Método do Ponto Fixo - Parte I

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Me´todo do Ponto Fixo - Parte I
Ca´lculo Nume´rico - Turma D - Semana 2
22 de Marc¸o de 2016
Ca´lculo Nume´rico - Turma D - Semana 2 Me´todo do Ponto Fixo - Parte I 22 de Marc¸o de 2016 1 / 27
Suma´rio da Aula
1 Ponto Fixo de uma func¸a˜o
2 Descric¸a˜o do Me´todo do Ponto Fixo
3 Convergeˆncia do MPF
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Ponto fixo de uma func¸a˜o
Definic¸a˜o 1
Dizemos que o nu´mero c e´ um ponto fixo da func¸a˜o g se
g(c) = c
Para determinarmos os pontos fixos de uma func¸a˜o g devemos resolver a
equac¸a˜o
g(x) = x ⇔ g(x)− x = 0
Da´ı percebemos que
g admite um ponto fixo ⇐⇒ seu gra´fico intercepta a reta y = x
Logo, nem toda func¸a˜o admite um ponto fixo.
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Ponto fixo de uma func¸a˜o
Definic¸a˜o 1
Dizemos que o nu´mero c e´ um ponto fixo da func¸a˜o g se
g(c) = c
Para determinarmos os pontos fixos de uma func¸a˜o g devemos resolver a
equac¸a˜o
g(x) = x ⇔ g(x)− x = 0
Da´ı percebemos que
g admite um ponto fixo ⇐⇒ seu gra´fico intercepta a reta y = x
Logo, nem toda func¸a˜o admite um ponto fixo.
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Exemplo A func¸a˜o g(x) = x2 − 2 tem dois pontos fixos, c = −1 e c = 2,
que sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o
g(x)− x = (x2 − 2)− x = 0
Figura: Os pontos fixos de g e sua intersec¸a˜o com a reta y = x
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Exemplo A func¸a˜o g(x) = x2 − 2 tem dois pontos fixos, c = −1 e c = 2,
que sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o
g(x)− x = (x2 − 2)− x = 0
Figura: Os pontos fixos de g e sua intersec¸a˜o com a reta y = x
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Pergunta 1
Qual a relac¸a˜o entre as raizes de uma equac¸a˜o f (x) = 0 e o conceito de
ponto fixo?
Resposta: Podemos manipular f (x) = 0 e obter uma equac¸a˜o de ponto
fixo g(x) = x . Assim teremos
f (x) = g(x)− x
Logo, se c e´ uma raiz de f (x) = 0 enta˜o c e´ um ponto fixo de g pois
f (c) = g(c)− c = 0⇐⇒ g(c) = c
Portanto: Se f (x) = g(x)− x temos que
c e´ raiz de f (x) = 0⇐⇒ c e´ ponto fixo de g
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Pergunta 1
Qual a relac¸a˜o entre as raizes de uma equac¸a˜o f (x) = 0 e o conceito de
ponto fixo?
Resposta: Podemos manipular f (x) = 0 e obter uma equac¸a˜o de ponto
fixo g(x) = x . Assim teremos
f (x) = g(x)− x
Logo, se c e´ uma raiz de f (x) = 0 enta˜o c e´ um ponto fixo de g pois
f (c) = g(c)− c = 0⇐⇒ g(c) = c
Portanto: Se f (x) = g(x)− x temos que
c e´ raiz de f (x) = 0⇐⇒ c e´ ponto fixo de g
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Pergunta 1
Qual a relac¸a˜o entre as raizes de uma equac¸a˜o f (x) = 0 e o conceito de
ponto fixo?
Resposta: Podemos manipular f (x) = 0 e obter uma equac¸a˜o de ponto
fixo g(x) = x . Assim teremos
f (x) = g(x)− x
Logo, se c e´ uma raiz de f (x) = 0 enta˜o c e´ um ponto fixo de g pois
f (c) = g(c)− c = 0⇐⇒ g(c) = c
Portanto: Se f (x) = g(x)− x temos que
c e´ raiz de f (x) = 0⇐⇒ c e´ ponto fixo de g
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Exemplo Encontrar uma func¸a˜o auxiliar com ponto fixo a partir de
f (x) = x3 + x − 1 = 0.
