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t t
i i i i i
i i i i i
t t tu t
t
i
i i
t
ddt dt dt
dtx x x x x
d dt
dtx x
\u3be \u3be \u3be \u3be \u3be
\u3be
=
\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202\u23a1 \u23a4 \u239b \u239e+ = + \u2212 \u239c \u239f\u23a2 \u23a5 \u239d \u23a0\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202\u23a3 \u23a6
\u2202 \u2202\u239b \u239e\u23a1 \u23a4= \u2212 =\u239c \u239f\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6\u239d \u23a0\u2202 \u2202
\u222b \u222b \u222b
\u222b
\ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd
L L L L L
L L
 
 
onde o valor zero indicado é justificado pela Eq. (C-3). Como i\u3be são todos arbitrários e inde-
pendentes um dos outros, concluímos que o termo entre colchetes na última integral é nulo: 
 
 0 ( 1,2 )i i
d i N
dt x x
\u2202 \u2202\u239b \u239e \u2212 = =\u239c \u239f\u239d \u23a0\u2202 \u2202 "\ufffd
L L . (C-6) 
 
 Essas são as chamadas equações de Euler-Lagrange. Elas devem ser satisfeitas pelas fun-
ções ( )ix t que especificam parametricamente a curva ao longo da qual o valor da integral fun-
damental é extremo. 
 Como exemplo, considere o problema de determinar as geodésicas (que são as curvas mais 
curtas entre dois pontos dados) numa superfície esférica de raio R centrada na origem. Em coor-
denadas esféricas, a integral a ser minimizada é a seguinte: 
 
2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2sen 1 sen [com / ]ds R d R d R d d d
\u3b8
\u3b8
\u3b8 \u3b8 \u3d5 \u3d5 \u3b8 \u3b8 \u3d5 \u3d5 \u3b8= + = + \u2261\u222b \u222b \u222bP PP P \ufffd \ufffd . 
 
Esta é uma integral como a da Eq. (C-1), em que t \u3b8= , 1x \u3d5= e 1 1( , , ) ( , , )t x x \u3b8 \u3d5 \u3d5= \u2261\ufffd\ufffdL L 
2 21 sen\u3d5 \u3b8+ \ufffd (\u2217). Consoante a Eq. (C-6), a geodésica ( )\u3d5 \u3b8 deve satisfazer a equação 
 
 
(\u2217) Note que, embora o espaço formado pelos pontos de coordenadas ( , )\u3b8 \u3d5 na superfície esférica seja bidimensio-
nal, a função fundamental não se apresenta na forma 1 2 1 2( , , , , )t x x x x =\ufffd \ufffdL ( , , , , )t \u3b8 \u3d5 \u3b8 \u3d5\ufffd \ufffdL , pois as curvas não estão 
sendo representadas escrevendo-se as duas coordenadas em função de um parâmetro, ( )t\u3b8 e ( )t\u3d5 , mas através da 
função ( )\u3d5 \u3b8 ; nesse caso, na formação da função fundamental ( , , )i it x x\ufffdL , temos apenas i = 1, com 1x \u3d5= e a 
coordenada \u3b8 tomando o lugar do parâmetro t. O problema poderia ser resolvido com a função fundamental 
( , , , , )t \u3b8 \u3d5 \u3b8 \u3d5\ufffd \ufffdL , i.e., com as duas coordenadas em função de um parâmetro t genérico, o que o tornaria mais com-
plicado. 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 105 
 ( ) 22 2sen 0 0 ,1 sendd \u3d5 \u3b8\u3b8 \u3d5 \u3d5 \u3b8 \u3d5 \u3b8\u2202 \u2202 \u2202 \u239b \u239e\u2212 = \u2212 =\u239c \u239f\u2202 \u2202 \u2202 \u239d \u23a0+\ufffd\ufffd \ufffdL L 
ou 
22
2 1 1
1 2 2 22 2 2 2
1 1
| |sen
sen (sen )1 sen sen sen
c cdc
dc c
\u3d5 \u3b8 \u3d5\u3d5 \u3b8\u3b8 \u3b8\u3d5 \u3b8 \u3b8 \u3b8= \u21d2 = \u21d2 =\u2212+ \u2212
\ufffd \ufffd
\ufffd
 . (C-7) 
 
 No caso de a constante de integração 1c ser nula, temos a geodésica 0\u3d5 \u3d5= = constante 
(um dos meridianos da superfície esférica). 
 No caso em que 1 0c \u2260 , a integração da equação acima torna-se mais fácil mediante a 
mudança de variável cotu \u3b8\u2261 ; temos que 
 
2 2 2( csc ) (1 cot ) (1 )d d du d d du
d du d du du du
\u3d5 \u3d5 \u3d5 \u3d5 \u3d5\u3b8 \u3b8\u3b8 \u3b8= = \u2212 = \u2212 + = \u2212 + 
e 
2 2
1 1 1sen
csc 1 cot 1 u
\u3b8 \u3b8 \u3b8= = =+ + . 
 
