Calculo 3- 2012.2 -Segunda.Chamada.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3
SEGUNDA CHAMADA. SEGUNDO SEMESTRE DE 2012
17 de Abril de 2013
Respostas sem ca´lculos ou justificativas na˜o sera˜o aceitas.
1a Questa˜o: No espac¸o R3 sa˜o dados o campo vetorial ~F (~r) = (−z2 sinx, 2, 2 z cosx) e a curva suave
~r(t) = (et + e−t, et − e−t, 2t), t ∈ [0, ln 2].
(a) Calcule o comprimento da curva. (1,0 pt.)
(b) Prove que o campo e´ conservativo e encontre uma func¸a˜o potencial para este campo. (1,0 pt.)
(d) Encontre a integral de linha deste campo sobre a curva. Justifique. (0,5 pt.)
Resposta:
(a) Veja |~rt(t)| =
√
(et − e−t)2 + (et + e−t)2 + 4 =
√
2 (e2t + 2 + e−2t) =
√
2 (et + e−t)∫
C
1 ds =
∫ ln 2
0
|~rt(t)| dt =
√
2
(
et − e−t
)ln 2
0
=
√
2
(
eln 2 − e− ln 2 − 0
)
=
3
2
√
2.
(b) Para o campo ser conservativo suas derivadas cruzadas devem ser iguais, assim
Py = Qx = 0, Qz =Ry = 0, Rx = Pz = −2 z sinx; logo;
ϕx = −z2 sinx, ⇒ ϕ? =z2 cosx+ cte(y, z),
ϕy = 2, ⇒ ϕ? =2 y + cte(x, z), ⇒ ϕ(~r) = z2 cosx+ 2 y.
ϕz = 2 z cosx, ⇒ ϕ? =z2 cosx+ cte(x, y),
(c) Como o campo e´ conservativo podemos usar o Teorema Fundamental do Ca´lculo para as
integrais de linhas. Com a func¸a˜o potencial ja´ conhecida falta encontrar os extremos da curva:
~r(0) = (2, 0, 0), ~r(ln 2) = (eln 2 + e− ln 2, eln 2 − e− ln 2, 2 ln 2) = (52 , 32 , 2 ln 2)∫
C
~F · d~r = ϕ(~r(ln 2))− ϕ(~r(0)) = 4 (ln 2)2 cos(52)+ 2 32 − 0
2a Questa˜o: Considere o campo vetorial ~F = (4x y − z)~i− 8x~j + ~k, o semiplano 2x+ y = 2, (z ≥ 0)
e o pedac¸o de parabolo´ide z = 4− y2 − 4x2 (z ≥ 0).
(a) Parametrize a curva C determinada pela intercepc¸a˜o da superf´ıcie plana e o parabolo´ide. (1,0 pt.)
(b) Calcule o fluxo do rotacional do campo ~F sobre a porc¸a˜o do semiplano limitado por C. (1,0 pt.)
(c) Calcule o trabalho realizado pelo campo ~F ao longo da curva C. (1,0 pt.)
(d) Que relac¸a˜o existe entre estas integrais? Justifique. (0,5 pt.)
Resposta:
(a) A primeira opc¸a˜o para a curva e´ tomar a coordenada x como paraˆmetro, assim: t = x
y = 2− 2x e z = 4− (2− 2x)2 − 4x2 = 8x− 8x2. Para o plano tomaremos (x, z); logo
curva: ~r(x) = (x, 2− 2x, 8x− 8x2); 0 ≤ x ≤ 1
plano: ~r(x, z) = (x, 2− 2x, z); 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 8x− 8x2.
A seguir damos respectivamente o vetor tangente a` curva e normal ao plano
~rx = (1,−2, 8− 16x); ~rx × ~rz =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 −2 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = (−2, −1, 0).
(b) ~∇× ~F =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
4x y − z −8x 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0− 0,−1− 0, −8− 4x);∫∫
2x+y=2
~∇× ~F · d~S =
∫∫
Dxz
(0,−1, −8− 4x) · (−2, −1, 0) dx dz
=
∫ 1
0
[∫ 8x−8x2
0
dz
]
dx =
∫ 1
0
(8x− 8x2) dx = 4 · 12 − 8 1
3
3
− (0) = 4
3
.
