fourier_4pp

Prévia do material em texto

In
tro
du
çã
o
ao
s
C
irc
ui
to
s
E
lé
tr
ic
os
S
ér
ie
s
e
Tr
an
sf
or
m
ad
as
de
Fo
ur
ie
r
P
ro
f.
R
ob
er
to
A
lv
es
B
ra
ga
Jr
.
P
ro
f.
B
ru
no
H
en
riq
ue
G
ro
en
ne
rB
ar
bo
sa
U
FL
A
-D
ep
ar
ta
m
en
to
de
E
ng
en
ha
ria
1
/4
7
S
ér
ie
s
e
Tr
an
sf
or
m
ad
as
de
Fo
ur
ie
r
H
is
tó
ria
Je
an
-B
ap
tis
te
Jo
se
ph
Fo
ur
ie
r(
17
68
–1
83
0)
,
fo
iu
m
m
at
em
át
ic
o
e
fís
ic
o
fra
nc
ês
co
nh
ec
id
o
pr
in
ci
pa
lm
en
te
pe
la
el
ab
or
aç
ão
da
s
fa
m
os
as
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r,
cu
jo
im
pa
ct
o
no
de
se
nv
ol
vi
m
en
-
to
da
m
at
em
át
ic
a
é
ai
nd
a
de
gr
an
de
im
po
rt
ân
ci
a
na
s
vá
ria
s
ár
ea
s
da
en
ge
nh
ar
ia
.
A
lé
m
di
ss
o,
re
al
iz
ou
no
tá
ve
is
co
nt
rib
ui
çõ
es
no
ca
m
po
da
eg
ip
to
lo
gi
a
e
te
ve
um
a
vi
da
po
lít
ic
a
m
ui
to
at
iv
a
du
ra
nt
e
a
re
vo
lu
çã
o
fra
nc
es
a,
ao
la
do
de
N
ap
ol
eã
o
B
on
ap
ar
te
.
2
/4
7
S
in
ai
s
e
S
is
te
m
as
S
in
ai
s:
co
nj
un
to
de
da
do
s
ou
in
fo
rm
aç
ão
�
S
in
al
de
te
le
fo
ne
ou
te
le
vi
sã
o
�
R
eg
is
tro
de
ve
nd
as
de
um
a
co
rp
or
aç
ão
�
Ín
di
ce
B
O
V
E
S
PA
�
Te
ns
ão
ou
co
rr
en
te
em
um
ci
rc
ui
to
�
Te
m
pe
ra
tu
ra
de
um
a
sa
la
�
E
le
tro
ca
rd
io
gr
am
a,
et
c
3
/4
7
S
in
ai
s
e
S
is
te
m
as
S
in
ai
s
4
/4
7
S
in
ai
s
e
S
is
te
m
as
S
is
te
m
as
:
en
tid
ad
es
qu
e
pr
oc
es
sa
m
os
si
na
is
,
m
od
ifi
ca
nd
o-
os
ou
ex
tra
in
do
in
fo
rm
aç
ão
�
Tr
an
sm
is
so
re
s
�
V
ál
vu
la
s
�
S
is
te
m
a
au
di
tiv
o
�
C
irc
ui
to
s
el
et
rô
ni
co
s,
et
c
5
/4
7
S
in
ai
s
e
S
is
te
m
as
S
is
te
m
as
:
6
/4
7
S
in
ai
s
e
S
is
te
m
as
S
is
te
m
as
:
�
P
ar
a
ob
te
ra
sa
íd
a
de
um
si
st
em
a
no
te
m
po
di
sc
re
to
:
ut
ili
za
-s
e
a
co
nv
ol
uç
ão
:
y[
n]
=
+
∞ ∑ k=−∞
x[
k
]h
[n
−k
],
ou
y[
n]
=
x[
n]
∗h
[n
],
em
qu
e
h
é
a
re
sp
os
ta
ao
im
pu
ls
o
do
si
st
em
a.
