Tensores1
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k3j2i1ijkT TTTdetIII \u3b5== T 
sendo estas quantidades conhecidas como 1º, 2º e 3º invariantes escalares principais 
do tensor T, respectivamente. 
As raízes da equação 1.56 são reais desde que o tensor T seja simétrico e com 
componentes reais. 
O cálculo dos vectores principais faz-se recorrendo ás equações 1.54 e á condição de 
ser n\u22c5n = 1. É possível demonstrar que os vectores principais são mutuamente 
ortogonais. 
Qualquer tensor simétrico T pode ser representado pelos seus valores próprios \u3bbi e 
pelos vectores próprios correspondentes que formam uma base ortogonal ni . Tendo em 
conta que nnI ii \u2297= e que T=TI, sendo I o tensor identidade obtém-se a chamada 
decomposição espectral de T que é 
\u2211 \u2297=\u2297==
=
3
1i
iiiii \u3bb)( nnnnTTIT (1.58) 
O tensor T na base das direcções principais é um tensor diagonal, cujos valores 
diagonais são os valores próprios de T, ou seja 
\u3b4\u3bb=\u3bb\u22c5=\u22c5= ijjjjijiij'T nnnTn 
Este resultado pode ser obtido directamente da decomposição espectral 1.58. 
 
 
Tensores 
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Exemplo 1.9. 
Determine os valores próprios e vectores próprios do tensor, T, cujas componentes 
são: 
T=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
300
045
052
 
 
Solução: 
Os invariantes do tensor T, são: 
1(trIT == T) 
( ) ( )[ ] 39trtr
2
1
II 22T \u2212=+= TT 
99detIIIT \u2212== T 
A equação característica toma a forma: 
3 2 39 99 0\u2212 \u2212 \u3bb \u2212 =\u3bb \u3bb 
Resolvendo obtém-se: 
1 2 36.8310; 4.831; 3.0000= \u2212 = =\u3bb \u3bb \u3bb 
que são os valores principais do tensor T. 
As equações que permitem a obtenção dos vectores próprios são: 
( )
( )
1 2
1 2
3
2 5 0n n
5 ( 4 ) 0n n
3 0n
\u2212 \u3bb + =
+ \u2212 \u2212 \u3bb =
\u2212 \u3bb =
 
Para cada um dos valores de \u3bb arbitra-se um dos valores de ni e resolve-se o sistema 
de equações para obter os restantes valores de ni e seguidamente normalizam-se os 
vectores obtidos. Os vectores próprios são: 
\uf8f4\uf8fe
\uf8f4\uf8fd
\uf8fc
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
=
\uf8f4\uf8fe
\uf8f4\uf8fd
\uf8fc
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\u2212
\u2212
=
\uf8f4\uf8fe
\uf8f4\uf8fd
\uf8fc
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\u2212=
1
0
0
v;
0
4927.0
8702.0
v;
0
8702.0
4927.0
v 321 
 
 
Tensores 
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1.7 CAMPOS ESCALARES, CAMPOS VECTORIAIS E CAMPOS TENSORIAIS 
 
Um campo corresponde essencialmente a uma função que é definida num domínio 
contínuo. Uma função tensorial é uma função cujos argumentos são uma ou mais 
variáveis tensoriais cujos valores são escalares, vectores ou tensores. 
Um campo escalar está associado a uma função ( )xf cujo valor para um ponto x 
do domínio contínuo é um escalar, um campo vectorial está associado a um função cujo 
valor num ponto é um vector e um campo tensorial está associado a uma função cujo 
valor num ponto é um tensor. As funções \u3c6(A), u(A) e T(A) são exemplos de funções 
escalares, vectoriais e tensoriais de um tensor variável A. O tensor variável pode ser 
visto duma forma geral e pode ser um escalar, um vector ou um tensor de ordem 
superior. 
Um campo escalar ( )xf pode ser desenvolvido em série de Taylor do seguinte modo 
( ) )d(odf)(ff xxdxx ++=+ com x
x
dfdf \u22c5\u2202
\u2202= 
O termo o(dx) tende para zero quando dx tende para zero. A quantidade df pode ser 
escrita com a seguinte forma 
( ) ( ) xxgradxxxx x d)(fdfdex
fdf j
j
\u22c5=\u22c5\u2207=\u22c5\u2202
\u2202= (1.59) 
A grandeza ( )xf\u2207 associada à função escalar é o chamado gradiente o qual dá uma 
indicação do modo como o campo escalar varia quando se muda de um ponto para outro 
do campo. O gradiente de uma função ( )xf é um campo vectorial. O gradiente é um 
vector que tem um sentido tal que indica a direcção segundo a qual o campo está a 
mudar mais rapidamente. A dimensão do vector ( )xf\u2207 indica a velocidade de 
mudança do campo escalar em determinada direcção. 
O gradiente de um campo escalar \u3c6(A) de variável tensorial A pode ser obtido 
considerando o desenvolvimento em série de Taylor de \u3c6(A+dA), ou seja 
)(od)()( dAAdAA +\u3c6+\u3c6=+\u3c6 
sendo ( )[ ]AAA
A
AtrA
A
A T d)(gradtrd))((d:
)(d A
T \u22c5\u3c6=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2202
\u3c6\u2202=\u2202
\u3c6\u2202=\u3c6 (1.60) 
Tensores 
 26 
Um campo vectorial é uma função vectorial ( )xv que define um vector em cada 
ponto do domínio. As operações de multiplicação de vectores podem ser consideradas 
num campo vectorial, nomeadamente os produtos escalar, vectorial e tensorial. 
Associado a uma função vectorial pode definir-se o vector gradiente de um campo 
vectorial do seguinte modo 
eevv ji
j
i
x x
vgrad \u2297\u2202
\u2202=\u2297\u2207= (1.61) 
cujas componentes cartesianas são: 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
=
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
grad
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
x v (1.62) 
No caso do campo escalar a quantificação da mudança pode ser feita por 
consideração do gradiente, no caso do campo vectorial a quantificação da mudança 
pode ser feita por consideração da chamada divergência do vector, a qual é definida 
como sendo 
( ) lim 1div d
0
= \u2192 \u222bx v.nv SV V s (1.63) 
onde ds é um elemento de área de dimensões infinitésimos sobre a superfície do 
domínio de volume V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.8: Sólido no espaço. 
 
