gne114_notasdeaula41_20101

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Análise Clássica da Resposta Forçada Senoidal e Impedância 
 
Os fenômenos elétricos ocorrem no domínio do tempo, daí as soluções envolverem equações complexas 
que reproduzem os eventos temporalmente. 
 
Um exemplo pode ser visto ao se buscar resolver o circuito simples a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio do tempo 
 
L
dt
di
 + Ri = Vm . cos ( w.t + φ ) 
 
i = -Vm 222
cos
LwR
wLsenR
+
+ φφ e tL
R ).(−
 + 222 LwR
R
+
Vm . cos ( w.t + φ ) + 
+ 222
.
LwR
Lw
+
Vm . sen ( w.t + φ ) 
 
 
vg = Vm .cos ( w.t +φ ) 
i
vL L 
RvR + 
 
-
Forma fatorial – Domínio da freqüência 
 
A equação anterior representa a solução do circuito no domínio do tempo, e se mostra complexa. Uma 
outra forma de se resolver os circuitos pode ser adotando um outro domínio, que neste caso é o domínio 
da freqüência, onde por meio de fasores as soluções ficam mais imediatas. 
Abaixo, se vê o símbolo da corrente fasorial que pode ser representada pela relação de tensão e 
impedância elétrica, ambas fasoriais. 
 
 
İ = 
RLwj
eV jm
+..
. φ
 = 
( )
Z
•
φmV 
 
 
 
Uma forma simplificada no domínio de tempo pode ser vista a seguir 
 
i = 
222
).cos(.
LwR
twVm
+
−+ ϕφ
 
 
ϕ = arctg 
R
Lw.
 
Impedância 
 
vL = L dt
dil VL = j.w.L.IL 
ic = c dt
dvc Ic = j.w.c.Vc 
 
vR = R . iR VR = R . IR 
 
ZL = 
l
l
i
v
 = j.w.l 
Zc = 
c
c
I
V
 = 
cw
j
cwj ...
1 −
= 
 
ZR = =
R
R
I
V
R 
 
 
 
 
Exemplo anterior, agora no domínio da frequência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vg = RI + j.w.L.I 
I = 
LwjR
Vg
..+
 
 
 
 
i 
vL 
R
+ 
 
- 
vR 
Vg = Vmejφ 
j.w.L
Potência 
 
p = v . i v = Vm . sen (w.t + θ ) 
 
 i = Im . sen (w.t ) 
 
p = Vm . Im . sen ( w.t + θ ) . sen ( w.t ) 
 senA . senB = 
2
1
 (cos (A – B ) – cos (A + B )) 
p = 
2
. mm iv ( cosθ - cos ( 2wt + θ ) 
p = 
22
mm Iv ( cosθ - cos ( 2wt + θ ) 
 
p = V.I.cosθ - V.I.cos ( 2wt + θ ) 
 
 potência média 
 
 
potência instantânea 
 
P = V.I.cosθ potência ativa (w ) 
 
Q = V.I.senθ potência reativa (VAr ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos ( x + y ) = cosx . cosy – senx . seny 
 
cos (2.w.t + θ ) = cos2wt . cosθ - sen2wt . senθ 
 
V.I . (cosθ - cos2wt . cosθ - sen2wt . senθ ) 
 
V.I . ( cosθ ( 1 – cos2wt ) - senθ . sen2wt ) 
 
p/ 
 P = V.I.cosθ 
 
e definido 
 
Q
∆
= V.I.senθ 
 
pa ( t ) = P (1 – cos2.w.t ) – Q.sen2.w.t 
 
sen2wt = 
2
)( 22 wtjwtj eej −−−
 
 
S 
P 
θ 
Q 
S = 22 QP + potência aparente (VA ) 
 
S = V.I 
 
S = P + j.Q 
 
 
Exemplo 
 
Encontre vs para o circuito : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vs = vr + vc + vl 
 
Vr = ( 0,234.sen (3000t – 100 ) ) . 270 = 63,2.sen ( 3000.t – 100 ).V 
 
Vl : wl = 3000.(120 – 10-3 ) = 360Ω 
 
Vl = ( 0,234.sen ( 3000.t –100 + 90o ) ).360 = 84,2.sen ( 3000.t + 80o ).V 
 
Vc : 
 
cw.
1
 = 6106.3000
1
−x
 = 55,6Ω 
 
 Vc = ( 0,234.sen ( 3000.t –10o – 90o ) ) .55,6 = 13.sen . ( 3000.t –100o ).V 
 
 
 
62,04 – j10,94 + 14,62 + j82,92 + ( - 2,25 ) + j ( -12,80 ) 
 
74,41 + j59,17 
 
 
 
Vs = 95.sen ( 3000.t + 38o ).V 
 
Vs = Vr + Vl + Vc = 63 -10o + 84,2 80o + 13 -100o 
Vs = 95 38o 
270Ω 120mH 
6µ F 
 + 
 vs 
 - 
0,234.sen(3000t – 100 ) 
+ - 
 vr 
+ -
 vl 
 +
vc 
 -
Exemplos para o cálculo de potência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v = V.sen w.t 
 i= 
jxlR
v
+
 I = 
z
v
jxlR
v
=
+
 
 
P =V.I 
 
S = V.I 
 
P = V.I.cosϕ 
 
 Lâmpada ou / e chuveiro 
 
 S = P = 
2127
R
= V.I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I = 
z
V
 = 
)2(
)0(
R
flarctgz
v o
π
 
 
 
 
 
 
z = R + j XL 
 
 
 
 
S = V . I 
 
 
 
 
 
 
 
127V 0o 
127V 0o 
R 
L V i 
R 
L 
1H 
R 
 
Exercício : Ache It 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20µ F 
6mH 
V =150 . sen ( 2500.t –340 ) V 
10Ω 
il ic ir It 
Fim – Análise Clássica da Resposta Senoidal; Impedãncia