Opc¸a˜o 1: x3 + x − 1 = 0⇐⇒ 1− x3︸ ︷︷ ︸
g(x)
= x
Opc¸a˜o 2: x3 + x − 1 = 0⇐⇒ x = 3√1− x︸ ︷︷ ︸
g(x)
Opc¸a˜o 3: x3 + x − 1 = 0⇐⇒+2x3 x =
1 + 2x3
1 + 3x2︸ ︷︷ ︸
g(x)
Observa-se da´ı que pode haver uma infinidade de opc¸o˜es para g contudo,
veremos que nem todas sera˜o de utilidade �
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Exemplo Encontrar uma func¸a˜o auxiliar com ponto fixo a partir de
f (x) = x3 + x − 1 = 0.
Opc¸a˜o 1: x3 + x − 1 = 0⇐⇒ 1− x3︸ ︷︷ ︸
g(x)
= x
Opc¸a˜o 2: x3 + x − 1 = 0⇐⇒ x = 3√1− x︸ ︷︷ ︸
g(x)
Opc¸a˜o 3: x3 + x − 1 = 0⇐⇒+2x3 x =
1 + 2x3
1 + 3x2︸ ︷︷ ︸
g(x)
Observa-se da´ı que pode haver uma infinidade de opc¸o˜es para g contudo,
veremos que nem todas sera˜o de utilidade �
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Definic¸a˜o 2
O Me´todo do Ponto Fixo (MPF), tambe´m chamado de Me´todo das
Aproximac¸o˜es Sucessivas, produz uma sequeˆncia {xn}∞k=0, na˜o
necessariamente convergente, dada por
x0 = tentativa inicial
x1 = g(x0)
x2 = g(x1)
...
xn+1 = g(xn) para todo n
Apesar que {xn}∞n=0 pode ser divergente, caso ela convirja para um
nu´mero c , enta˜o este sera´ o ponto fixo de g .
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Interpretac¸a˜o Geome´trica do MPF
A ide´ia da iterac¸a˜o xn+1 = g(xn) e´ se aproximar do ponto de intersec¸a˜o
entre y = g(x) e y = x atrave´s de uma poligonal cujos ve´rtices se
alternam entre o gra´fico de y = g(x) e de y = x .
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Algoritmo 2. Me´todo do Ponto Fixo
ENTRADAS: x0 - aproximac¸a˜o inicial; TOL - toleraˆncia; N0 - nu´mero ma´ximo de
iterac¸o˜es
SAIDA: Aproximac¸a˜o do ponto fixo xn ou mensagem de erro
Passo 1 i := 1;
Passo 2 Enquanto i ≤ N0, fac¸a Passo 3 ate´ Passo 6
Passo 3 xn := g(x0); (Calcule xn)
Passo 4 Se |xn − x0| < TOL enta˜o
Escreva(xn);
Pare.
Passo 5 i := i + 1;
Passo 6 x0 := xn; (Atualize x0)
Passo 7 Escreva(”Processamento encerrado apo´s n0=”, n0, ”interac¸o˜es”);
FIM.
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Fatos sobre func¸o˜es com ponto fixo
Teorema do Ponto Fixo de Brouwer Seja g : [a, b]→ [a, b] cont´ınua.
Enta˜o existe pelo menos um c ∈ [a, b] tal que g(c) = c (Exerc´ıcio)
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Fatos sobre func¸o˜es com ponto fixo
Unicidade do Ponto Fixo num Intervalo Seja g : [a, b]→ [a, b]
cont´ınua. Suponha que exista 0 < k < 1 tal que
|g ′(x)| ≤ k
para todo x ∈ (a, b). Enta˜o existe um u´nico ponto fixo de g em [a, b]
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Convergeˆncia do MPF
Teorema 1
Seja g cont´ınua em R. Considere a sequeˆncia {xn}∞n=0 dada por
xn+1 = g(xn) para todo n. Se {xn}∞n=0 converge para c enta˜o c e´ um
ponto fixo de g .
