Tensores1
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Tensores1


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Um tensor cartesiano de ordem n pode escrever-se com a forma 
eee iiii...ii n21n21 ...A \u2297\u2297\u2297 (1.36) 
Um tensor de ordem n num espaço cartesiano tem 3n componentes A i...ii n21 , como 
se pode facilmente constatar por observação de 1.36. No caso particular de n ser igual a 
Tensores 
 18 
zero, obtém-se um escalar. Um tensor de 1ª ordem é um vector e tem 3 componentes, 
etc. 
O tensor de 3ª ordem no espaço cartesiano tem 27 componentes e pode ser 
escrito com a seguinte forma: 
ijk i j k
\u2297 \u2297= e e eA A sendo ijkA as componentes de A. (1.37) 
O tensor permutador, \u3b5iik referido anteriormente é um exemplo de um tensor de 3ª 
ordem. Os conceitos envolvidos na definição do tensor permutador de 3ª ordem podem 
ser utilizados para definir o tensor permutador de ordem n, 
( )
( )
( )
1 2 3
1 2 31 2 3 n
1 2 3
n
n 1 2 2 3 n 1 n, , ,...,i i i i
n
1 se for , , ,..., em ordem cíclica e distintosi i i i
0 se for , , ,..., tal que ou e / ou...i i i i i i i i i i
1 se for , , ,..., distintos e em ordem não cíclicai i i i
\u2212
\uf8f1\uf8f4\uf8f4= = = =\uf8f2\uf8f4\u2212\uf8f4\uf8f3
E 
 (1.38) 
Outro exemplo particular de um tensor de 3ª ordem é o chamado produto 
triádico de três vectores u,v,w, representado por u\u2297v\u2297w, com as características 
seguintes 
(u\u2297v)\u2297w=u\u2297v\u2297w 
(u\u2297v\u2297w)x=(w\u22c5x)u\u2297v 
(u\u2297v\u2297w):(x\u2297y)=(v\u22c5x)(w\u22c5y)u 
(u\u2297v\u2297w):I=(v\u22c5w)u (1.39) 
 A contracção dupla de um tensor de 3ªordem, A com um tensor de 2ª ordem, 
B produz um vector, como se pode verificar: 
( ) ( )eeeeeB mlkji \u2297\u2297\u2297= :B: lmijkAA 
 = ( )( )eeeee imklj \u22c5\u22c5BlmijkA 
 = ei\u3b4\u3b4 kmjllmijk BA 
 = eiBjkijkA (1.40) 
 Os tensores cartesianos de 4ª ordem que podem ser representados por 
A,B,C,\u2026têm 81 componentes e podem exprimir-se em termos dos vectores base 
cartesianos do seguinte modo 
A= i j k lijkl \u2297 \u2297 \u2297e e e eA (1.41) 
Tensores 
 19 
O produto tensorial de dois tensores de 2ª ordem é um tensor de 4ª ordem e pode 
representar-se esse produto em notação simbólica como C=A\u2297B a que corresponde a 
notação indicial BAC klijijkl = . 
As operações de contracção simples e dupla consideradas para os tensores de 2ª 
ordem podem ser utilizadas para tensores de ordem superior à 2ª , tornando-se também 
possível contracções de ordem superior. 
 
 
1.5 MUDANÇA DE BASE 
 
Considere-se dois sistemas de coordenadas cartesianas, o 1º com uma base de 
vectores { }321 ,, eee e o 2º com uma base de vectores ortogonal { }321 ,, ggg . Um 
vector v no espaço pode ser conhecido em termos das suas componentes numa base ou 
noutra base ortonormada, como se mostra na figura 1.7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.7: Componentes do Vector v em Sistemas de Coordenadas Distintas. 
 
v e g= =v vj j j j' (1.42) 
A relação entre os dois conjuntos de componentes pode ser obtida considerando o 
produto escalar do vector v por uma das bases de vectores, por exemplo, ie , ou seja: 
e1 e2 
e3 
g1 
g2 
g3 
v
v 
Tensores 
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( ) 'jijiii'iii vQvou.vv === geve (1.43) 
tendo em conta que ( ) iijjjij vv.v =\u3b4=ee . 
Os produtos escalares ( )ji ge \u22c5 correspondem a nove valores escalares, as 
componentes do tensor de transformação ou de mudança de coordenadas, Q, que 
são: 
jiijQ ge \u22c5= (1.44) 
os escalares ijQ são os cosenos dos ângulos entre os nove pares de vectores base. 
As componentes do tensor de segunda ordem, T, podem ser estabelecidas em 
duas bases de vectores ortonormadas de modo análogo ao considerado para o vector v, 
ou seja: 
[ ] [ ]jiijji'ij TT eeggT \u2297=\u2297= (1.45) 
onde 'ijT é a componente ij do tensor T na base tensorial [ ]ji gg \u2297 e ijT é a 
componente ij na base de tensores [ ]ji ee \u2297 . A relação entre as componentes nos dois 
sistemas de coordenadas pode ser obtida, calculando o produto nm . Tgg , do seguinte 
modo 
( ) ( )njmiijmnnm T'TT gegegg \u22c5\u22c5==\u22c5 (1.46) 
 