�
E
m
La
pl
ac
e
vi
m
os
qu
e
a
co
nv
ol
uç
ão
no
te
m
po
co
nt
ín
uo
é
ig
ua
l
a
um
a
m
ul
tip
lic
aç
ão
em
s:
x(
t)
∗h
(t
)
L ←→
X
(s
)
H
(s
)
7
/4
7
S
in
ai
s
e
S
is
te
m
as
S
is
te
m
as
:
C
on
vo
lu
çã
o
te
m
po
di
sc
re
to
8
/4
7
S
in
ai
s
e
S
is
te
m
as
S
is
te
m
as
:
C
on
vo
lu
çã
o
te
m
po
di
sc
re
to
9
/4
7
S
in
ai
s
e
S
is
te
m
as
S
is
te
m
as
:
C
on
vo
lu
çã
o
te
m
po
co
nt
ín
uo
�
A
co
nv
ol
uç
ão
no
te
m
po
co
nt
ín
uo
é
da
da
po
r:
y(
t)
=
∫ +
∞
−∞
x(
τ)
h(
t−
τ)
dτ
�
E
xe
m
pl
o:
co
ns
id
er
e
x(
t)
=
e−
a
t
e
h(
t)
=
1,
po
rt
an
to
:
y(
t)
=
∫ t 0
e−
a
τ
dτ
=
−1 a
e−
a
τ
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣t 0=
1 a
(1
−e
−a
t )
�
E
m
La
pl
ac
e:
Y
(s
)
=
1
s
+
a
1 s
=
1/
a s
−
1/
a
s
+
a
L−
1
−−−→
1 a
(1
−e
−a
t )
10
/4
7
S
in
ai
s
e
S
is
te
m
as
S
is
te
m
as
:
C
on
vo
lu
çã
o
te
m
po
co
nt
ín
uo
11
/4
7
S
in
ai
s
e
S
is
te
m
as
C
la
ss
ifi
ca
çã
o
de
S
in
ai
s:
�
C
on
tín
uo
s
e
D
is
cr
et
os
�
A
na
ló
gi
co
s
e
D
ig
ita
is
�
Pe
rió
di
co
s
e
N
ão
-p
er
ió
di
co
s
x(
t)
=
x(
t+
T 0
),
pa
ra
to
do
t,
se
nd
o
T 0
um
a
co
ns
ta
nt
e
po
si
tiv
a
�
D
et
er
m
in
ís
tic
os
e
A
le
at
ór
io
s
12
/4
7
S
in
ai
s
e
S
is
te
m
as
C
la
ss
ifi
ca
çã
o
de
S
is
te
m
as
:
�
C
on
tín
uo
s
e
D
is
cr
et
os
�
A
na
ló
gi
co
s
e
D
ig
ita
is
�
Li
ne
ar
es
e
N
ão
-L
in
ea
re
s
�
C
au
sa
is
e
N
ão
-C
au
sa
is
�
E
st
áv
ei
s
e
In
st
áv
ei
s
�
Va
ria
nt
es
ou
In
va
ria
nt
es
no
te
m
po
13
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
A
ná
lis
e
de
Fo
ur
ie
r
�
S
in
al
co
nt
ín
uo
e
pe
rió
di
co
:
S
ér
ie
de
Fo
ur
ie
r
�
S
in
al
di
sc
re
to
e
pe
rió
di
co
:
S
ér
ie
de
Fo
ur
ie
r
D
is
cr
et
a
�
S
in
al
co
nt
ín
uo
e
nã
o-
pe
rió
di
co
:
Tr
an
sf
or
m
ad
a
de
Fo
ur
ie
r
�
S
in
al
di
sc
re
to
e
nã
o-
pe
rió
di
co
:
Tr
an
sf
or
m
ad
a
de
Fo
ur
ie
r
D
is
cr
et
a
14
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
C
on
si
de
ra
nd
o
qu
e
a
on
da
to
ta
lé
pe
rió
di
ca
(p
er
ío
do
T
=
2π
),
os
pe
río
do
s
de
ca
da
um
a
da
s
on
da
s
co
m
po
ne
nt
es
é
um
a
fra
çã
o
de
T
,o
u
se
ja
,T
i
=
T
/n
i
em
qu
e
n i
é
um
nú
m
er
o
in
te
iro
.