Demonstrac¸a˜o. Suponha que lim xn = c e que g e´ cont´ınua. Podemos
”aplicar”g em ambos os lados da equac¸a˜o
lim xn = c ⇒ lim g(xn) = g(c)
Mas xn+1 = g(xn) para todo n. Ale´m disso, se lim xn = c , enta˜o
lim xn+1 = c , logo
g(c) = lim g(xn) = lim xn+1 = c
Ou seja, c e´ um ponto fixo de g �
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Convergeˆncia do MPF
Teorema 1
Seja g cont´ınua em R. Considere a sequeˆncia {xn}∞n=0 dada por
xn+1 = g(xn) para todo n. Se {xn}∞n=0 converge para c enta˜o c e´ um
ponto fixo de g .
Demonstrac¸a˜o. Suponha que lim xn = c e que g e´ cont´ınua. Podemos
”aplicar”g em ambos os lados da equac¸a˜o
lim xn = c ⇒ lim g(xn) = g(c)
Mas xn+1 = g(xn) para todo n. Ale´m disso, se lim xn = c , enta˜o
lim xn+1 = c , logo
g(c) = lim g(xn) = lim xn+1 = c
Ou seja, c e´ um ponto fixo de g �
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Convergeˆncia do MPF
Teorema 1
Seja g cont´ınua em R. Considere a sequeˆncia {xn}∞n=0 dada por
xn+1 = g(xn)para todo n. Se {xn}∞n=0 converge para c enta˜o c e´ um
ponto fixo de g .
Demonstrac¸a˜o. Suponha que lim xn = c e que g e´ cont´ınua. Podemos
”aplicar”g em ambos os lados da equac¸a˜o
lim xn = c ⇒ lim g(xn) = g(c)
Mas xn+1 = g(xn) para todo n. Ale´m disso, se lim xn = c , enta˜o
lim xn+1 = c , logo
g(c) = lim g(xn) = lim xn+1 = c
Ou seja, c e´ um ponto fixo de g �
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Exemplo. Considere as func¸o˜es auxiliares do exemplo anterior para tentar
obter uma raiz de f (x) = x3 + x − 1 = 0 atrave´s do MPF.
Caso g1(x) =
3
√
1− x com x0 = 0, 5
Figura: A igualdade entre colunas revela a aproximac¸a˜o para o ponto fixo de g .
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Percebe-se que o MPF gera uma sequeˆncia aparentemente convergente.
Como g(x) foi obtida a partir de f (x) = 0 enta˜o a aproximac¸a˜o do ponto
fixo de g e´ tambe´m aproximac¸a˜o para a raiz de f (x) = 0
Figura: As iterac¸o˜es do MPF e a aproximac¸a˜o da raiz de f
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Caso g2(x) = 1− x3 com x0 = 0, 5
Figura: A sequeˆncia gerada pelo MPF e´ divergente.
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Caso g3(x) =
1+2x3
1+3x2
com x0 = 0, 5
Figura: A sequeˆncia gerada pelo MPF e´ convergente, mais rapidamente que g1 .
Surge naturalmente a:
Pergunta 2
Como determinar se o MPF ira´ gerar aproximac¸o˜es do ponto fixo? A
escolha x0 influencia?
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Caso g3(x) =
1+2x3
1+3x2
com x0 = 0, 5
Figura: A sequeˆncia gerada pelo MPF e´ convergente, mais rapidamente que g1 .
Surge naturalmente a:
Pergunta 2
Como determinar se o MPF ira´ gerar aproximac¸o˜es do ponto fixo? A
escolha x0 influencia?
