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aquele em 
que k i\u2260 e k j\u2260 ; ele é então reduzido a ke+G ou ke\u2212G , dependendo, respectivamente, de os ín-
dices de ijkE formarem uma permutação par ou ímpar de 1-2-3. 
 iii) O produto vetorial de vetores genéricos i ix x e=G G e j jy y e=G G é dado por 
 
 i i j j i j i jx y x e y e x y e e× = × = × \u21d2G G G G G G i j ijk kx y x y e× =G G GE . (B-6) 
 
Verifique esta fórmula atribuindo os valores 1, 2 e 3 aos índices. Temos também que 
 
m m i j ijk k m i j ijk kmz x y z z e x y e e x y \u3b4= × \u21d2 = \u22c5 = \u22c5 = \u21d2G G G G GG G E E 
 ( )m m ijm i jz x y x y\u21d2 = × =G G E . (B-7) 
 
 Uma outra maneira de deduzir essas expressões do produto vetorial z x y= ×G GG e do seu 
componente mz consiste em primeiramente verificar que 
 
 ijk i j ke e e= × \u22c5E G G G , (B-8) 
através da qual obtemos 
 
m m m i i j j m i j m i j ijm i jz z e x y e x e y e e e e e x y x y= \u22c5 = × \u22c5 = × \u22c5 = × \u22c5 =G G G G G G G G G GG E , 
ou 
 m m ijm i j mz x y z e x y e= × = =G G G GG E . (B-9) 
 
 e) Operações diferenciais (coordenadas cartesianas) 
 Sendo i ir x e=G G o vetor posição, podemos denotar o campo escalar ( )r\u3c6 G e o vetorial 
( )V r
G G respectivamente por ( )ix\u3c6 e ( )iV x
G
 bem como o operador / ix\u2202 \u2202 por i\u2202 para escrever de 
uma forma sucinta o seguinte: 
 
 i ie\u2207 = \u2202G ....................................................... operador nabla 
 i ie\u3c6 \u3c6\u2207 = \u2202G ................................................... gradiente de \u3c6 
 i iV V\u2207 \u22c5 = \u2202
G
 ................................................... divergência de V
G
 
 2 i i\u3c6 \u3c6\u2207 = \u2202 \u2202 ................................................. laplaciano de \u3c6 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 91 
 2 i j j iV e V\u2207 = \u2202 \u2202
G G .......................................... laplaciano de VG 
 ijk i j kV V e\u2207 × = \u2202
G GE ....................................... rotacional de VG 
 ( )k ijk i jV V\u2207 × = \u2202
G E ...................................... k-ésimo componente de V\u2207 × G 
 
 f) Identidades envolvendo o delta de Kronecker e o símbolo de Levi-Civita 
 Partindo das definições do delta de Kronecker e do símbolo de Levi-Civita, podemos de-
monstrar que 
 
 3ii\u3b4 = , ij ik jk\u3b4 \u3b4 \u3b4= , 3ij ij ii\u3b4 \u3b4 \u3b4= = (B-10) 
 
 
permutações pares de - - permutações ímpares de - -
ijk kij jki jik kji ikj
i j k i j k
= = = \u2212 = \u2212 = \u2212\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
 \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
E E E E E E\uf06b (B-11) 
 
 6ijk ijk =E E (B-12) 
 
 2ijk ijl kl\u3b4=E E (B-13) 
 
 ijk lmk il jm im jl\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4= \u2212E E (B-14) 
 
 
il im in
ijk lmn jl jm jn
kl km kn
\u3b4 \u3b4 \u3b4
\u3b4 \u3b4 \u3b4
\u3b4 \u3b4 \u3b4
=E E (B-15) 
 
