Tensores2
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a recíproca também será 
verdadeira (Sokolnikoff a demonstra): se num certo espaço o tensor de curvatura se anular (um 
espaço onde a ordem de se diferenciar covariantemente não importa) então esse espaço será eu-
clidiano. 
 
 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 34 
14. Problemas propostos 
Equation Section (Next) 
Propriedades básicas dos tensores, adição e subtração 
(1) (Neste exercício empregamos a linguagem e a notação da Análise Vetorial elementar.) Seja 
rG o vetor posição de um ponto 3\u2208P \ . Num sistema de coordenadas curvilíneas ix podemos 
usar, em cada ponto, as duas bases locais seguintes B { }iT=
G
 com / iiT r x= \u2202 \u2202
G G
 e { }iN\u3b2 = G e 
i iN x= \u2207G ( 1, 2 )i = " . Mostre que, para um campo vetorial ( )A rG G , os componentes na base B e 
os componentes na base \u3b2 transformam-se contravariantemente e covariantemente, respectiva-
mente. 
 
(2) Mostre que, se kijA e 
k
ijB são tensores, ( , , )
k k
ij ijS i j k A B\u2261 + e ( , , ) k kij ijD i j k A B= \u2212 também 
são. 
 
(3) Mostre que, se os componentes de um tensor num sistema de coordenadas 
 (a) forem nulos, (b) forem iguais, 
também o serão em todos os sistemas de coordenadas. 
 
Produto externo 
(4) Mostre que a grandeza T dada como produto externo dos tensores U e W é também um ten-
sor e informe qual o seu tipo: 
 (a) ( , , , , ) kl mi jT i j k l m U W= (b) ( , , ) ij kT i j k U W= 
 (c) ( , , , ) ij klT i j k l U W= (d) ( , , , ) klijT i j k l U W= 
 
Contração 
(5) Mostre que a contração do tensor jiA é um escalar. 
 
(6) Mostre que o produto interno dos tensores iA e jB é um invariante. 
 
(7) Seja lmijkA um tensor. 
 (a) Prove que o resultado da contração dos índices k e l é um tensor e diga de que tipo 
 (b) Idem, mas agora contraindo tanto k e l quanto j e m 
 
Produto interno 
(8) Mostre que o produto interno dos tensores jiA e 
lm
kB que resulta da contração dos índices i e 
m em seu produto externo é um tensor e diga de que tipo. 
 
(9) Se ( , , )G i j k forem grandezas tais que ( , , ) 0ijbG i j a T = para qualquer tensor ijbT , mostre 
que ( , , ) 0G i j k \u2261 . 
 
Tensores simétricos e anti-simétricos 
(10) Se ( , , )G i j k forem grandezas tais que ( , , ) 0ijbG i j a S = para qualquer tensor ijbS com sime-
tria nos índices i e j, mostre que não podemos afirmar que ( , , ) 0G i j k \u2261 , mas, sim, que a sua 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 35 
chamada parte simétrica em relação aos índices i e j será nula: ( )( , ),G i j k \u2261 
[ ( , , ) ( , , )] / 2 0G i j k G j i k+ = . 
 
(11) Se ( , , )G i j k forem grandezas tais que ( , , ) 0ijbG i j a A = para qualquer tensor ijbA com anti-
simetria nos índices i e j, mostre que não podemos afirmar que ( , , ) 0G i j k \u2261 mas, sim, que a 
sua chamada parte anti-simétrica em relação aos índices i e j será nula: ( )[ , ],G i j k \u2261 
[ ( , , )G i j k \u2212 ( , , ) ] / 2 0G j i k = . 
 
(12) Prove que todo tensor de 2a ordem contravariante ou covariante pode ser expresso como a 
soma de um tensor simétrico e um anti-simétrico. 
 
(13) Mostre que não há tensores anti-simétricos de ordem superior a quatro em quatro dimen-
sões. 
 
Lei do quociente 
(14) Num sistema de coordenadas ix sabe-se que uma grandeza ( )T i é tal que ( ) iT i U\u3c6 = , on-
de \u3c6 é um invariante e iU é um vetor arbitrário. Prove que ( )T i é um vetor e diga de que tipo. 
 
(15) Mostre que, se o produto interno ( , ) ajA i a \u3c4 entre o conjunto de 2N grandezas ( , )A i a e um 
tensor covariante de 2a ordem arbitrário aj\u3c4 for um tensor, então ( , ) aiA i a A= , um tensor misto 
de 2a ordem. 
 
(16) Sabe-se que uma grandeza ( , , )A i j k é tal que ( , , ) k ijl lA i j k U C= num sistema de coorde-
nadas ix , onde k jlU é um tensor arbitrário. Prove que ( , , )A i j k é um tensor e diga de que tipo. 
 