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Condic¸o˜es Necessa´rias para Convergeˆncia
Uma alternativa positiva para a Pergunta 2 e´ o:
Teorema 2
Seja c uma raiz isolada de f (x) = 0 no intervalo I = [a, b] e seja g tal que
g(c) = c . Suponha que
a g e g ′ sa˜o cont´ınuas em I ;
b |g ′(x)| ≤ k < 1 para algum k
c x0 ∈ I e para todo n, xn+1 = g(xn) ∈ I
Enta˜o a sequeˆncia {xn}∞n=0 converge para c
⇒ Veja que x0 pode ser qualquer dentro de I
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Como encontrar k tal que |f (x)| ≤ k para todo x ∈ I? Podemos escolher:
k ≥ maxx∈I |f (x)| = {maior valor de |f (x)| para x ∈ I}
1 Te´cnica 1. Mostre que f e´ crescente ou decrescente em I (ou seja,
f ′(x) > 0 ou f ′(x) > 0 em I, respectivamente). Isso garantira´ que
f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) ou f (b) ≤ f (x) ≤ f (a)
Da´ı, basta escolher k = max{f (a), f (b)}
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2 Te´cnica 2.
a Se f (x) > 0 enta˜o procure um ponto de ma´ximo global em I.
b Se f (x) < 0 enta˜o procure um ponto de m´ınimo global em I. (Que
sera´ um ponto de ma´ximo global de |f (x)|)
Com isso teremos
|f (x)| ≤ |f (p)| para todo x ∈ I
E podemos fazer
k ≥ |f (p)|
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Vamos analisar as opc¸o˜es do Exemplo anterior, a` luz do Teorema 2
g1(x) =
3
√
1− x no intervalo I = [0, 0.75],que conte´m uma raiz de
f (x) = 0. (Caso convergente)
a1 g1(x) =
3
√
1− x e´ cont´ınua em I (pois e´ a composic¸a˜o entre
s(x) = 3
√
x e t(x) = 1− x .
a2 g ′1(x) = − 13(1−x)2/3 e´ cont´ınua em I.
b g ′1 e´ decrescente em (−∞, 1) e
g ′1(0) = −0, 33 e g ′1(0, 75) ∼= −0, 8399
. Logo
k ≥ maxx∈I |g ′1(x)| = 0, 84
e |g ′1(x)| ≤ 0, 84 < 1 para todo x ∈ I
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Vamos analisar as opc¸o˜es do Exemplo anterior, a` luz do Teorema 2
g1(x) =
3
√
1− x no intervalo I = [0, 0.75],que conte´m uma raiz de
f (x) = 0. (Caso convergente)
a1 g1(x) =
3
√
1− x e´ cont´ınua em I (pois e´ a composic¸a˜o entre
s(x) = 3
√
x e t(x) = 1− x .
a2 g ′1(x) = − 13(1−x)2/3 e´ cont´ınua em I.
b g ′1 e´ decrescente em (−∞, 1) e
g ′1(0) = −0, 33 e g ′1(0, 75) ∼= −0, 8399
. Logo
k ≥ maxx∈I |g ′1(x)| = 0, 84
e |g ′1(x)| ≤ 0, 84 < 1 para todo x ∈ I
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c g1 e´ decrescente em (−∞, 1), o que significa que
1 = g1(0) ≥ g1(x) ≥ g1(0, 75) = 0, 0833
Na˜o e´ poss´ıvel garantir que xn+1 = g(xn) ∈ I para todo n pois
g1(0) = 1 /∈ [0, 0.75]
Pore´m, apesar de na˜o satisfazer (c) do teorema, a sequeˆncia dada pelo
MPF converge.
Conclusa˜o: Na˜o safistazer as hipo´teses do Teorema 2 na˜o significa que o
MPF ira´ divergir!