O
u
em
fre
qu
ên
ci
a,
ω
i
=
n i
ω
15
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
C
on
si
de
re
um
si
na
lp
er
ió
di
co
co
m
fre
qu
ên
ci
a
fu
nd
am
en
ta
l2
π
,
ex
pr
es
so
na
se
gu
in
te
fo
rm
a:
x(
t)
=
+
3 ∑ k=−3
a k
ej
k
2π
t ,
co
m
a 0
=
1,
a 1
=
a −
1
=
1 4
,
a 2
=
a −
2
=
1 2
,
a 3
=
a −
3
=
1 3
A
ss
im
,r
ee
sc
re
ve
nd
o
a
eq
ua
çã
o
an
te
rio
r:
x(
t)
=
1
+
1 4
(e
j2
π
t
+
e−
j2
π
t )
+
1 2
(e
j4
π
t
+
e−
j4
π
t )
+
1 3
(e
j6
π
t
+
e−
j6
π
t )
�
Le
m
br
an
do
da
s
re
la
çõ
es
de
E
ul
er
,
co
s
θ
=
(e
jθ
+
e−
jθ
)
2
e
se
nθ
=
(e
jθ
−e
−jθ
)
j2
,
x(
t)
=
1
+
1 2
co
s
2π
t+
co
s
4π
t+
2 3
co
s
6π
t
16
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
17
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
A
s
fu
nç
õe
s
qu
e
re
pr
od
uz
em
ev
en
to
s
pe
riódi
co
s
no
te
m
po
po
de
m
se
rr
ep
re
se
nt
ad
as
po
ru
m
a
so
m
at
ór
ia
de
se
nó
id
es
(c
os
se
nó
id
es
)p
or
m
ei
o
da
sé
rie
tr
ig
on
om
ét
ric
a
de
Fo
ur
ie
r:
x(
t)
=
a 0
+
∞ ∑ n=1a
n
co
s
nω
0t
+
b n
se
n
nω
0t
se
nd
o
ω
0
a
fre
qu
ên
ci
a
fu
nd
am
en
ta
l,
os
co
efi
ci
en
te
s
a n
e
b n
po
de
m
se
rc
al
cu
la
do
s
po
r(
T
=
2π
):
a 0
=
1 2π
∫ π −π
x(
t)
dt
,
a n
=
1 π
∫ π −π
x(
t)
co
s
nω
0t
dt
,
b n
=
1 π
∫ π −π
x(
t)
se
n
nω
0t
dt
�
C
on
di
çõ
es
de
ex
is
tê
nc
ia
:
si
na
ll
im
ita
do
e
co
m
nú
m
er
o
fin
ito
de
m
áx
im
os
,d
e
m
ín
im
os
e
de
de
sc
on
tin
ui
da
de
s
em
um
pe
río
do
18
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
Q
ua
nd
o
x(
t)
fo
rr
ea
l,
a
sé
rie
tr
ig
on
om
ét
ric
a
de
Fo
ur
ie
rp
od
e
se
r
ex
pr
es
sa
em
um
a
fo
rm
a
co
m
pa
ct
a:
x(
t)
=
C
0
+
∞ ∑ n=1C
n
co
s
(n
ω
0
t+
θ
n
)
em
qu
e
C
n
e
θ
n
sã
o
re
la
ci
on
ad
os
co
m
a n
e
b n
po
r:
C
0
=
a 0
,
C
n
=
√ a2 n
+
b
2 n
,
θ
n
=
ta
n−
1
( −b
n
a n
)
19
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
E
xe
m
pl
o:
O
nd
a
qu
ad
ra
da
x(
t)
=
{ −
k
se
−π
<
t
<
0
k
se
0
<
t
<
π
N
es
se
ca
so
,o
pe
río
do
é
T 0
=
2π
e
ω
0
=
2π
/T
0
=
1
a 0
=
1 2π
∫ π −π
x(
t)
dt
,
a 0
=
1 2π
[ ∫ 0 −π
−k
dt
+
∫ π 0
k
dt
] =
1 2π
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣−k
t∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣0 −π
+
k
t∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣π 0⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
,
a 0
=
1 2π
[ 0
−k
π
+
k
π
−0
]
=
0
20
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
E
xe
m
pl
o:
O
nd
a
qu
ad
ra
da
a n
=
1 π
∫ π −π
x(
t)
co
s
nt
dt
,
a n
=
1 π
[ ∫ 0 −π
−k
co
s
nt
dt
+
∫ π 0
k
co
s
nt
dt
] =
1 π
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣−k
se
n
nt
n
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣0 −π+
k
se
n
nt
n
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣π 0⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦=
0
b n
=
1 π
∫ π −π
x(
t)
se
n
nt
dt
,
b n
=
1 π
[ ∫ 0 −π
−k
se
n
nt
dt
+
∫ π 0
k
se
n
nt
dt
] =
1 π
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣kc
os
nt
n
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣0 −π−
k
co
s
nt
n
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣π 0⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦,
b n
=
k n
π
[c
os
0
−c
os
(−
nπ
)
−c
os
nπ
+
co
s
0]
=
2k nπ
(1
−c
os
nπ
)
co
s
nπ
=
−1
,s
e
n
fo
rí
m
pa
re
co
s
nπ
=
1,
se
n
fo
rp
ar
b 1
=
4k π
,
b 2
=
0,
b 3
=
4k 3π
,
b 4
=
0,
b 5
=
4k 5π
,
..
.
