
6n + ln(n)
n2013 + 5n
6n
5n
= lim
n\u2192\u221e
6n
6n
+
ln(n)
6n
n2013
5n
+
5n
5n
=
1 + 0
0 + 1
= 1 \u21d2 ambas se´ries te\u2c6m o mesmo
cara´ter de converge\u2c6ncia.
(b) Pelo teste da integral e´ divergente, veja que a func¸a\u2dco f(x) =
1
x
\u221a
lnx
,
7 < x1 < x2 \u21d2 1
x1
\u221a
lnx1
>
1
x2
\u221a
lnx2
> 0,
(
f(n) = an
)
\u21d2
\u222b \u221e
7
1
x
\u221a
lnx
dx = lim
A\u2192\u221e
2
\u221a
lnx
\u2223\u2223\u2223A
7
=\u221e \u21d2
\u221e\u2211
n=7
1
n
\u221a
lnn
, diverge.
BOA PROVA!!!
Lostzilla
Lostzilla fez um comentário
Its helping me a lot!!!!
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