(17) Se ( , )G i j é tal que ( , )ijS G i j \u3c6= (invariante) para qualquer tensor simétrico ijS , explique 
por que não podemos afirmar que ( , )G i j seja um tensor; mostre, entretanto, que a sua parte 
simétrica, ( )( , ) [ ( , ) ( , )] / 2G i j G i j G j i= + (definida no Prob. 10), sim, é um tensor ijG simétri-
co do tipo 02 tal que 
ij
ijS G \u3c6= . 
 
(18) Há uma assertiva análoga àquela demonstrada no Prob. 17 para o caso em que, no lugar de 
ijS , tem-se um tensor anti-simétrico ijA qualquer, quando, então, a parte anti-simétrica de 
( , )G i j é um tensor. Para estabelecer isso e, ao mesmo tempo, permitir que o estudante observe 
a possibilidade de se obterem resultados mais genéricos, pede-se, no presente problema, que se 
explique por que, se ( , , )G i j k é tal que ( , , )ij kA G i j k V= (vetor covariante) para qualquer ten-
sor anti-simétrico ijA , não podemos afirmar que ( , , )G i j k seja um tensor, mostrando, entretan-
to, que a sua parte anti-simétrica, ( )[ , ], [ ( , , ) ( , , )] / 2G i j k G i j k G j i k= \u2212 (definida no Prob. 11), 
sim, é um tensor ijkG anti-simétrico nos índices i e j tal que 
ij
ijk kA G V= . 
 
Tensores relativos 
(19) Sejam i jkA e 
lB tensores relativos de pesos 1W e 2W , respectivamente. Mostre que 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 36 
 (a) o produto externo deles é um tensor relativo do tipo 22 e de peso 1 2W W+ 
 (b) o produto interno i jjkA B é um tensor relativo do tipo 
1
1 e de peso 1 2W W+ 
 (c) a contração i jiA é um vetor relativo covariante de peso 1W 
 (d) lg B é um vetor relativo contravariante de peso 2 1W + (\u2217) 
 
(20) Obtenha as Eqs. (5-2), (5-3) e (5-4). 
 
(21) Prove que os co-fatores ijG de ijg formam um tensor relativo contravariante de peso 2 
(\u2217) 
 
(22) Mostre que, se ji
"
"T for um tensor relativo de peso W, 
/ 2 jj W
i iT g
\u2212\u2261 """ "T será um tensor 
absoluto do mesmo tipo. 
 
Os tensores fundamentais 
(23) Mostre que os coeficientes ijg na métrica [Eq. (6-6)] podem ser sempre definidos de modo 
que sejam simétricos e assim formar um tensor simétrico do tipo 02 . 
 
(24) Através da Eq. (6-10) e tendo em conta que ijg é um tensor do tipo 
0
2 (conforme se provou 
no Prob. 23), mostre que ijg é um tensor do tipo 20 . 
 
(25) Num espaço euclidiano, mostre que 
(a) k kij i j
z z
g
x x
\u2202 \u2202= \u2202 \u2202 (b) 
i j
ij
k k
x xg
z z
\u2202 \u2202= \u2202 \u2202 
onde ix são coordenadas curvilíneas e kz são as coordenadas cartesianas. 
 
(26) Mostre que s srjk s srjkR V R V= (R e V são arbitrários) 
 
(27) No Exercício 1, mostre que 
 (a) i ij jN g T=
G G
 e ji ijT g N=
G G
 
 (b) as bases B e \u3b2 coincidirão se forem normalizadas, isto é, formadas pelos vetores unitá-
rios / | |i i ie T T\u2261
G GG
 e / | |i i iN N\u3b5 \u2261
G GG
, respectivamente, e se o sistema de coordenadas for ortogonal. 
 
(28) Mostre que iig ( 1, 2i = ", não somados) nunca se anulam. 
 
(29) Mostre que os ângulos 12\u3b8 , 13\u3b8 e 23\u3b8 formados pelas curvas coordenadas de um sistema de 
coordenadas curvilíneas tridimensional são dados por 
 12 12 11 22 13 13 11 33 23 23 22 33cos / , cos / , cos /g g g g g g g g g\u3b8 \u3b8 \u3b8= = = . 
 
 
(\u2217) Necessário ler antes as Seçs. 6a e 6b. 
(\u2217) Necessário ler antes as Seçs. 6a e 6b. 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 37 
(30) Mostre que os co-senos dos ângulos que o vetor unitário tridimensional iu faz com as cur-
vas coordenadas são 1 11/u g , 2 22/u g e 3 33/u g . 
 
(31) Num sistema de coordenadas ortogonais, prove que 0 se ijijg g i j= = \u2260 e que 
1/ii iig g= (sem somatório). 
 
(32) Mostre que / ijijg g g g\u2202 \u2202 = 
(33) Mostre que 
ij
il jm lm
k k
g gg g
x x
\u2202 \u2202= \u2212\u2202 \u2202 
 
Equação da linha geodésica 
(34) Mostre que as geodésicas num plano são linhas retas. 
 
(35) Mostre que, no espaço bidimensional formado pelos pontos de uma superfície esférica, as 
geodésicas são arcos de grandes círculos. 
 
Símbolos de Christoffel 
(36) No texto