21
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
E
xe
m
pl
o:
O
nd
a
qu
ad
ra
da
x(
t)
=
4k π
se
n
(1
t)
+
0
se
n
(2
t)
+
4k 3π
se
n
(3
t)
+
0
se
n
(4
t)
+
4k 5π
se
n
(5
t)
+
..
.
4 π
se
n
(1
t)
4 3π
se
n
(3
t)
22
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
N
=
3
N
=
5
N
=
10
0
23
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
E
xe
m
pl
o:
O
nd
a
qu
ad
ra
da
(k
=
1)
x(
t)
=
4 π
se
n
(1
t)
+
0
se
n
(2
t)
+
4 3π
se
n
(3
t)
+
0
se
n
(4
t)
+
4 5π
se
n
(5
t)
+
..
.
�
Fo
rm
a
co
m
pa
ct
a:
x(
t)
=
C
0
+
∞ ∑ n=1
C
n
co
s
(n
ω
0
t+
θ
n
)
em
qu
e
C
n
e
θ
n
sã
o
re
la
ci
on
ad
os
co
m
a n
e
b n
po
r:
C
0
=
a 0
=
0,
C
n
=
√ a2 n
+
b
2 n
,
C
1
=
4 π
,
C
3
=
4 3π
,
C
5
=
4 5π
θ
n
=
ta
n−
1
( −b
n
a n
) ,θ
1
=
−π 2
,
θ
3
=
−π 2
,
θ
5
=
−π 2
24
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
E
xe
m
pl
o:
O
nd
a
qu
ad
ra
da
(k
=
1)
x(
t)
=
4 π
co
s
(1
t−
90
◦ )
+
0
co
s
(2
t−
90
◦ )
+
4 3π
co
s
(3
t−
90
◦ )
+
..
.
+
0
co
s
(4
t−
90
◦ )
+
4 5π
co
s
(5
t−
90
◦ )
+
..
.
�
R
ep
re
se
nt
aç
ão
gr
áfi
ca
da
fo
rm
a
co
m
pa
ct
a:
25
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
E
xe
m
pl
o:
D
et
er
m
in
e
a
sé
rie
tr
ig
on
om
ét
ric
a
de
Fo
ur
ie
rd
o
si
na
lp
er
ió
di
co
:
N
es
se
ca
so
,o
pe
río
do
é
T 0
=
π
e
ω
0
=
2π T
0
=
2r
ad
/s
.
Po
rt
an
to
,
x(
t)
=
a 0
+
+
∞ ∑ n=1
a n
co
s
2n
t+
b n
se
n
2n
t
a 0
=
1 π
∫ π 0
x(
t)
dt
=
1 π
∫ π 0
e−
t/
2
dt
=
0,
50
4
a n
=
2 π
∫ π 0
e−
t/
2
co
s
2n
td
t=
0.
50
4
(
2
1
+
16
n2
)
b n
=
2 π
∫ π 0
e−
t/
2
se
n
2n
td
t=
0,
50
4
(
8n
1
+
16
n2
)
26
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
P
as
sa
nd
o
pa
ra
a
fo
rm
a
co
m
pa
ct
a:
C
0
=
a 0
=
0,
50
4
C
n
=
√ a2 n
+
b
2 n
=
0,
50
4
√
4
(1
+
16
n2
)2
+
64
n2
(1
+
16
n2
)2
=
0,
50
4
(
2
√ 1
+
16
n2
)
θ
n
=
ta
n−
1
( −b
n
a n
) =
ta
n−
1 (
−4
n)
=
−t
an
−1
4n
x(
t)
=
0,
50
4
+
0,
50
4
∞ ∑ n=1
2
√ 1
+
16
n2
co
s
(2
nt
−t
an
−1
4n
)
27
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
N
a
fo
rm
a
co
m
pa
ct
a:
x(
t)
=
0,
50
4
+
0,
24
4
co
s
(2
t−
75
,9
6◦
)
+
0,
12
5
co
s
(4
t−
82
,8
7◦
)
+
0,
08
4
co
s
(6
t−
85
,2
4◦
)
+
0,
06
3
co
s
(8
t−
86
,4
2◦
)
+
..
.
�
R
ep
re
se
nt
aç
ão
gr
áfi
ca
da
fo
rm
a
co
m
pa
ct
a:
28
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
E
xe
m
pl
o:
D
et
er
m
in
e
a
sé
rie
tr
ig
on
om
ét
ric
a
de
Fo
ur
ie
rd
o
si
na
lp
er
ió
di
co
:
N
es
se
ca
so
,o
pe
río
do
é
T 0
=
2
e
ω
0
=
2π T
0
=
π
ra
d/
s.