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g2(x) = 1− x3 no intervalo I = [0, 1] (Caso divergente)
a g2(x) = 1− x3 e g ′2(x) = −3x2 sa˜o cont´ınuas em I.
b g ′2 e´ decrescente em I de modo que
0 = g ′2(0) ≥ g(x) ≥ g ′2(1) = −3
Da´ı,
k = maxx∈I |g ′2(x)| = 3 > 1
(g2 na˜o satisfaz o item (b) do teorema)
c g2 e´ decrescente em I e
1 = g2(0) ≥ g(x) ≥ g2(1) = 0
Segue-se que xn+1 = g(xn) ∈ I para todo n.
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g2(x) = 1− x3 no intervalo I = [0, 1] (Caso divergente)
a g2(x) = 1− x3 e g ′2(x) = −3x2 sa˜o cont´ınuas em I.
b g ′2 e´ decrescente em I de modo que
0 = g ′2(0) ≥ g(x) ≥ g ′2(1) = −3
Da´ı,
k = maxx∈I |g ′2(x)| = 3 > 1
(g2 na˜o satisfaz o item (b) do teorema)
c g2 e´ decrescente em I e
1 = g2(0) ≥ g(x) ≥ g2(1) = 0
Segue-se que xn+1 = g(xn) ∈ I para todo n.
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g2(x) = 1− x3 no intervalo I = [0, 1] (Caso divergente)
a g2(x) = 1− x3 e g ′2(x) = −3x2 sa˜o cont´ınuas em I.
b g ′2 e´ decrescente em I de modo que
0 = g ′2(0) ≥ g(x) ≥ g ′2(1) = −3
Da´ı,
k = maxx∈I |g ′2(x)| = 3 > 1
(g2 na˜o satisfaz o item (b) do teorema)
c g2 e´ decrescente em I e
1 = g2(0) ≥ g(x) ≥ g2(1) = 0
Segue-se que xn+1 = g(xn) ∈ I para todo n.
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g3(x) =
1+2x3
1+3x2
no intervalo I = [0, 1] (Caso convergente)
a g3(x) =
1+2x3
1+3x2
e g ′3(x) =
6x(x3+x−1)
(1+3x2)2
sa˜o cont´ınuas em I.
b A divisa˜o 6x(x
3+x−1)
(1+3x2)2
implica que 0 ≤ g ′3 < 1 em I = [0, 1].
Na verdade, x0 ∼= 0, 244685 e´ um ponto de m´ınimo global de g ′2 em I
e cuja imagem e´ g(x0) ∼= −0, 781452. Podemos considerar
k = maxx∈I |g ′3(x)| ∼= 0, 79
Portanto temos
|g ′1(x)| ≤ 0, 79 < 1 para todo x ∈ I
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g3(x) =
1+2x3
1+3x2
no intervalo I = [0, 1] (Caso convergente)
a g3(x) =
1+2x3
1+3x2
e g ′3(x) =
6x(x3+x−1)
(1+3x2)2
sa˜o cont´ınuas em I.
b A divisa˜o 6x(x
3+x−1)
(1+3x2)2
implica que 0 ≤ g ′3 < 1 em I = [0, 1].
Na verdade, x0 ∼= 0, 244685 e´ um ponto de m´ınimo global de g ′2 em I
e cuja imagem e´ g(x0) ∼= −0, 781452. Podemos considerar
k = maxx∈I |g ′3(x)| ∼= 0, 79
Portanto temos
|g ′1(x)| ≤ 0, 79 < 1 para todo x ∈ I
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g3(x) =
1+2x3
1+3x2
no intervalo I = [0, 1] (Caso convergente)
a g3(x) =
1+2x3
1+3x2
e g ′3(x) =
6x(x3+x−1)(1+3x2)2
sa˜o cont´ınuas em I.
b A divisa˜o 6x(x
3+x−1)
(1+3x2)2
implica que 0 ≤ g ′3 < 1 em I = [0, 1].