 As identidades nas Eqs. (B-10) e (B-11) são conseqüências diretas das definições do delta 
de Kronecker e do símbolo de Levi-Civita bem como da convenção do somatório, fáceis de se-
rem verificadas. Para verificar as demais, usamos o fato de que, da última identidade acima, ob-
temos as três anteriores; observe: 
 Fazendo n = k na última, obtemos a penúltima: 
N N
3 3
(3 2) (2 3) .
im jl im jl il jm
il jm
il im ik
ijk lmk jl jm jk il jm kk ik jl km im jk kl il jk km im jl kk
kl km kk
ik jm kl il jm im jl il jm im jl
\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4
\u3b4 \u3b4
\u3b4 \u3b4 \u3b4
\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4
\u3b4 \u3b4 \u3b4
\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4
= = + + \u2212 \u2212
\u2212 = \u2212 + \u2212 = \u2212
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd
 \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd
 \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd
E E
 
 
 Fazendo j = m na penúltima, obtemos a antepenúltima: 
 
N
3
2
il
imk lmk il mm im ml mki mkl il
\u3b4
\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4= \u2212 \u21d2 =\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd
E E E E , 
 
que é a Eq. (B-13), mas com m, k e i no lugar de i, j e k, respectivamente. 
 Fazendo k = l na antepenúltima, obtemos a anterior: 
 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 92 
N
3
2 6ijk ijk kk\u3b4= =E E . 
 Resta demonstrar, portanto, apenas a última identidade, o que é feito por exaustão, isto é, 
verificando-se todas as possibilidades. 
 
 g) Demonstração de identidades vetoriais 
 A Eq. (B-14) é muito útil na demonstração de algumas identidades vetoriais. Antes de 
exemplificar o seu uso, confira os resultados simples seguintes: 
 
 (i) i j ijx \u3b4\u2202 = (ii) 3i ir x\u2207 \u22c5 = \u2202 =G (iii) ( )/ | |i i j jr x r r r x x\u2202 = = =G (B-16) 
 
EXEMPLO 1: 
Para um vetor \u3c9G constante: N N
0
( ) ( ) ( ) 0
kj
k k k ijk i j ijk i k j ijj ir r x x
\u3b4
\u3c9 \u3c9 \u3c9 \u3c9 \u3c9\u2207 \u22c5 × = \u2202 × = \u2202 = \u2202 = =G GG G E E E 
EXEMPLO 2: 
 ( ) ( )ijk i j k l l ijk klm i j l m il jm im jl i j l ma b c a b e c e a b c e a b c e\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4× × = × = = \u2212
GG G G G G GE E E 
 ( ) ( )l m l m m l l ma b c e a b c e a c b b c a= \u2212 = \u22c5 \u2212 \u22c5
G GG G G G G G (B-17) 
 
EXEMPLO 3: Se \u3b1G e \u3b2G forem vetores constantes, então 
N( ) [ ( ) ] [ ]
il
i i j j i i j jkl k l i jkl j k i l i jki j kr e r e x e x e
\u3b4
\u3b1 \u3b2 \u3b1 \u3b2 \u3b1 \u3b2 \u3b1 \u3b2 \u3b1 \u3b2 \u3b1 \u3b2\u2207 \u22c5 × = \u2202 × = \u2202 = \u2202 = = ×G G GG GG G G G G GE E E 
EXEMPLO 4: 
 ( ) ( ) ( )i i jkl j k l jkl i l i j k jkl il k i j j i kA B e A B e e e A B B A A B\u3b4\u2207 \u22c5 × = \u2202 \u22c5 = \u22c5 \u2202 = \u2202 + \u2202
G G G G G GE E E 
 jki k i j jki j i k k ijk i j j ikj i kB A A B B A A B= \u2202 + \u2202 = \u2202 \u2212 \u2202E E E E 
 ( ) ( )k k j jB A A B B A A B= \u2207 × \u2212 \u2207 × = \u22c5 \u2207 × \u2212 \u22c5 \u2207 ×
G G GG G G
 , 
ou, num modo um pouco mais curto, 
 ( ) ( ) ( )i i i ijk j k ijk k i j j i kA B A B A B B A A B\u2207 \u22c5 × = \u2202 × = \u2202 = \u2202 + \u2202
G GG G E E 
 ( ) ( ) ( ) ( )ijk i j k ikj i k j k k j jA B B A A B B A= \u2202 \u2212 \u2202 = \u2207 × \u2212 \u2207 ×
G GE E 
 B A A B= \u22c5 \u2207 × \u2212 \u22c5 \u2207 ×G GG G (B-18) 
 