Po
rt
an
to
,
x(
t)
=
a 0
+
+
∞ ∑ n=1
a n
co
s
nπ
t+
b n
se
n
nπ
t
x(
t)
=
{
2A
t
se
−1
/2
<
t
<
1/
2
2A
(1
−t
)
se
1/
2
<
t
<
3/
2
a 0
=
1 2
∫ 3/
2
−1
/2
x(
t)
dt
=
0
29
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
ões
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
E
xe
m
pl
o:
O
nd
a
tr
ia
ng
ul
ar
:
a n
=
2 2
∫ 3/
2
−1
/2
x(
t)
co
s
nπ
td
t=
∫ 1/
2
−1
/2
2A
tc
os
nπ
td
t+
∫ 3/
2
1/
2
2A
(1
−t
)
co
s
nπ
td
t=
0
b n
=
∫ 1/
2
−1
/2
2A
ts
en
nπ
td
t+
∫ 3/
2
1/
2
2A
(1
−t
)
se
n
nπ
td
t
b n
=
8A n2
π
2
se
n
( nπ 2
) b n
=
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩0
n
pa
r
8A n2
π
2
n
=
1,
5,
9,
13
,.
..
−
8A n2
π
2
n
=
3,
7,
11
,1
5,
..
.
A
ss
im
,
x(
t)
=
8A π
2
[ sen
π
t−
1 9
se
n
3π
t+
1 25
se
n
5π
t−
1 49
se
n
7π
t+
..
.]
30
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
N
a
fo
rm
a
co
m
pa
ct
a,
co
m
o
se
n
kt
=
co
s
(k
t−
90
◦ )
e
−s
en
kt
=
co
s
(k
t+
90
◦ )
:
x(
t)
=
8A π
2
[ cos
(π
t−
90
◦ )
+
1 9
co
s
(3
π
t+
90
◦ )
+
1 25
co
s
(5
π
t−
90
◦ )
+
1 49
co
s
(7
π
t+
90
◦ )
+
..
.]
�
R
ep
re
se
nt
aç
ão
gr
áfi
ca
da
fo
rm
a
co
m
pa
ct
a:
31
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
E
xe
m
pl
o:
E
xp
re
ss
e
a
se
gu
in
te
sé
rie
co
m
o
um
a
sé
rie
tr
ig
on
om
ét
ric
a
de
Fo
ur
ie
re
tra
ce
o
es
pe
ct
ro
de
am
pl
itu
de
e
fa
se
de
x(
t)
:
x(
t)
=
2
+
3
co
s
2t
+
4
se
n
2t
+
2
se
n
(3
t+
30
◦ )
−c
os
(7
t+
15
0◦
)
�
N
a
sé
rie
tr
ig
on
om
ét
ric
a
co
m
pa
ct
a
de
Fo
ur
ie
r,
os
te
rm
os
em
se
no
e
co
ss
en
o
de
m
es
m
a
fre
qu
ên
ci
a
sã
o
co
m
bi
na
do
s
em
um
ún
ic
o
te
rm
o
e
os
te
rm
os
sã
o
de
sc
rit
os
em
co
ss
en
os
co
m
am
pl
itu
de
s
po
si
tiv
as
.
A
ss
im
,
3
co
s
2t
+
4
se
n
2t
=
5
co
s
(2
t−
53
,1
3◦
)
se
n
(3
t+
30
◦ )
=
co
s
(3
t+
30
◦ −
90
)
=
co
s
(3
t−
60
◦ )
−c
os
(7
t+
15
0◦
)
=
co
s
(7
t+
15
0◦
−1
80
◦ )
=
7t
−3
0◦
Po
rt
an
to
,
x(
t)
=
2
+
5
co
s
(2
t−
53
,1
3◦
)
+
2
co
s
(3
t−
60
◦ )
+
co
s
(7
t−
30
◦ )
32
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
N
a
fo
rm
a
co
m
pa
ct
a,
x(
t)
=
2
+
5
co
s
(2
t−
53
,1
3◦
)
+
2
co
s
(3
t−
60
◦ )
+
co
s
(7
t−
30
◦ )
�
R
ep
re
se
nt
aç
ão
gr
áfi
ca
da
fo
rm
a
co
m
pa
ct
a:
33
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
rn
a
Fo
rm
a
E
xp
on
en
ci
al
�
A
té
ag
or
a
fo
ie
st
ud
ad
a
a