Na verdade, x0 ∼= 0, 244685 e´ um ponto de m´ınimo global de g ′2 em I
e cuja imagem e´ g(x0) ∼= −0, 781452. Podemos considerar
k = maxx∈I |g ′3(x)| ∼= 0, 79
Portanto temos
|g ′1(x)| ≤ 0, 79 < 1 para todo x ∈ I
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c As ra´ızes de g ′3(x) =
6x(x3+x−1)
(1+3x2)2
fornecem um ponto de ma´ximo e um
ponto de m´ınimo locais de g3(x) =
1+2x3
1+3x2
, que sa˜o x = 0 e
x ∼= 0, 682328 respectivamente.
As imagens sa˜o g3(0) = 1 e g3(0, 682328) ∼= 0, 682328, o que garante
que
0, 682328 ≤ g3(x) ≤ 1 para todo x ∈ I
Da´ı, temos que xn+1 = g(xn) ∈ I para todo n.
Aqui, a func¸a˜o auxiliar g3(x) satisfez ’(a), (b) e (c) do Teorema 1, o que
garantiu a convergeˆncia!
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c As ra´ızes de g ′3(x) =
6x(x3+x−1)
(1+3x2)2
fornecem um ponto de ma´ximo e um
ponto de m´ınimo locais de g3(x) =
1+2x3
1+3x2
, que sa˜o x = 0 e
x ∼= 0, 682328 respectivamente.
As imagens sa˜o g3(0) = 1 e g3(0, 682328) ∼= 0, 682328, o que garante
que
0, 682328 ≤ g3(x) ≤ 1 para todo x ∈ I
Da´ı, temos que xn+1 = g(xn) ∈ I para todo n.
Aqui, a func¸a˜o auxiliar g3(x) satisfez ’(a), (b) e (c) do Teorema 1, o que
garantiu a convergeˆncia!
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Demonstrac¸a˜o do Teorema 1 Supor que
i f tem uma raiz c isolada e I = [a, b]
ii g e´ tal que g(c) = c
iii g e g ′ sa˜o cont´ınuas em I
iv Existe k < 1 de modo que |g ′(x)| ≤ k para todo x ∈ I
v Dado x1 ∈ I , temos xn+1 = g(xn) ∈ I para todo n (Sequeˆncia gerada
pelo MPF)
Vamos necessitar do teorema auxiliar:
Teorema 3 (Teorema do Valor Me´dio - TVM)
Seja φ : [α, β]→ R cont´ınua e tal que φ′(x) existe para todo x ∈ (α, β). Enta˜o
existe ξ ∈ (α, β) tal que
φ(β)− φ(α) = φ′(ξ)(β − α)
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Demonstrac¸a˜o do Teorema 1 Supor que
i f tem uma raiz c isolada e I = [a, b]
ii g e´ tal que g(c) = c
iii g e g ′ sa˜o cont´ınuas em I
iv Existe k < 1 de modo que |g ′(x)| ≤ k para todo x ∈ I
v Dado x1 ∈ I , temos xn+1 = g(xn) ∈ I para todo n (Sequeˆncia gerada
pelo MPF)
Vamos necessitar do teorema auxiliar:
Teorema 3 (Teorema do Valor Me´dio - TVM)
Seja φ : [α, β]→ R cont´ınua e tal que φ′(x) existe para todo x ∈ (α, β). Enta˜o
existe ξ ∈ (α, β) tal que
φ(β)− φ(α) = φ′(ξ)(β − α)
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Estrate´gia da demonstrac¸a˜o: Provar que |xn − c | tende para 0, ou seja,
que
lim xn = c
Pela definic¸a˜o de g podemos escrever
xn − c = g(xn−1)− g(c)
O TVM garante que existe ξ entre c e xn−1 tal que
g(xn−1)− g(c) = g ′(ξ)(xn−1 − c)
Da´ı
|xn − c | = |g ′(ξ)(xn−1 − c)|
Como xn−1, c ∈ I , segue-se que ξ ∈ I
