Espaço Vetorial e Combinação Linear

Espaço Vetorial e Combinação Linear


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UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE
ESPAÇO VETORIAL
Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, isto é:
O conjunto V com essas duas operações é chamado Espaço Vetorial Real (ou espaço vetorial sobre R) se forem verificados os seguintes axiomas;
Em relação a adição:
u + v = v + u
(u + v) + w = u + (v + w)
u + 0 = 0 + u = u
u + (-u) = 0
Em relação a multiplicação
k(lu) = (kl)u
l(u + v) = lu + lv
(k + l)v = kv + lv
1u = u
Obs.: Os elementos u, v, w . . ., do espaço vetorial serão chamados de vetores, independente de sua natureza.
Se a definição de espaço v etorial considerasse como escalres o conjunto C dos números complexos, V seria um espaço vetorial complexo. Entretanto, nesta introdução à álgebra linear serão considerados somente espaços vetoriais reais.
Exemplo 1) O conjunto V = R2 = { (x, y) / x, y R} é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definido.
O conjunto das Matrizes M(m,n) com as operações de adição e multiplicação por escalar, definidas nos axiomas da adição e multiplicação é um espaço vetorial. Em particular, o conjunto daas matrizes quadradas Mn é um espaço vetorial em relação às mesmas operações.
Exemplo 2) V = M(2, 2) = 
 
Obs.: O conjunto R2 = {(a, b) / a, b R} não é espaço vetorial em relação às operações assim definidas:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
K(a, b) = (ka, b), k R
SUBESPAÇOS VETORIAIS
Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O subconjunto S é um espaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e a multiplicação por escalar definidas em V.
A definição parece indicar que, para um subconjunto S ser subespaço vetorial V, se deveria fazer a verificação, em S, dos oito axiomas de espaço vetorial relativos à adição e multiplicação por escalar. Entretanto, como S é parte de V (que é espaço vetorial), não é necessário a verificação.
Um subespaço S, não vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições:
Para quaisquer u, v R, tem-se: u + v S
Para quaiquer R, u S, tem-se: u S
Todo espaço vetorial V {0} admite, pelo menos, dois subespaços: o conjunto {0}, chamado subespaço zero ou subespaço nulo e o próprio espaço vetorial V. Esses dois são os subespaços triviais de V. Os demais são espaços próprios de V.
Exemplo 1) Sejam V = R2 e S = {(x, y) R2 / y = 2x} ou S = {(x, 2x), x R}, isto é, verifiquemos as condições I e II.
Observe-se que ao escolher dois vetores u e v da reta y = 2x, o vetor u + v pertence à reta e, se multiplicar um vetor u da reta por , o vetor u também estará na reta. Se a reta dada S não passar pela origem, S não é um subespaço vetorial do R2. 
Exemplo 2) Sejam S = {(x, 4 \u2013 2x), x R}. Verifique as condições I e II.
Exemplo 3) Sejam V = R3 e S = {(x, y, z) R3 / ax + by + cz = 0}
 
Exemplo 4) Sejam V = R3 e S = {(x, y, z) R3/ 2x + 3y \u2013 4z = 0}. Neste caso:
Exemplo 5) Sejam V = R3 e S = {(x, y, 0), x, y R}