fo
rm
a
tr
ig
on
om
ét
ric
a
da
sé
rie
de
Fo
ur
ie
r:
x(
t)
=
a 0
+
∞ ∑ n=1a
n
co
s
nω
t+
∞ ∑ n=1b
n
se
n
nω
t
�
U
sa
nd
o
as
eq
ua
çõ
es
de
E
ul
er
,
co
s
θ
=
( ejθ
+
e−
jθ
) /2
se
n
θ
=
( ejθ
−e
−jθ
) /j2
po
de
m
os
re
es
cr
ev
er
a
fo
rm
a
tr
ig
on
om
ét
ric
a
na
fo
rm
a
ex
po
ne
nc
ia
l:
x(
t)
=
a 0
+
∞ ∑ n=1a
n
( ejnω
t
+
e−
jn
ω
t)
2
+
∞ ∑ n=1−
jb
n
( ejnω
t
−e
−jn
ω
t)
2
34
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
rn
a
Fo
rm
a
E
xp
on
en
ci
al
�
C
on
tin
ua
nd
o:
x(
t)
=
a 0
+
∞ ∑ n=1
a n
−j
b n
2
ej
nω
t
+
∞ ∑ n=1
a n
+
jb
n
2
e−
jn
ω
t
x(
t)
=
a 0
+
∞ ∑ n=1
a n
−j
b n
2
ej
nω
t
+
−∞ ∑ n=−1
a n
−j
b n
2
ej
nω
t
x(
t)
=
∞ ∑ n=−∞
a n
−j
b n
2
ej
nω
t
=
∞ ∑ n=−∞
C
n
ej
nω
t
em
qu
e,
C
n
=
a n
−j
b n
2
ou
C
n
=
1 T 0
∫ T 0
x(
t)
e−
jn
ω
t
dt
35
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
rn
a
Fo
rm
a
E
xp
on
en
ci
al
�
E
xe
m
pl
o:
D
et
er
m
in
e
a
sé
rie
ex
po
ne
nc
ia
ld
e
Fo
ur
ie
rd
o
si
na
l
pe
rió
di
co
:
N
es
se
ca
so
,o
pe
río
do
é
T 0
=
π
e
ω
0
=
2π T
0
=
2r
ad
/s
.
Po
rt
an
to
,
x(
t)
=
∞ ∑ n=−∞
C
n
ej
2n
t
C
n
=
1 T 0
∫ T 0
x(
t)
e−
j2
nt
dt
=
1 π
∫ π 0
e−
t/
2
e−
j2
nt
dt
=
1 π
∫ π 0
e−
(1
/2
+
j2
nt
)t
dt
,
C
n
=
−1
π
( 1 2+
j2
n) e
−(
1/
2+
j2
n)
t∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣π 0=
0,
50
4
1
+
j4
n
36
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
x(
t)
=
0,
50
4
∞ ∑ n=−∞
1
1
+
j4
n
ej
2n
t ,
x(
t)
=
0,
50
4
[ 1+
1
1
+
j4
ej
2t
+
1
1
+
j8
ej
4t
+
1
1
+
j1
2
ej
6t
+
..
.
+
1
1
−j
4
e−
j2
t
+
1
1
−j
8
e−
j4
t
+
1
1
−j
12
e−
j6
t
+
..
.]
�
R
ep
re
se
nt
aç
ão
gr
áfi
ca
da
fo
rm
a
co
m
pa
ct
a:
37
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
A
Tr
an
sf
or
m
ad
a
de
Fo
ur
ie
r
�
A
té
ag
or
a,
ap
en
as
si
na
is
pe
rió
di
co
s
fo
ra
m
ab
or
da
do
s,
o
qu
e
fa
ze
rc
om
si
na
is
nã
o-
pe
rió
di
co
s?
�
C
on
si
de
re
um
si
na
lp
er
ió
di
co
x T
0
(t
)
fo
rm
ad
o
pe
la
re
pe
tiç
ão
de
um
si
na
ln
ão
-p
er
ió
di
co
x(
t)
em
in
te
rv
al
os
de
T 0
se
gu
nd
os
.
O
si
na
lp
er
ió
di
co
x T
0
(t
)
po
de
se
rr
ep
re
se
nt
ad
o
po
ru
m
sé
rie
ex
po
ne
nc
ia
ld
e
Fo
ur
ie
r.
�
S
e
fiz
er
m
os
T 0
→
∞:
lim T 0
→
∞
x T
0
(t
)
=
x(
t)
�
A
sé
rie
de
Fo
ur
ie
rq
ue
re
pr
es
en
ta
x T
0
(t
)
ta
m
bé
m
irá
re
pr
es
en
ta
r
x(
t)
no
lim
ite
de
T 0
→
∞.