Designando por jiij .Q eg= , a formula anterior pode ser escrita com a seguinte 
forma 
ijnjmi
'
mn TQQT = (1.47) 
Portanto um tensor de 1ª ordem recorre a um tensor de transformação, Q, com 
componentes ijQ para efeito de mudança de eixos, um tensor de 2ª ordem recorre a dois 
tensores de transformação. 
No caso de se tratar duma transformação ortogonal, os tensores de 
transformação têm componentes tais que 
ijkjki QQ \u3b4= (1.48) 
ijjkik QQ \u3b4= 
Estas equações podem ser facilmente demonstradas recorrendo à definição de ijQ . 
 
Tensores 
 21 
 
 
 
 
Exemplo 1.8. 
O sistema de eixos ´x,´x,´xO 321 é obtido a partir do sistema de eixos 
x,x,xO 321 considerando uma rotação de 45º no sentido contrário ao dos ponteiros do 
relógio em torno do eixo x3 . Determine: 
a) as componentes do vector eeev 321 ++= no sistema de eixos ´x,´x,´xO 321 
b) as componentes do tensor 
A=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
004
240
231
 
no sistema de eixos ´x,´x,´xO 321 . 
Solução 
a)As componentes do tensor de transformação são: 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee \u2212
100
02/12/1
0212/1
 
Consequentemente: 
\uf8f4\uf8fe
\uf8f4\uf8fd
\uf8fc
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
=
\uf8f4\uf8fe
\uf8f4\uf8fd
\uf8fc
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee \u2212
=
\uf8f4\uf8fe
\uf8f4\uf8fd
\uf8fc
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
1
2
0
1
1
1
100
02/12/1
0212/1
´v
´v
´v
2
2
1
 
b)O tensor A´ é: 
A´= =
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee \u2212
100
02/12/1
0212/1
400
240
231
100
02/12/1
0212/1
 
 =
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
400
2243
001
 
 
 
Tensores 
 22 
Os tensores de 2ª ordem ijT têm propriedades que não dependem da escolha das bases 
em que estão definidos e que são os chamados invariantes dos tensores. Os invariantes 
dos tensores são tais que: 
( ) ( )ijkjik TfT,Q,Qf =ll (1.49) 
sendo f uma função invariante do tensor. 
Os invariantes do tensor, T, considerados fundamentais são: 
iiT TI = 
jiijT TTII = (1.50) 
kijkijT TTTIII = 
Uma generalização para o caso de tensores de ordem superior à 2ª, da lei de 
transformação de tensores de um sistema de eixos noutro sistema de eixos é: 
k...ijpknjmi
'
p...mn TQ...QQT = 
sendo o número de tensores de transformação igual à ordem do tensor. 
 
 
1.6. VALORES PRÓPRIOS DE TENSORES SIMÉTRICOS DE 2ª ORDEM 
 
O produto interno de um tensor T por um vector u 
Tu = v ou vuT jjij = (1.51) 
pode ser visto como uma transformação linear pela qual o vector u é transformado 
através do tensor T num vector imagem v num espaço Euclidiano tridimensional. No 
caso particular do tensor T ser simétrico, com componentes reais Tij , definido em cada 
ponto do espaço, associado a cada direcção no espaço, definida pelo vector unitário n 
num ponto, existe um vector imagem v tal que 
T.n = v ou vnT ijij = (1.52) 
No caso do vector v ser um múltiplo escalar de n, v = \u3bbn, então a equação 1.52 toma a 
forma 
T.n =\u3bb n ou nnT ijij \u3bb= (1.53) 
sendo a direcção n chamada de direcção principal ou vector próprio de T e o escalar 
\u3bb chamado de valor principal ou valor próprio de T. As equações 1.53 constituem um 
sistema de equações a que se pode dar a forma 
Tensores 
 23 
(T-\u3bb I ) n = 0 ou 0n)T( jijij =\u3bb\u2212 \u3b4 (1.54) 
Este sistema homogéneo de equações para as incógnitas n e \u3bb , tem uma 
solução não trivial se o determinante dos coeficientes for nulo, isto é 
|T-\u3bb I | = 0 ou 0T ijij =\u3bb\u2212 \u3b4 (1.55) 
por expansão do qual se obtém uma equação cúbica em \u3bb, conhecida por equação 
característica e que tem a forma 
0IIIIII TT2T3 =\u2212\u3bb+\u3bb\u2212\u3bb (1.56) 
onde os coeficientes de \u3bb podem exprimir-se do seguinte modo em termos das 
componentes do tensor T 
iiT TtrI == T 
( )[ ] [ ]jiijjjii22T TTTT21)(trtr21II \u2212=\u2212= TT (1.57)