Logo, substituindo esses resultados na Eq. (C-7), obtemos 
 
2 2
2 1 1 1
2 2 2 22 2 21 1 112 12 2
1
| | | | (1 ) | | (1 )
(1 )
1 1 1
(1 ) 111 1
c c u c udu
du c c u cc c uuu c
\u3d5 + +\u2212 + = = =
\u2212 \u2212 \u239b \u239e\u2212 \u2212 \u2212\u239c \u239f+ \u239d \u23a0+ \u2212
 
 
1
2 2 2
21 1
21/ 1
| | 1 (1/ ) arccos
1 1 ( / )
1
1
cd d u
du duc c uu
c\u3c1
\u3d5 \u3c1
\u3c1\u3c1
\u2261
\u2212 \u2212\u21d2 = = =
\u2212 \u2212\u2212 \u2212\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd
 
cotarccos ( : const. de integração) cos( )u u \u3b8\u3d5 \u3b1 \u3b1 \u3d5 \u3b1\u3c1 \u3c1 \u3c1\u21d2 = + \u21d2 = = \u2212 
cot cos cos sen sen cos sen
a b
a b\u3b8 \u3c1 \u3b1 \u3d5 \u3c1 \u3b1 \u3d5 \u3d5 \u3d5
\u2261 \u2261
\u21d2 = + = +\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd
 \ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd
 (a e b: constantes arbitrárias) . 
 
 Se fizermos A aC\u2261 e B bC\u2261 , sendo C uma constante arbitrária, podemos dizer que a 
equação das geodésicas numa superfície esférica é dada por 
 
 cot cos senC A B\u3b8 \u3d5 \u3d5= + . (C-8) 
 
Nesta forma incluem-se as geodésicas 0 const.\u3d5 \u3d5= = , correspondentes a 0C = . 
 Se multiplicarmos a equação acima por senR \u3b8 obtemos Cz Ax By= + , sendo ( , , )x y z as 
coordenadas cartesianas de um ponto na superfície esférica de raio R. Ou seja, as geodésicas são 
interseções entre planos que passam pela origem e a superfície esférica; em outras palavras, são 
grandes círculos. 
 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 106 
 
 Nota: Para afirmar que a Eq. (C-8) representa um grande círculo genérico, devemos mostrar que as constan-
tes que nela aparecem são arbitrárias. A constante C é arbitrária por definição; quanto a A e B, podemos mostrar que 
também são arbitrárias como segue: Temos que 
 
Eq. (C )
2 2 2 1 2
1 1
-7
1| sen | | sen | 1 sen | | 1 | | 1 [0, )c c c\u3d5 \u3b8 \u3d5 \u3b8 \u3d5 \u3b8 \u3c1 \u2212\u2264 < + \u21d2 < \u21d2 \u2261 \u2212 \u2208 \u221e\ufffd \ufffd \ufffd . 
Além disso, \u3b1, por ser uma constante de integração, é arbitrária. Logo, podemos encarar \u3c1 e \u3b1 nas equações 
cosa \u3c1 \u3b1= e senb \u3c1 \u3b1= , que definem a e b, como as coordenadas polares de um ponto genérico do 2\ cujas 
coordenadas cartesianas são ( , )a b . Assim, sendo a e b constantes arbitrárias, então A = aC e B = bC também o são. 
 
 b) Problema variacional com vínculos 
 Este tópico é melhor apresentando por meio de &quot;variações&quot;. Preliminarmente, portanto, 
expliquemos como empregá-las deduzindo novamente a Eq. (C-6): 
 Na Eq. (C-2), ( )iu t\u3be pode ser interpretado como uma variação infinitesimal ix\u3b4 [arbitrá-
ria, a menos da restrição de anular-se quando 1t t= ou 2t t= ] que, ao ser acrescida à curva ex-
tremante ( )ix t , produz uma curva arbitrária ( )ix t\u2032 [que é a notação a ser aqui adotada para a 
curva ( , )i t u\u3c7 dada pela Eq. (C-2) ] que passa pelos pontos 1 1[ ( )]ix tP e 2 2[ ( )]ix tP : 
 
 variação de ( )( ) ( ) ( ) ( )
ix ti i i ix t x t x t x t\u3b4 \u3b4\u23af\u23af\u23af\u23af\u23af\u23af\u2192 = +\u2032 (C-9a) 
 1 2( ) ( ) 0
i ix t x t\u3b4 \u3b4= = (C-9b) 
 