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Estrate´gia da demonstrac¸a˜o: Provar que |xn − c | tende para 0, ou seja,
que
lim xn = c
Pela definic¸a˜o de g podemos escrever
xn − c = g(xn−1)− g(c)
O TVM garante que existe ξ entre c e xn−1 tal que
g(xn−1)− g(c) = g ′(ξ)(xn−1 − c)
Da´ı
|xn − c | = |g ′(ξ)(xn−1 − c)|
Como xn−1, c ∈ I , segue-se que ξ ∈ I
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Estrate´gia da demonstrac¸a˜o: Provar que |xn − c | tende para 0, ou seja,
que
lim xn = c
Pela definic¸a˜o de g podemos escrever
xn − c = g(xn−1)− g(c)
O TVM garante que existe ξ entre c e xn−1 tal que
g(xn−1)− g(c) = g ′(ξ)(xn−1 − c)
Da´ı
|xn − c | = |g ′(ξ)(xn−1 − c)|
Como xn−1, c ∈ I , segue-se que ξ ∈ I
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Estrate´gia da demonstrac¸a˜o: Provar que |xn − c | tende para 0, ou seja,
que
lim xn = c
Pela definic¸a˜o de g podemos escrever
xn − c = g(xn−1)− g(c)
O TVM garante que existe ξ entre c e xn−1 tal que
g(xn−1)− g(c) = g ′(ξ)(xn−1 − c)
Da´ı
|xn − c | = |g ′(ξ)(xn−1 − c)|
Como xn−1, c ∈ I , segue-se que ξ ∈ I
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Agora
|g ′(x)| ≤ k < 1
Enta˜o
|xn − c | = |g ′(ξ)(xn−1 − c)| ⇒ |xn − c | ≤ k|xn−1 − c |
A u´ltima desigualdade vale para todo n ≥ 1, logo
|xn − c | ≤ k|xn−1 − c| ≤ k2|xn−2 − c | ≤ . . . ≤ kn|x0 − c|
Finalmente, k < 1, enta˜o quando n→∞
0 ≤ |xn − c | ≤ kn |x0 − c|︸ ︷︷ ︸
fixo
⇒ lim |xn − c| ≤ lim |x0 − c |kn = 0
Donde lim |xn − c | = 0. Isso implica que a sequencia converge para o
ponto fixo de g , que e´ a raiz de f em I �
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Agora
|g ′(x)| ≤ k < 1
Enta˜o
|xn − c | = |g ′(ξ)(xn−1 − c)| ⇒ |xn − c | ≤ k|xn−1 − c |
A u´ltima desigualdade vale para todo n ≥ 1, logo
|xn − c | ≤ k|xn−1 − c| ≤ k2|xn−2 − c | ≤ . . . ≤ kn|x0 − c|
Finalmente, k < 1, enta˜o quando n→∞
0 ≤ |xn − c | ≤ kn |x0 − c|︸ ︷︷ ︸
fixo
⇒ lim |xn − c| ≤ lim |x0 − c |kn = 0
Donde lim |xn − c | = 0. Isso implica que a sequencia converge para o
ponto fixo de g , que e´ a raiz de f em I �
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Agora
|g ′(x)| ≤ k < 1
Enta˜o
|xn − c | = |g ′(ξ)(xn−1 − c)| ⇒ |xn − c | ≤ k|xn−1 − c |
A u´ltima desigualdade vale para todo n ≥ 1, logo
|xn − c | ≤ k|xn−1 − c| ≤ k2|xn−2 − c | ≤ . . . ≤ kn|x0 − c|
Finalmente, k < 1, enta˜o quando n→∞
0 ≤ |xn − c | ≤ kn |x0 − c|︸ ︷︷ ︸
fixo
⇒ lim |xn − c| ≤ lim |x0 − c |kn = 0
Donde lim |xn − c | = 0. Isso implica que a sequencia converge para o
ponto fixo de g , que e´ a raiz de f em I �
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	Ponto Fixo de uma função
	Descrição do Método do Ponto Fixo
	Convergência do MPF