EXEMPLO 5: 
 ( ) ( )ijk k ijk lmk l m il jm im jl l m i j j iA B A B A B A B A B\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4× = = \u2212 = \u2212
G GE E E (B-19) 
 
 Em particular, substituindo A
G
 por \u2207 : 
 ( )ijk k i j j iB B B\u2207 × = \u2202 \u2212\u2202
GE . (B-20) 
 
EXEMPLO 6: Seja A A A\u22a5= +&
G G G
 um campo vetorial decomposto em dois 
componentes vetoriais, um paralelo e outro perpendicular ao versor radial 
/re r r=G G ; temos que 
 
A
G
A&
G
A\u22a5
G
rG 
O 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 93 
( )
( ) ( )
2 2
/
( )
( )1 1
j j i j j i ij j i
r i i j i j i
j ji i r r
j i ij j j
x e r x x r r x x r
A e A e A e A
r r r
x eA x A A e e Ar re A e A A
r r r r r r r r
\u3b4
\u3b4 \u22a5
\u2202 \u2212 \u2202 \u2212\u22c5 \u2207 = \u2202 = =
\u2212 \u22c5= \u2212 = \u2212 \u22c5 \u22c5 = =
GG G G G
G G GG G GG GGG G
 
 
 A relação 2ijk ijl kl\u3b4=E E também surge nas demonstrações algumas vezes. Por exemplo, se 
\u3c9G for um vetor constante, então 
 
N
2
( ) ( ) ( )
2 2
im
kl
k kij i j k kij i jlm l m k kij jlm l i m
k l kij jli k l ijk ijl k k
r e r e x e x
e e e
\u3b4
\u3b4
\u3c9 \u3c9 \u3c9 \u3c9
\u3c9 \u3c9 \u3c9 \u3c9
\u2207× × = \u2202 × = \u2202 = \u2202
= = = =
G GG G G G G
GG G G
\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd
E E E E E
E E E E 
 h) Matrizes e determinantes 
NOTAÇÃO PARA MATRIZES E OPERAÇÕES ELEMENTARES 
 Uma matriz A pode ser denotada através dos elementos que a compõem, ija : ( )ijA a= . 
Objetivando introduzir a notação indicial (i.e., através de índices) das matrizes, citemos algumas 
definições que o aluno certamente já aprendeu: para matrizes A, B, C " , temos que 
 
\u2022 Se ij ij ijC A B c a b= ± \u21d2 = ± (B-21) 
\u2022 Se ij ik kjC AB c a b= \u21d2 = (note a convenção do somatório) (B-22) 
\u2022 Se TA for a matriz transposta de A então Tij jia a= (B-23) 
 
DETERMINANTES 
\u2022 Definição de determinante: 
 O determinante de uma matriz ( )ijA a= de ordem N N× , denotado por det A , ou | |ija , 
ou ainda por a, a letra pura, sem índices, empregada na notação dos elementos de ( )ijA a= , é, 
por definição, a soma de todos os termos que podem ser formados do seguinte modo: De cada 
linha {coluna}, tome um elemento que não seja da mesma coluna {linha} de algum elemento já 
tomado, forme o produto 
1 21 2 Nj j N ja a a" { 1 21 2 Ni i i Na a a" } ( 1 2, , Nj j j" distintos { 1 2, , Ni i i" 
distintos} ) de tais elementos e multiplique-o por +1 ou \u20131, conforme 1 2 Nj j j\u2212 \u2212 \u2212" {
1 2 Ni i i\u2212 \u2212 \u2212" } seja uma permutação par ou ímpar, respectivamente, de 1 2 N\u2212 \u2212 \u2212" ( i.e, mul-
tiplique aquele produto por 
1 2 Nj j j"E { 1 2 Ni i i"E } ). Matematicamente, essa definição é assim ex-
pressa: