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( )( )eee 332211332211 wwwvuvuvu ++++ 
b) Somando em j para o 1º membro da igualdade obtém-se : j i1 1 i2 2 i3 3ij\u3b4 = + +\u3b4 \u3b4 \u3b4e e e e . 
Sendo i=1,obtém-se: j 11 1 12 2 13 3 11 1 11j\u3b4 = + + = =\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4e e e e e e , 
 para i=2 obtém-se j 21 1 22 2 23 3 22 2 22 j\u3b4 = + + = =\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4e e e e e e , 
 para i=3 obtém-se j 31 1 32 2 33 3 33 3 33 j\u3b4 = + + = =\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4e e e e e e 
 de acordo com as características do símbolo de Kronecker. 
 
 
 
Considerando um vector unitário, e, cujo módulo é e =1, a projecção do vector u na 
direcção de e tem uma grandeza igual ao produto escalar u\u22c5e= eu cos\u3b8(u,e). 
 Dentre as propriedades do produto escalar há que referir o facto de ser uma operação 
comutativa uvvu \u22c5=\u22c5 . 
O produto vectorial de dois vectores u e v é um vector que é ortogonal aos 
vectores u e v e é representado por u × v. O comprimento de u × v é definido como 
sendo igual à área do paralelogramo por eles formado no espaço tridimensional, como 
se representa na figura 1.5. 
 
 
 
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Figura 1.5: Área e Produto Vectorial de dois Vectores. 
 
Os vectores base { }321 ,, eee são tais que: 
321 eee =× 312 eee \u2212=× 
13 eee2 =× 123 eee \u2212=× (1.7) 
213 eee =× 231 eee \u2212=× 
O produto vectorial de dois vectores, pode ser calculado do seguinte modo: 
( ) ( ) ( )jijijjii vuvu eeeevu ×=×=× (1.8) 
( ) ( ) ( ) 312212311312332 vuvuvuvuvuvu eeevu \u2212+\u2212+\u2212=× = 
= 1 2 3
1 2 3
u u u
v v v
1
det
\uf8ee \uf8f9\uf8ef \uf8fa\uf8ef \uf8fa\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
2 3e e e
 (1.9) 
 
 
 
Exemplo 1.2 
Mostre que )( uvvu ×\u2212=× . 
Solução: 
A quantidade vu × é tal que: ( )jiji3
1j
jj
3
1i
ii vuvu eeeevu ×=\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2211×\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2211=×
==
= 
( ) ( ) ( ) 312212311312332 vuvuvuvuvuvu eee \u2212+\u2212+\u2212= (a) 
u
v
u×v A=||u×v|| 
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 A quantidade vu × é tal que: 
 ( )jiji3
1j
jj
3
1i
ii uvuv eeeeu)(v- ×\u2212=\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2211×\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2211\u2212=×
==
= 
 ( ) ( ) ( )[ ] =\u2212+\u2212+\u2212\u2212= 312212311312332 uvuvuvuvuvuv eee 
 ( ) ( ) ( ) 312212311312332 vuvuvuvuvuvu eee \u2212+\u2212+\u2212= (b) 
 As expressões (a) e (b) são idênticas o que demonstra a veracidade da igualdade inicial. 
 
 
 
O produto escalar triplo dos vectores u, v e w é representado por ( ) w.vu× e 
corresponde ao volume de um paralelepípedo, como se representa na figura 1.6 e tem a 
grandeza: 
( ) ( ) ( )+\u2212+\u2212× 3113223321 vuvuwvuvuw=w.vu ( )12213 vuvuw \u2212 = 
= 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
w w w
det u u u
v v v
\uf8ee \uf8f9\uf8ef \uf8fa\uf8ef \uf8fa\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
 (1.10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6: Volume e Produto Escalar Triplo. 
 
A representação do produto escalar triplo pode ser simplificada recorrendo ao 
chamado símbolo permutador que é representado por ijk\u3b5 , tensor de 3ª ordem, o qual 
pode ser definido do seguinte modo: 
( )
( )
( )
1 se for i, j, k em ordem cíclica e c m i, j, k distintos
0 se for i, j, k t
1 se for i, j, k i, j, k distintos e em ordem cíclica
o
al que i j ou i k ou j kijk
não
\u3b5 \uf8f1\uf8f4= = = =\uf8f2\uf8f4\u2212\uf8f3
 (1.11) 
w 
w . n 
v
u
vu
vun ×
×=/c
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As ordens cíclicas de (i, j, k) com i = 1, 3 e k = 1, 3 são (1, 2, 3); (2, 3, 1) e 
(3, 1, 2). As ordens não cíclicas de (i, j, k) são (3, 2, 1); (1, 3, 2) e (2, 1, 3). Os vinte e 
sete produtos escalares triplos das bases de vectores kji e, eee são: 
( ).i j k ijk\u3b5× =e e e 
 
 
 