n ( )v x
V
S
Tensores 
 27 
A grandeza \u222bS ds. nv é por vezes referida como sendo o fluxo. 
É possível demonstrar que: 
( ) ( ) )grad(tr
x
v
x
div ji
i
j
i
i
veeexvxv x=\u22c5\u2202
\u2202=\u2202
\u2202= (1.64) 
O chamado teorema da divergência traduz-se na igualdade seguinte: 
\u222b\u222b = Sv dAdVdiv n.vv (1.65) 
No caso dos campos tensoriais de variável x, a divergência de um campo 
tensorial é: 
( ) ( ) eeeeTxT i
j
ik
jki
j
ik
x
T
x
Tdiv \u2202
\u2202=\u22c5\u2297\u2202
\u2202=\u22c5\u2207= (1.66) 
O teorema da divergência para um campo tensorial é traduzido pela seguinte 
equação, ou seja: 
\u222b \u222b=v S dsdvdiv TnT (1.67) 
Algumas das grandezas relevantes em Mecânica dos Sólidos são grandezas que 
podem incluir-se no tipo de grandezas representáveis por funções escalares, vectoriais e 
tensoriais. 
 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
 
 
1. Mostre que ii
2 vv=v (use o conceito de produto escalar) 
 
2. Calcule o valor das seguintes expressões 
a) ii\u3b4 b) ijij \u3b4\u3b4 c) ji . ee sendo ie um vector unitário d) jiij uu\u3b4 
e) ijjkik T\u3b4\u3b4 f) \u3b4\u3b5 kjijk 
Tensores 
 28 
 
3. Os valores 1v e 2v têm componentes num mesmo sistema de eixos que são: 
( ) ( )1,2,1e1,1,2 21 =\u2212= vv . Calcule o comportamento dos vectores e o ângulo 
que formam entre si. Determine a área do paralelogramo formado pelos vectores 1v 
e 2v . 
 
4. Mostre que ( )jiji vu eevu ×=× . 
5. Mostre que ( ) ( ) ( )wvwuwvu ×\u3b2+×\u3b1=×\u3b2+\u3b1 . 
6. Mostre que o tensor TA A é um tensor simétrico. 
7. Mostre que vuvu .. \u2264 
8. Mostre que a × b\u22c5a = o. 
9. Mostre que \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212\u2212+= 222
2
1. uvvuvu 
10. Mostre que o produto escalar triplo é anti-simétrico ou seja que 
( ) ( ) wuvwvu .. ×=× 
11. Mostre que [ ] uvvu \u2297=\u2297 T (Note que aTbbTa T. = ) 
12. Mostre que ijk i1 j2 k3det T T T= \u3b5T 
13. Mostre que BA) AB det.detdet( = 
14. Considere dois sistemas de eixos cartesianos um com base { }321 ,, eee e o outro 
com base { }321 ,, ggg tal que a matriz de transformação jiij .Q eg\u2261 é constituída 
pelos cosenos directos dos ângulos formados pelos vectores base ji e eg . 
a) Mostre que iji jQ=g e e que jiji Q ge = 
b) Pode definir-se um tensor de rotação Q tal que i i=e gQ . Mostre que este 
tensor pode ser definido do seguinte modo [ ]jiijQ ggQ \u2297= e que ijQ 
são as componentes do tensor na base [ ]ji gg \u2297 . Mostre que o tensor pode 
exprimir-se com a forma [ ]ji geQ \u2297= 
c) Mostre que o produto IQQ =T , e que Q é um tensor ortogonal. 
15. Calcule o tensor 1T\u2212