(c)
∫
C
~F · d~r =
∫ 1
0
[
4x (2− 2x)− (8x− 8x2)] 1 dx+ (−8x) (−2) dx+ 1 (8− 16x) dx
=
∫ 1
0
8 dx = 8.
(c) Estas integrais esta˜o relacionadas pelo Teorema de Stokes, veja que se tomamos o seg-
mento de reta Cr entre os pontos (2, 0, 0) e (0, 2, 0), temos∮
C+Cr
~F · d~r =
∫∫
S
~∇× ~F · d~S ⇒
∫
C
~F · d~r +
∫
Cr
~F · d~r =
∫∫
2x+y=2
~∇× ~F · d~S.
3a Questa˜o: Considere a se´rie de poteˆncias,
∞∑
n=3
3−n+1√
n2 − 4
(x+ 1)n.
– Analize o cara´ter da convergeˆncia para todo valor real de x. (2,0 pt.)
Respostas: Empleando o teste da raiz
lim
n→∞
n
√∣∣∣∣ 3 (x+ 1)n3n√n2 − 4
∣∣∣∣ = limn→∞ n
√
3 n
√
|x+ 1|n
n
√
3n
√
n
√
n2 − 4
= lim
n→∞
1 |x+ 1|
3
√
1
=
|x+ 1|
3
converge absolutamente; 13 |x+ 1| < 1 ⇒ −4 < x < 2;
Diverge; 13 |x+ 1| > 1 ⇒ x < −4 ou x > 2;
- Para x = 2,
∞∑
n=3
3−n+1√
n2 − 4
(2 + 1)n =
∞∑
n=3
3√
n2 − 4
∼
∞∑
n=3
1
n
.
Pelo teste de comparac¸a˜o do limite e´ divergente. lim
n→∞
3√
n2 − 4
1/n
= lim
n→∞
3√
1− 4
n2
= 3.
- Para x = −4,
∞∑
n=3
3−n+1 (−3)n√
n2 − 4
=
∞∑
n=3
3 (−1)n√
n2 − 4
; seja enta˜o bn =
3√
n2 − 4
;
Obtemos uma se´rie alternada e como ja´ vimos, a se´rie de seus mo´dulos diverge. Pelo teste
de se´ries alternadas prova-se
1o. lim
n→∞
3√
n2 − 4
= 0, 2o.
3√
(n+ 1)2 − 4
<
3√
n2 − 4
⇒ e´ condicinalmente
convergente.
4a Questa˜o: A func¸a˜o f(x) =
∫ x
0
sin(t)
t
dt na˜o pode ser expressa com nenhuma combinac¸a˜o alge´brica
das func¸o˜es ba´sicas conhecidas. Para seu estudo e´ u´til o emprego de se´ries.
(a) Use a se´rie conhecida para o seno e encontre uma expansa˜o em se´rie da func¸a˜o f(x). (1,5 pt.)
(b) Encontre os pontos para os quais a se´rie obtida e´ convergente. (0,5 pt.)
Respostas: Quem na˜o lembra da se´rie e´ bom ver como e´ obtida pelo Teorema de Taylor
k f (k)(x) f (k)(0) f (k)(0)/n!
0 sin[x] 0 0/0!
1 cos[x] 1 1/1!
2 − sin[x] −0 −0/2!
3 − cos[x] −1 −1/3!
4 sin[x] 1 1/4!
5 cos[x] 0 0/5!
...
...
...
⇒
sin[x] =
∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
(2n+ 1)!
sin[x] = x− x
3
3!
+
x5
5!
− . . .
Quem lembrar da se´rie do seno pode usar-a diretamente e f(x) e´ dada por
f(x) =
∫ x
0
1
t
∞∑
n=0
(−1)n t2n+1
(2n+ 1)!
dt =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
∫ x
0
t2n+1
t
dt =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
x2n+1
2n+ 1
(b) Esta se´rie converge quando
1 > lim
n→∞
∣∣∣∣ (−1)n+1(2n+ 3)! x2n+32n+ 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ (−1)n(2n+ 1)! x2n+12n+ 1
∣∣∣∣ = limn→∞ | − 1| |x|
2 (2n+ 1)!
(2n+ 3)!
(2n+ 1)
2n+ 3
= lim
n→∞
x2 (2n+ 1)
(2n+ 3)(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0 < 1 para todo x.
Pelo qual converge para todo valor real de x.
BOA PROVA!!!