Vetores
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Vetores


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u é muitas vezes chamado 
de Norma de u e é denotado por . Segue do teorema de Pitágoras que a 
norma de um vetor u = ( , ) no espaço bi e tridimensional é 
 = 
Seja u = ( , , ) um vetor no espaço tridimensional. Assim 
 = 
Um vetor de norma 1 é chamado vetor unitário. 
 
 
 
 
 
 
Se e são dois pontos no espaço tridimensional, 
então a distância d entre eles é a norma do vetor . 
 = ( 
Segue que 
d = 
 
 
 
 
 
A distância entre e é a norma do vetor é similarmente de um 
espaço bidimensional. 
 
 
x 
y 
x 
y 
z 
 
 
 
 
( , ) 
( , , ) 
x 
y 
z 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
Exemplo: A norma do vetor u = (-3, 2, 1) é: 
 
 
 
Exemplo: A distância d entre os pontos e é 
 
 
 
 
Produto Escalar 
Definição: Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois 
vetores u = e v = , e se representa por u . v, ao número real: 
u.v = + 
O produto escalar de u por v também é indicado por <u, v> e se lê \u201cu escalar 
v\u201d. 
Exemplo: Se u = (2, 3) e v =(4, -1) tem-se: 
 
 
 
 
Definição: Se u e v são vetores no espaço bi ou tridimensional e é o ângulo 
entre u e v, então o produto escalar u . v, ou produto interno euclidiano, é definido 
por: 
u . v = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
Exemplo: Calcule o ângulo entre os vetores u = (0, 0, 1) e v = (0, 2, 2) é de 450. 
 
 
 
Módulo de um vetor 
Cos 450 = 
 
 
 
Módulo de um vetor v =(x, y), representado por |v|, é o número real não-
negativo: 
|v| = 
ou de coordenadas 
|v| = 
Ou ainda: 
|v| = 
Exemplo: Se v = (3, -4), então: 
 
 
 
A partir de cada vetor v 0 é possível obter um vetor unitário u fazendo u = 
 
 
. 
 
 
 
 
 
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Exemplo: É unitário o vetor: 
 
 
 
Obsevações: Como consequência das propriedades do produto escalar, vem: 
1) |u + v|2 = |u|2 + 2uv + |v|2 
2) |u - v|2 = |u|2 - 2uv + |v|2 
Ângulo de dois vetores 
O ângulo de dois vetores u = AO e v = OB, não nulos, é o ângulo formado 
pelas semi-retas AO e OB e tal que 0 . 
 
 
 
 
Cálculo do ângulo de dois vetores 
 Sejam os vetores u 0 e v 0. O ângulo formado por u . v pode ser 
calculado pela fórmula: 
cos = 
 
 
 
Exemplo: Se u = (-2, -2) e v = (0, -2), o ângulo pode ser calculado por 
intermédio da formula: 
 
 
 
Toerema: Sejam u e v vetores no espaço bi ou tridimensional. 
a) v . v = ||v||2 ou seja ||v|| = 
 
 
b) Se os vetores u e v são não nulos e é o ângulo entre eles, então 
 
0 
A 
B 
 
v 
u 
 
 
 
 
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 é agudo se, e somente se, u . v > 0 
 é obtuso se, e somente se, u . v < 0 
 = 
 
 
 se, e somente se, u . v = 0 
Vetores Ortogonais 
Vetores perpendiculares são também chamados vetores ortogonais. Tendo 
em vista o teorema anterior, dois vetores não-nulos são ortogonais se, e somente se, 
seu produto escalar é zero. Se concodarmos em considerar os vetores u e v como 
perpendiculares se um deles ou ambos forem o vetor nulo 0, então poderemos 
afirmar, sem excerção que dois vetores u e v são ortogonais (perpendiculares) se, e 
somente se, u . v = 0 
Um vetor perpendicular a uma reta 
Exemplo: Mostre que o vetor não nulo n = (a, b) é perpendicular à reta ax + by 
+ c = 0 no espaço bidimensional. 
Solução: Sejam P1(x1, y2) e P2(x2, y2) dois pontos distintos da reta, de modo que 
ax1 + y1 + c = 0 
ax2 + y2 + c = 0 
Como o vetor = (x2 \u2013 x1, y2 \u2013 y1) é paralelo à reta dada, basta mostrar que 
n e são perpendiculares. 
(a, b) . (x2 \u2013 x1, y2 \u2013 y1) = 0 ou n 
. = 0 
Assim, n e são perpendiculares. 
 
