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( )
u
uu u
\u2202 += \u2202+
v
v v 2 2
1
( )
u
u +v v
2 2( )u
u
\u3c8\u2202\u23a1 \u23a4 \u2202 ++\u23a2 \u23a5\u2202 \u2202\u23a3 \u23a6
v
v 2 2
1
( )
u
u +v v
2 2
2 2
1( )u u
u
\u3c8
\u3c8
\u3d5\u3d5
\u23a7 \u2202\u23a1 \u23a4\u23aa +\u23a8 \u23a2 \u23a5\u2202\u23aa \u23a3 \u23a6\u23a9
\u23ab\u2202\u23a1 \u23a4\u2202 \u23aa+ \u23ac\u23a2 \u23a5\u2202\u2202 \u23aa\u23a3 \u23a6 \u23ad
v
v v
v
 
( ) ( ) 2 2 22 2 2 21 1 1( ) uuu u uu u \u3c8\u3c8 \u3c8 \u3d5\u23a7 \u23ab+\u2202 \u2202 \u2202\u2202 \u2202\u23aa \u23aa= + +\u23a8 \u23ac\u2202 \u2202\u2202 \u2202+ \u2202\u23aa \u23aa\u23a9 \u23ad2vvv v vv v \u25a0 
 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 68 
Apêndice A \u2013 Coordenadas curvilíneas 
Equation Section 1 
 a) Preliminares 
i) Revisão de alguns conceitos em coordenadas cartesianas 
 Considere um campo escalar ( , , )f x y z e um campo vetorial ( , , ) ( , , )x xF x y z e F x y z= +
G G
 
( , , ) ( , , )y y z ze F x y z e F x y z+G G . Vale recordar as seguintes definições: 
 
x y ze e ex y z
\u2202 \u2202 \u2202\u2207 \u2261 + +\u2202 \u2202 \u2202
G G G
 : operador nabla ou del 
 
x y z
f f ff e e e
x y z
\u2202 \u2202 \u2202\u2207 \u2261 + +\u2202 \u2202 \u2202
G G G
 : gradiente de f 
 
( ) :yx zx y z x x y y z z FF Fe e e e F e F e F divergência de Fx y z x y zF \u2202\u2202 \u2202\u2202 \u2202 \u2202\u239b \u239e\u2207 \u2261 + + \u22c5 + + = + +\u239c \u239f\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202\u239d \u23a0\u22c5
GG G G G G GG
 
2 2 2
2
2 2 2
f f ff f
x y z
\u2202 \u2202 \u2202\u2207 = \u2207 \u22c5 \u2207 \u2261 + +\u2202 \u2202 \u2202 : laplaciano de f (a divergência do gradiente de f ) 
 
f f fdf dx dy dz
x y z
\u2202 \u2202 \u2202\u2261 + +\u2202 \u2202 \u2202 : diferencial de f 
 
F F FdF dx dy dz
x y z
\u2202 \u2202 \u2202\u2261 + +\u2202 \u2202 \u2202
G G GG
 : diferencial de F
G
 
 
 A expressão de df também pode ser escrita como segue: 
 
 ( )x y z x y zf f fdf e e e e dx e dy e dz f drx y z
\u2202 \u2202 \u2202\u239b \u239e= + + \u22c5 + + = \u2207 \u22c5\u239c \u239f\u2202 \u2202 \u2202\u239d \u23a0
JJGG G G G G G
 . (A-1) 
 
 Observe que o deslocamento infinitesimal x ydr e dx e dy\u2261 + +
JJG G G 
ze dz
G (no espaço; v. figura à esquerda) é igual a drG , diferencial do ve-
tor posição x y zr x e y e z e= + +G G G G (fato aparentemente óbvio, mas que 
constitui um dos modos de se calcular dr
JJG
 em outros sistemas de coor-
denadas): 
 
 
N N N
x zy
x y z
e ee
r r rdr e dx e dy e dz dx dy dz d r
x y z
\u2202 \u2202 \u2202\u2261 + + = + + =\u2202 \u2202 \u2202G GG
G G GJJG G G G G . (A-2) 
ii) Os principais sistemas de coordenadas não-cartesianos 
 Nas figuras abaixo definem-se, indicando-se distâncias e ângulos, os três sistemas de co-
ordenadas não-cartesianos mais importantes, estando à direita delas outras informações relevan-
tes sobre esses sistemas: 
 
dx 
dy 
dz 
dr
JJG
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 69 
 As coordenadas polares \u3c1 e \u3d5 de um ponto P do 
plano xy. A lei de transformação de coordenadas entre 
elas e as cartesianas é a seguinte: 
 
cos
( 0 , 0 2 )
sen
x
y
\u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3d5 \u3c0\u3c1 \u3d5
=\u23a7 \u2265 \u2264 <\u23a8 =\u23a9 
 
 As coordenadas cilíndricas \u3c1 , \u3d5 e z de um ponto P 
do espaço. Elas são formadas pela coordenada cartesiana z 
de P e pelas coordenadas polares \u3c1 e \u3d5 da projeção desse 
ponto no plano xy. A lei de transformação é 
 
cos
sen ( 0 , 0 2 , )
x
y z
z z
\u3c1 \u3d5
\u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3d5 \u3c0
=\u23a7\u23aa = \u2265 \u2264 < \u2208\u23a8\u23aa =\u23a9
\ 
 
 
 
 As coordenadas esféricas r, \u3b8 e \u3d5 de um ponto P 
do espaço. A lei de transformação é 
 
sen cos
sen sen ( 0 , 0 , 0 2 )
cos
x r
y r r
z r
\u3b8 \u3d5
\u3b8 \u3d5 \u3b8 \u3c0 \u3d5 \u3c0
\u3b8
=\u23a7\u23aa = \u2265 \u2264 < \u2264 <\u23a8\u23aa =\u23a9
 
 
 A nomenclatura mais usada para as diversas coordenadas de um ponto P do espaço é a 
seguinte: x é a abscissa, y é a ordenada e z é a cota de P. Já \u3c1 e r são as coordenadas radiais, 
cilíndrica e esférica, respectivamente. Quanto às coordenadas angulares, \u3d5 é a longitude (ou 
azimute) de P e \u3b8 é a co-latitude (pois é o complemento da latitude, que é a posição angular de 
P em relação ao plano xy). 
 
iii) O laplaciano em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. 
 
 Para nós, o laplaciano é especialmente importante por aparecer em várias equações da Fí-
sica Matemática, tais como as equações do calor e da onda. Boa parte do presente capítulo é vol-
tada ao seu desenvolvimento nos diversos sistemas de coordenadas. Assim, um dos nossos obje-
tivos é deduzir as expressões do laplaciano de uma função f em coordenadas polares, cilíndricas 
e esféricas (a sua definição em coordenadas cartesianas é dada abaixo para fins de referência): 
2 2 2
2
2 2 2( , , )
f f ff x y z
x y z
\u2202 \u2202 \u2202\u2207 = + +\u2202 \u2202 \u2202 (cartesianas) 
 
 
2 2
2
2 2 2
1 1( , ) f f ff \u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3c1\u3c1 \u3c1 \u3d5
\u2202 \u2202 \u2202\u2207 = + +\u2202\u2202 \u2202 (polares) (A-3) 
 
x 
y 
\u3c1 
\u3d5 
P 
x 
z 
\u3d5 
P 
z y 
\u3c1 
x 
z 
\u3d5 
P 
r 
y 
\u3b8 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 70 
 
2 2 2
2
2 2 2 2
1 1( , , ) f f f ff z
z
\u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3c1\u3c1 \u3c1 \u3d5
\u2202 \u2202 \u2202 \u2202\u2207 = + + +\u2202\u2202 \u2202 \u2202 (cilíndricas) (A-4) 
 
2 2
2
2 2 2 2
1 1 1 1( , , ) sen
sen sen
f f f ff r
r rr r
\u3b8 \u3d5 \u3b8\u3b8 \u3b8 \u3b8 \u3b8 \u3d5
\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202\u239b \u239e\u23a1 \u23a4\u2207 = + + +\u239c \u239f\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6\u239d \u23a0\u2202 \u2202 \u2202\u2202 \u2202 (esféricas) (A-5) 
 
 Uma das maneiras de realizar as deduções consiste em transformar a expressão do lapla-
ciano como é definido nas coordenadas cartesianas para as coordenadas desejadas, pela aplica-
ção reiterada da regra da cadeia. Façamos isso para o caso mais simples. Vamos deduzir o lapla-
ciano em coordenadas polares [i.e., a Eq. (A-3)], a partir da definição 2 ( , ) xx yyf x y f f\u2207 = + 
(essa notação de diferenciação parcial é utilizada abaixo). Utilizando a notação 
( , ) ( , )f x y f \u3c1 \u3d5= e o esquema de composição de funções seguinte, temos, pela regra da cadeia: 
 ( ) ( ) x x xx f f f fy \u3c1 \u3d5\u3c1 \u3c1 \u3d5\u3d5 \u21d2 = +6 6 . 
 
Derivando essa expressão novamente em relação a x (agora aplicando a regra da cadeia para 
derivar f\u3c1 e f\u3d5 do mesmo modo como se fez para f acima), obtemos 
 ( ) ( )
2 2 2 .
xx x x x xx x x x xx
x x x x xx xx
f f f f f f f
f f f f f
\u3c1\u3c1 \u3c1\u3d5 \u3c1 \u3d5\u3c1 \u3d5\u3d5 \u3d5
\u3c1\u3c1 \u3d5\u3d5 \u3c1\u3d5 \u3c1 \u3d5
\u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3d5 \u3d5 \u3d5
\u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3d5
= + + + + +
= + + + +
 
 
 Neste resultado, trocando x por y, obtemos 
 ( ) ( )
2 2 2 .
yy y y y yy y y y yy
y y y y yy yy
f f f f f f f
f f f f f
\u3c1\u3c1 \u3c1\u3d5 \u3c1 \u3d5\u3c1 \u3d5\u3d5 \u3d5
\u3c1\u3c1 \u3d5\u3d5 \u3c1\u3d5 \u3c1 \u3d5
\u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3d5 \u3d5 \u3d5
\u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3d5
= + + + + +
= + + + +
 
 
Logo, 
2
xx yyf f f\u2207 = + = 
2 2 2 2( ) ( ) 2( ) ( ) ( )x y x y x x y y xx yy xx yyf f f f f\u3c1\u3c1 \u3d5\u3d5 \u3c1\u3d5 \u3c1 \u3d5\u3c1 \u3c1 \u3d5 \u3d5 \u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3c1 \u3d5 \u3d5+ + + + + + + + + . (A-6) 
 
 Para calcular x\u3c1 , x\u3d5 , etc, usamos a lei de transformação inversa 
 
2 2x y\u3c1 \u2261 + e arctan ( / )y x\u3d5 \u3b4= + , 
 
onde, considerando [0, 2 )\u3d5 \u3c0\u2208 , é necessário definir a constante aditiva \u3b4 como sendo igual a 0, 
\u3c0, \u3c0 ou 2\u3c0 se \u3d5 for do 1o, 2o, 3o ou 4o quadrante, respectivamente, uma vez que os valores 
principais da função arctan estão no intervalo ( / 2, / 2)\u3c0 \u3c0\u2212 . Logo, 
 ( ) ( )2 2 2 2(2 ) 2 /x x y x x x y x\u3c1 \u3c1= \u2202 + \u2202 = + = , 
( )1 1 2 2 2 3 2 3( ) / /xx xx x x x y\u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1\u2212 \u2212 \u2212= \u2202 \u2202 = \u2212 = \u2212 = , 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 71 
[ ] 2 2 2 2 2/arctan ( / ) 1 ( / )x
y x y yy x
x y x x y
\u3d5 \u3b4 \u3c1
\u2202 \u2212 \u2212 \u2212= + = = =\u2202 + + , 
( )2 3 3 42 22xx x y x xyy yx\u3d5 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1\u3c1 \u3c1\u2212 \u2212\u2202= \u2212 = = =\u2202 . 
 
 Nas duas primeiras expressões acima, podemos simplesmente substituir x e y um pelo ou-
tro, já que a expressão de \u3c1 é simétrica com respeito a essa troca, para obter 
 
/y y\u3c1 \u3c1= , 2 3/yy x\u3c1 \u3c1= . 
 
Já \u3d5 não exibe tal simetria; suas derivadas em relação a y devem ser calculadas normalmente: 
 
[ ] 2 2 2 21/arctan ( / ) 1 ( / )y
x x xy x
y y x x y
\u3d5 \u3b4 \u3c1
\u2202= + = = =\u2202 + + , 
( )2 3 3 42 22yy y x y xyx xy\u3d5 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1\u3c1 \u3c1\u2212 \u2212\u2202 \u2212 \u2212= = \u2212 = =\u2202 . 
 
 Assim, 
 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2/ / ( ) / / 1x y x y x y\u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1+ = + = + = = , 
2 2 2 4 2 4 2 4 2/ / / 1/x y y x\u3d5 \u3d5 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1+ = + = = , 
3 3/ / 0x x y y xy xy\u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3d5 \u3c1 \u3c1+ = \u2212 + = 
2 3 2 3 2 3/ / / 1/xx yy y x\u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1 \u3c1+ = + = = , 
0xx yy\u3d5 \u3d5+ = . 
 
A substituição desses resultados na Eq. (A-6) fornece a Eq. (A-3) desejada. 
 A utilização do método acima (regra da cadeia) para obter o laplaciano em coordenadas 
esféricas envolve muitas contas (tente!). Para isso, adotamos um outro método, que, além de 
fornecer o resultado mais rapidamente, é válido para toda uma classe de sistemas de coordena-
das (os ditos ortogonais, a que pertencem os sistemas considerados