 Como ix\u3b4 são variações das coordenadas em torno de suas expressões ( )ix t para as quais 
I é estacionário, deve ser nula a variação I\u3b4 decorrente dessas variações, dada pela diferença 
entre os valores da integral fundamental calculada com ( )ix t\u2032 e com ( )ix t : 
 
 
2 2 2
1 1 1
( , , ) ( , , ) 0
t t t
i i i i
t t t
I t x x dt t x x dt dt\u3b4 \u3b4= \u2212 = =\u2032 \u2032\u222b \u222b \u222b\ufffd \ufffdL L L , (C-10) 
onde 
 
 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )i i i i i i i i i i i ii it x x t x x t x x x x t x x x xx x
\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4\u2202 \u2202= \u2212 = + + \u2212 = +\u2032 \u2032 \u2202 \u2202\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd\ufffd
L LL L L L L , 
(C-11) 
sendo / ix\u2202 \u2202L e / ix\u2202 \u2202 \ufffdL calculados com a curva extremante. Note que 
 
 ( )
i
i i i i i d xdx x x x x
dt dt
\u3b4\u3b4 = \u2212 = \u2212 =\u2032 \u2032\ufffd \ufffd \ufffd , (C-12) 
 
cuja substituição na equação anterior fornece 
 
 
i
i i i i
i i i i i
d x d dx x x x
dt dt dtx x x x x
\u3b4\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202\u239b \u239e \u239b \u239e= + = + \u2212\u239c \u239f \u239c \u239f\u239d \u23a0 \u239d \u23a0\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202\ufffd \ufffd \ufffd
L L L L LL , 
 i ii i i
d dx x
dt dtx x x
\u3b4 \u3b4\u2202 \u2202 \u2202\u23a1 \u23a4\u239b \u239e \u239b \u239e= \u2212 +\u239c \u239f \u239c \u239f\u23a2 \u23a5\u239d \u23a0 \u239d \u23a0\u2202 \u2202 \u2202\u23a3 \u23a6\ufffd \ufffd
L L L . (C-13) 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 107 
 
Substituindo, por sua vez, esse resultado na Eq. (C-10), obtemos 
 
 
22 2
1 1 1
0
0
tt t
i i
i i i
t t t t
ddt dt x x
dtx x x
\u3b4 \u3b4 \u3b4
=
\u2202 \u2202 \u2202\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4\u239b \u239e= \u2212 + =\u239c \u239f\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u239d \u23a0\u2202 \u2202 \u2202\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6\u222b \u222b \ufffd \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
L L LL , (C-14) 
onde o segundo termo se anula por causa da Eq. (C-9b). 
 Finalmente, por serem todos os ix\u3b4 arbitrários e independentes um dos outros, o termo 
entre colchetes no integrando acima deve ser posto igual a zero. Concluímos, assim, que a Eq. 
(C-6) é válida quando avaliada com a parametrização extremante ( )ix t . 
 Podemos passar agora para o problema variacional com vínculos. Suponhamos que a cur-
va extremante ( )ix t de NV há de ser encontrada entre as que satisfazem K L M+ = condições, 
denominadas vínculos, da forma 
 
 ( , , ) 0 [ 1,2 ]i ik t x x k K N\u3c6 = = <\ufffd &quot; (C-15) 
ou da forma isoperimétrica (\u2217) 
 
 
2
1
( , , ) = constante [ 1, , ]
t
i i
l l
t
t x x dt c l K K L\u3c6 = = + +\u222b \ufffd &quot; . (C-16) 
 
 Se, após multiplicarmos as K condições na Eq. (C-15) por funções ( )k t\u3bb ( 1, 2 )k K= &quot; , 
somá-las e integrar o resultado no intervalo 1 2[ , ]t t t\u2208 , 
 
 
2
1
0 ( , , )
t
i i
k k
t
t x x dt\u3bb \u3c6= \u222b \ufffd , (C-17) 
 
multiplicar por constantes l\u3bb ( 1, , )l K K L= + +&quot; as L condições na Eq. (C-16) e somá-las, 
 
 
2