A
sé
rie
ex
po
ne
nc
ia
ld
e
Fo
ur
ie
rp
ar
a
x T
0
(t
)
é
da
da
po
r:
x T
0
(t
)
=
∞ ∑ n=−∞
C
n
ej
nω
0
t
e
C
n
=
1 T 0
∫ T 0
/2
−T
0/
2
x T
0
(t
)e
−jn
ω
0t
dt
38
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
A
Tr
an
sf
or
m
ad
a
de
Fo
ur
ie
r
�
U
m
a
ve
z
qu
e
x T
0
(t
)
=
x(
t)
no
in
te
rv
al
o
(−
T 0
/2
,
T 0
/2
)
e
x(
t)
=
0
fo
ra
de
ss
e
in
te
rv
al
o:
C
n
=
1 T 0
∫ T
0
/2
−T
0
/2
x(
t)
e−
jn
ω
0
t
dt
=
1 T 0
∫ ∞ −∞
x(
t)
e−
jn
ω
0
t
dt
�
D
efi
ne
-s
e
um
a
fu
nç
ão
co
nt
ínua
de
ω
po
r,
X
(j
ω
)
=
∫ ∞ −∞
x(
t)
e−
jω
t
dt
,
e,
po
rt
an
to
,
C
n
=
1 T
0
X
(j
nω
0)
�
A
ss
im
,
x T
0
(t
)
=
∞ ∑ n=−∞
1 T 0
X
(j
nω
0
)e
jn
ω
0
t
=
1 2π
∞ ∑ n=−∞
X
(j
nω
0
)e
jn
ω
0
t ω
0
�
C
om
o
T 0
→
∞,
x T
0
(t
)
ap
ro
xi
m
a
x(
t)
,n
o
lim
ite
,a
eq
ua
çã
o
an
te
rio
rr
ep
re
se
nt
a
ta
m
bé
m
x(
t)
.
A
lé
m
di
ss
o,
co
m
o
ω
0
→
0
qu
an
do
T 0
→
∞,
o
la
do
di
re
ito
da
eq
ua
çã
o
pa
ss
a
a
se
ru
m
a
in
te
gr
al
e
o
es
pe
ct
ro
pa
ss
a
a
se
rc
on
tín
uo
.
39
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
A
Tr
an
sf
or
m
ad
a
de
Fo
ur
ie
r
�
D
es
sa
fo
rm
a,
ch
eg
a-
se
na
Tr
an
sf
or
m
ad
a
de
Fo
ur
ie
re
su
a
in
ve
rs
a:
F{
x(
t)
}=
X
(j
ω
)
=
∫ ∞ −∞
x(
t)
e−
jω
t
dt
F−
1
{X
(j
ω
)}
=
x(
t)
=
1 2π
∫ ∞ −∞
X
(j
ω
)e
jω
t
dω
�
R
el
em
br
ad
o
a
Tr
an
sf
or
m
ad
a
bi
la
te
ra
ld
e
La
pl
ac
e:
L{
x(
t)
}=
X
(s
)
=
∫ ∞ −∞
x(
t)
e−
s
t
dt
co
nc
lu
i-s
e
qu
e
a
tra
ns
fo
rm
a
de
Fo
ur
ie
ré
um
ca
so
es
pe
ci
al
da
tra
ns
fo
rm
ad
a
de
La
pl
ac
e
qu
an
do
s
=
jω
,o
u
se
ja
,σ
=
0
(s
=
σ
+
jω
)–
no
ca
so
em
qu
e
o
ei
xo
im
ag
in
ár
io
do
pl
an
o
s
es
tá
in
se
rid
o
na
re
gi
ão
de
co
nv
er
gê
nc
ia
da
tra
ns
fo
rm
ad
a
de
La
pl
ac
e.
40
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
A
Tr
an
sf
or
m
ad
a
de
Fo
ur
ie
r
�
D
et
er
m
in
e
a
tra
ns
fo
rm
ad
a
de
Fo
ur
ie
rd
e
x(
t)
=
e−
at
.
