equação do plano - calculo 3

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MA141 - Prof. Stefano De Leo
[A05-3.1]
Planos e Retas
1) Escrever a equação do plano que passa pelo ponto P1 = (2, 1,−1), sabendo que o vetor−→V = (1,−2, 3)
é normal ao plano.
Res
Consideramos um ponto qualquer, P = (x, y, z), que pertence ao plano. O vetor
−−→
P1P que pertence ao
plano é perpendicular ao vetor
−→
V , então temos
−−→
P1P · −→V = 0 ⇒ (x− 2, y − 1, z + 1) · (1,−2, 3) = 0 ⇒ x− 2− 2y + 2 + 3z + 3 = 0 .
x− 2y + 3z + 3 = 0
2) Escrever a equação do plano que passa pelos pontos P1 = (3,−1, 2), P2 = (4,−1,−1) e P3 = (2, 0, 2)
.
Res
Os vetores
−−→
P1P ,
−−→
P1P2 e
−−→
P1P3 pertencem ao plano. Consequentemente
−−→
P1P · −−→P1P2 × −−→P1P3 = 0 ⇒
∣∣∣∣∣∣
x− 3 y + 1 z − 2
1 0 −3
−1 1 0
∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ 3 (x− 3) + 3 (y + 1) + z − 2 = 0 .
3x+ 3y + z − 8 = 0
3) Escrever a equação do plano que passa pelos pontos P1 = (2,−1, 3) e P2 = (3, 1, 2), sabendo que o
vetor
−→
V = (3,−1,−4) é paralelo ao plano.
Res
Os vetores
−−→
P1P e
−−→
P1P2 pertencem ao plano e o vetor
−→
V é paralelo ao plano. Consequentemente
−−→
P1P · −−→P1P2 × −→V = 0 ⇒
∣∣∣∣∣∣
x− 2 y + 1 z − 3
1 2 −1
3 −1 −4
∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ −9 (x− 2) + y + 1− 7 (z − 3) = 0 .
9x− y + 7z − 40 = 0
[A05-3.2]
4) Escrever a equação do plano que passa pelo ponto P1 = (3, 4,−5), sabendo que V eW , V = (3, 1,−1)
e W = (1,−2, 1), são vetores paralelos ao plano.
Res
O vetor
−−→
P1P pertence ao plano e os vetores
−→
V e
−→
W são paralelos ao plano. Consequentemente
−−→
P1P · −→V × −→W = 0 ⇒
∣∣∣∣∣∣
x− 3 y − 4 z + 5
3 1 −1
1 −2 1
∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ −x+ 3− 4 (y − 4)− 7 (z + 5) = 0 .
x+ 4y + 7z + 16 = 0
5) Escrever as equações paramêtricas da reta{
2x+ y − z − 3 = 0 ,
x+ y + z − 1 = 0 .
Res
Seja z = t o nosso parámetro. Re-escrevemos o sistema em forma matricial(
2 1
1 1
) (
x
y
)
=
(
3 + t
1− t
)
⇒
(
x
y
)
=
(
1 −1
−1 2
) (
3 + t
1− t
)
=
(
2 + 2t
−1− 3t
)
P (t) = (2,−1, 0) + (2,−3, 1) t
6) Dada a reta {
2x+ y − z − 3 = 0 ,
x+ y + z −D = 0 ,
determinar o valor de D que garante que a reta cruze o eixo x. Calcular o ponto de intersecção.
Res
A reta que representa o eixo x é dado pela intersecção dos planos y = 0 e z = 0. Consequentemente,
impondo y = z = 0 no sistema dado temos 2x = 3 e x = D que implica D = 32 .
P0 =
(
3
2 , 0, 0
)
MA141 Stefano De Leo