gne114_notasdeaula4_20101

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Números complexos
Revisão
Exemplo Massa-Mola
Eq. Diferencial básica ( leis de Newton e Hooke )
 s/atrito
m
2
2
dt
xd + k.x = 0
k = cte da mola
x = x0 em t = 0
dt
dx
 = 0 em t = 0
x = A . est
s2 = - 
m
k
s1 = j
m
k
s2 = -j
m
k
onde j = 1−
 m
x0
x
x = A . e j m
k .t + B.e – j m
k .t
aplicando as condições iniciais ( t = 0 )
x0 = A + B
dt
dx
 = j .
m
k (A . e j . m
k t – B . e – j. m
k t )
0 = A –B A = B
A = 
2
0x
x = x0 . (
2
.. t
e
t
e m
kj
m
kj −
+ )
Fórmulas de Euler
cos
m
k . t = (
2
.. t
e
t
e m
kj
m
kj −
+ )
sen
m
k . t = (
j
ee
t
m
kjt
m
kj
2
.. −
− )
e jθ = cosθ + j . senθ 
e jθ = cosθ - j . senθ
x = x0 . cos (
m
k
)t
Representação de N-os complexos
Ā = A . e j .θ = A θ
 imaginário
 Ā= A . e j .θ
A 
Ai θ
 
 Ar real
Ā = 22 ir AA +
Ā = Ar + j . Ai
N-os complexos ( exercícios )
1 – Resolva :
a ) j2 + j3 – j6 – j8 = – j9
b ) j2 . (– j3 ) . ( j4 ) . (– j6 ) = 144
c )
25,0
1
j
 = – j4
d )
8
100
j
j
 = 12,5
2 – Converta p/ forma polar
a )
b )
c )
d )
6 + j 9 =
22 96 + arctg (
6
9
) = 10,8 56,3o
-21,4 + j33,3 = 
22 3,334,21( +− tg - 1 (
4,21
3,33
−
) = 39,6 122,7o
-0,521 – j1,42 =
22 )42,1()521,0( −+− tg -1 ( 
521,0
42,1
−
−
) = 1,51 -110o
4,23 + j4,23 = 5,98 45o
3 – Encontre os resultados
a )
 
3. 4. –5. –6 250 – 600 + 1200 -2100 =
 
360 -1250
b )
0,5 53,10 . 7,81 129,80 . 7 350 . 12,04 -131,60 =
 
329 86,30
 
c )
 
0,34 + 0,51 = 0,61 56,30
4 – Encontre vs
v1 = 10,2 . sen ( 754 t + 30o ) V 
v2 = 14,9 . sen ( 754 t  10o ) V 
v3 = 16,1 . cos ( 754 t  25o ) V
vs = 
2
2,10
300 + 
2
9,14
-100 + 
2
1,16
-250 + 900
 7,2 300 + 10,5 -100 + 11,3 650 = 6,2 + j.3,6 + 10,3 – j.1,8 + 4,7 + j.10,2
 
 21,2 + j . 12 = 24,3 29o
 vs = 24,3 . 2 . sen ( 754. t + 29o ) V
Fim – Números Complexos
3 250 . 4 -600 . -5 1200 . -6 -2100 =
 ( 0,3 + j0,4 ) . (-5 + j6 ). 7 350 (-8 -j9 ) =
9 450 + 10 -1200 + 3 1100 = 6,36 + j6,36 – 5 –j8,66 – 1,02 + j2,81 = 
vs
v1
v2
v3