F{
x(
t)
}=
X
(j
ω
)
=
∫ ∞ −∞
x(
t)
e−
jω
t
dt
=
∫ ∞ −∞
e−
at
e−
jω
t
dt
X
(j
ω
)
=
∫ ∞ 0
e−
(a
+
jω
)t
dt
=
−1
a
+
jω
e−
(a
+
jω
)t
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∞ 0
X
(j
ω
)
=
1
a
+
jω
,
a
>
0
�
E
xp
re
ss
an
do
a
+
jω
na
fo
rm
a
po
la
rc
om
o
√ a2
+
ω
2
ej
ta
n−
1 (
ω
/a
) ,
X
(j
ω
)
=
1
√ a2
+
ω
2
e−
jta
n−
1 (
ω
/a
)
Po
rt
an
to
,
|X
(j
ω
)|=
1
√ a2
+
ω
2
,
e
∠X
(j
ω
)
=
−t
an
−1
ω a
41
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
A
Tr
an
sf
or
m
ad
a
de
Fo
ur
ie
r
�
A
fo
rm
a
gr
áfi
ca
de |X
(j
ω
)|=
1
√ a2
+
ω
2
,
e
∠X
(j
ω
)
=
−t
an
−1
ω a
é
m
os
tra
da
ab
ai
xo
.
42
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
A
Tr
an
sf
or
m
ad
a
de
Fo
ur
ie
r
�
D
et
er
m
in
e
a
tra
ns
fo
rm
ad
a
de
Fo
ur
ie
rd
e
x(
t)
=
δ(
t)
.
F{
x(
t)
}=
X
(j
ω
)
=
∫ ∞ −∞
δ(
t)
e−
jω
t
dt
=
1
�
Q
ua
la
im
po
rt
ân
ci
a
di
ss
o?
43
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
A
Tr
an
sf
or
m
ad
a
de
Fo
ur
ie
r
�
D
et
er
m
in
e
a
tra
ns
fo
rm
ad
a
de
Fo
ur
ie
rd
e
um
pu
ls
o
re
ta
ng
ul
ar
:
x(
t)
=
{ 1
se
−T
<
t
<
T
0
se
|t|
>
T
�
O
pu
ls
o
re
ta
ng
ul
ar
é
ab
so
lu
ta
m
en
te
in
te
gr
áv
el
(T
<
∞)
:
F{
x(
t)
}=
X
(j
ω
)
=
∫ ∞ −∞
x(
t)
e−
jω
t
dt
=
∫ T −T
e−
jω
t
dt
X
(j
ω
)
=
−
1 jω
e−
jω
t∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣T −T
=
2 ω
se
n(
ω
T)
,
ω
�
0
�
P
ar
a
ω
=
0,
a
in
te
gr
al
se
si
m
pl
ifi
ca
pa
ra
2T
.
O
es
pe
ct
ro
de
m
ag
ni
tu
de
é:
|X
(j
ω
)|=
2
∣ ∣ ∣ ∣ ∣sen
ω
T
ω
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
44
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
A
Tr
an
sf
or
m
ad
a
de
Fo
ur
ie
r
�
O
es
pe
ct
ro
de
fa
se
é
da
do
po
r:
∠X
(j
ω
)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩0
se
se
n
(ω
t)
ω
>
0
π
se
se
n
(ω
t)
ω
<
0
45
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
A
Tr
an
sf
or
m
ad
a
D
is
cr
et
a
de
Fo
ur
ie
r
�
A
ve
rs
ão
di
sc
re
ta
da
Tr
an
sf
or
m
ad
a
de
Fo
ur
ie
ré
da
da
po
r:
X
(e
jΩ
)
=
∞ ∑ n=−∞
x[
n]
e−
jΩ
n
x[
n]
=
1 2π
∫ π −π
X
(e
jΩ
)e
jΩ
n
dΩ
�
A
Tr
an
sf
or
m
ad
a
R
áp
id
a
de
Fo
ur
ie
r(
FF
T)
re
du
z
dr
as
tic
am
en
te
o
nú
m
er
o
de
cá
lc
ul
os
ne
ce
ss
ár
io
s
pa
ra
ca
lc
ul
ar
a
tra
ns
fo
rm
ad
a
di
sc
re
ta
de
Fo
ur
ie
r,
da
or
de
m
de
N
2
pa
ra
N
lo
g
N
46
/4
7
R
ep
re
se
nt
aç
õe
s
de
Fo
ur
ie
r
S
im
ul
aç
õe
s
C
om
pu
ta
ci
on
ai
s
�
C
on
vo
lu
çã
o
no
te
m
po
di
sc
re
to
�
C
on
vo
lu
çã
o
no
te
m
po
co
nt
ín
uo
�
S
ér
ie
s
de
Fo
ur
ie
r
�
Tr
an
sf
or
m
ad
a
R
áp
id
a
de
Fo
ur
ie
r(
ex
.
fu
nç
ão
so
m
a
de
se
nó
id
es
e
a
sé
rie
S
un
sp
ot
s)
�
S
im
ul
aç
ão
qu
e
ilu
st
ra
a
re
la
çã
o
en
tre
en
tra
da
e
sa
íd
a
de
fil
tro
s
47
/4
7