Exemplo: Mostre que os vetores u = (1, -2) e v = (0, -3) são perpendiculares a 
equação \u2013 x + y + 3 = 0. 
 
 
 
 
 
 
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PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
Uma projeção Ortogonal 
Em muitas aplicações é de interesse \u201cdecompor\u201d um vetor u na soma de dois 
componentes, um paralelo a um vetor não-nulo especificado a e o outro perpendicular 
a a. Se u e a são posicionados com seus pontos iniciais coincidindo com o ponto Q, 
podemos decompor o vetor u. Baixamos uma perpendicular da ponta de u para a reta 
ao longo de a e contruímos o vetor w1 de Q ao pé desta perpendicular. Em seguida 
tomamos a diferença 
w2 = u \u2013 w1 
 
 
 
 
O vetor u é a soma de w1 e w2, onde w1 é paralelo ao vetor a e w2 é 
perpendicular a a. 
O vetor w1 é paralelo ao vetor a e w2 é perpendicular a a e 
w1 + w2 = w1 + (u \u2013 w1) = u 
 
 
 
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O vetor w1, chamado projeção ortogonal de u sobre a, ou então componente 
vetorial de u ao longo do vetor a, é denotado por 
w1 = projau 
O vetor w2 é chamado componente vetorial de u ortogonal ao vetor a. Como 
w2 = u \u2013 w1 , este vetor pode ser escrito com a notação 
w2 = u \u2013 projau 
O seguinte teorema dá formulas para calcular os vetores projau e u - projau. 
Teorema: Se u e a são vetores no espaço bi ou tridimensional e se a 0, então 
projau = 
 
 
 (componente vetorial de u ao longo de a) 
u - projau = u - 
 
 
 (componente vetorial de u ortogonal a a) 
Exemplo: Sejam u = (2, -1, 3) e a = (4, -1, 2). Encontre o componente vetorial de 
u ao longo de a e o componente vetorial de u ortogonal a a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício - 1 
1 \u2013 Desenhe um sistema de coordenadas de mão direita e marque os pontos cujas 
coordenadas são: 
a) (3, 4, 5) b) (-3, 4, 5) c) (3, -4, 5) d) (3, 4, -5) 
e) (-3, -4, 5) f) (-3, 4, 5) g) (3, -4, -5) h) (-3, -4, -5) 
i) (-3, 0 , 0) j) (3, 0, 3) k) (0, 0, -3) l) (0, 3, 0) 
2 \u2013 Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem: 
 
a) v(3, 6) b) v(-4, - 8) c) v(-4, -3) d) v(5, -4) 
e) v(3, 0) f) v(0, -7) g) v(3, 4, 5) h) v(0, 0, -3) 
3 \u2013 Encontre os componentes do vetor de ponto inicial P1 e ponto final P2. 
 
a)P1(4, 8), P2(3, 7) b) P1(3, -5), P2(-4, -7) c) P1(-5, 0), P2(-3, 1) 
d) P1(0, 0), P2(a, b) e) P1(3, -7, 2), P2(-2, 5, -4) f) P1(-1, 0, 2), P2(0, -1, 0) 
4 \u2013 Encontre um vetor não-nulo u com ponto inicial P(-1, 3, -5) talque 
a) u tem a mesma direção e sentido v = (6, 7, -3) 
b) u tem a mesma direção mas sentido oposto ao de v = (6, 7, -3) 
5 \u2013 Sejam u = (-3, 1, 2), v = (4, 0, -8) e w = (6, -1, -4), encontre os componentes de: 
a) u + w b) 6u + 2v c) \u2013 v + u d) 5(v \u2013 4u) e) (2u \u2013 7w) \u2013 (8v + u) 
6 \u2013 Sejam u, v e w os vetores do exercício 5. Encontre os componentes do vetor x que 
satisfaz 2u \u2013 v + x = 7x + w 
7 - Sejam u, v
Sweet
Sweet fez um comentário
Alguem pode me informar se tem essa mesma apostila só que resolvida?
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