Exemplo 1.3 
Mostre que 
jki\u3b5 pqk\u3b5 =\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4jq iq jpip \u2212 . 
Solução: 
Note-se que ijk\u3b5 é 
( )
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=×=
\u3b4\u3b4\u3b4
\u3b4\u3b4\u3b4
\u3b4\u3b4\u3b4
det.\u3b5
3k2k1k
3j2j1j
3i2i1i
kjiijk eee = 
 = )\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4)\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4)\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4 1k2j2k1j3i1k3j3k1j2i2k3j3k2j1i \u2212+\u2212\u2212\u2212 
Como se pode verificar o 2º membro desta relação só tem 6 valores possíveis. O valor 
de \u3b5pqr também pode ser calculado de modo análogo: 
( )
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=×=
\u3b4\u3b4\u3b4
\u3b4\u3b4\u3b4
\u3b4\u3b4\u3b4
det.\u3b5
3r2r1r
3q2q1q
3p2p1p
rqppqr eee = 
 = )\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4)\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4)\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4 1r2q2r1q3p1r3q3r1q2p2r3q3r2q1p \u2212+\u2212\u2212\u2212 
Para i=1 é: ijk\u3b5 = )\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4 2k3j3k2j1i \u2212 e \u3b5pqr = )\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4 2r3q3r2q1p \u2212 . Consequentemente para 
i=1 é 
ijk\u3b5 \u3b5pqr = )\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4 2k3j3k2j1i \u2212 )\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4 2r3q3r2q1p \u2212 = )\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4 kqjrkrjqip \u2212 
Para i qualquer é: 
ijk\u3b5 =
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
\u3b4\u3b4\u3b4
\u3b4\u3b4\u3b4
\u3b4\u3b4\u3b4
det\u3b5
krkqkp
jrjqjp
iriqip
pqr 
 = )\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4 kqjrkrjqip \u2212 - )\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4 kpjrkrjpiq \u2212 + )\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4(\u3b4 kpjqkqjpir \u2212 
Fazendo no 2º membro da relação anterior r=k obtém-se: 
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ijk\u3b5 \u3b5pqk = \u3b4\u3b4\u3b4\u3b4 jpiqjqip \u2212 
 
 
 
Fazendo uso do símbolo permutador o produto vectorial u×v pode ser escrito com a 
forma 
ijk i ju v\u3b5u × =v ke 
No caso dos vectores u e v serem os vectores base i je e e , o produto vectorial é: 
i j ijk\u3b5× = ke e e 
como resulta da definição do símbolo permutador. 
Os escalares \u3b5 ijk são referidos como sendo as componentes do tensor permutador 
e fazendo uso destes símbolos, o produto escalar triplo pode ser representado por: 
( ) i j k ijku v w.× = \u3b5u v w (1.12) 
Demonstra-se facilmente que o segundo membro da equação 1.12 é equivalente 
ao 2º membro da equação 1.10. 
Outro produto triplo é o chamado, produto vectorial triplo de três vectores 
u,v,w, representado por u×(v×w) e tendo em conta a definição de produto vectorial 
pode ser calculado a partir das componentes dos vectores u,v,w do seguinte modo: 
( ) eew)(vu knmimnjkijknmmnjiijk wvu\u3b5\u3b5wv\u3b5u\u3b5 ==×× 
 = ( ) eknmiimkninkm wvu\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4 \u2212 
 = ee kkmmknkn wvuwvu \u2212 
 = (u.w) v-(u.v) w (1.13) 
O produto vectorial triplo é em geral não associativo, como se pode constatar. 
 
 
 
Exemplo 1.4 
Mostre =×× wv)(u (u.w) v-(v.w) u. 
Solução: 
=×× wv)(u eee kkjjii w)vu( ×× = eee kjikji )(wvu ×× = =× )wvu kmijmkji e(e\u3b5 
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 = enmknijmkji wvu \u3b5\u3b5 = ( ) enkjijkinjnik wvu\u3b4\u3b4\u3b4\u3b4 \u2212 = ee nkknnknk wvuwvu \u2212 = 
 =(u.w) v-(v.w) u. c.q.d. 
Este vector está contido no plano u,v e é em geral distinto de 1.13. 
 
 
 
 
1.3.3 PRODUTO TENSORIAL DE VECTORES 
 
O produto tensorial de dois vectores u e v é um tensor de 2ª ordem, u v\u2297 , este 
tensor pode actuar num vector w. A definição de produto tensorial está incluída na 
igualdade seguinte 
[ ] ( )uwvwvu \u22c5=\u2297 (1.14) 
De acordo com a expressão anterior, o tensor u v\u2297 actua no vector w, sendo o 
resultado um vector que tem a direcção e sentido do vector u e cujo comprimento é 
igual a ( ) uwv\u22c5 ou seja o comprimento original de u multiplicado pelo produto escalar 
de v e w. 
Por outras palavras, considerando os espaços vectoriais E, de dimensão p e F de 
dimensão q (sobre o mesmo corpo k), chama-se produto tensorial dos dois espaços um 
terceiro espaço vectorial sobre k que é designado por FE \u2297 que satisfaz as condições 
seguintes: 
1. A cada para de vector ( )vu, com u\u2208E e v\u2208F, está associado um elemento 
FE \u2297 , chamado produto tensorial de u por v e designado por vu \u2297 , de tal 
modo que 
a) ( ) 2121 v\u2297+\u2297=+\u2297 uvuvvu (Lei Distributiva) 
b) ( ) vuvuvuu \u2297+\u2297=\u2297+ 2121 " 
c) ( ) ( ) ( )vuvuvu \u3bb\u2297=\u2297\u3bb=\u2297\u3bb (Lei Associativa) 
 
2. Se { }p1 ..., ee for uma base de vectores de E e { }q1 ..., ff for uma base de 
vectores de F, os pq vectores \u3b1\u2297 fei constituem uma base de FE \u2297 (espaço 
de dimensão pq). 
 
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As condições 1a) b) c) e 2 permitem-nos concluir que, com iiu eu = e 
\u3b1\u3b1v fv = , o elemento vu \u2297 do produto se pode escrever na forma 
 
( ) ( ) ( )\u3b1\u3b1\u3b1\u3b1 \u2297=\u2297=\u2297 fefevu iiii vuvu 
 
 com pq escalares ( )q...,1...;,1ivui =\u3b1=\u3b1 como componentes do vector vu \u2297 
 na base tensorial \u3b1\u2297 fei . 
O produto tensorial dos vectores de base ji e ee do espaço