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INTRODUÇÃO AOS TENSORES 111 
 ( , , ) ( , ) 0j i i J j i i Jj jI t x x d t t x x d t dt\u3b4 \u3b4= \u2202 \u2212 \u2202 = =\u2032 \u2032\u222b \u222b \u222bD D DL L L , (C-31) 
onde 
 ( , , ) ( , , ) [ , , ( ) ] ( , , )j i i j i i j i i i i j i ij j j j jt x x t x x t x x x x t x x\u3b4 \u3b4 \u3b4= \u2202 \u2212 \u2202 = + \u2202 + \u2202 \u2212 \u2202\u2032 \u2032L L L L L 
 ( )
( )
i i
ji i
j
x x
x x
\u3b4 \u3b4\u2202 \u2202= + \u2202\u2202 \u2202 \u2202
L L , (C-32) 
sendo / ix\u2202 \u2202L e / ( )ij x\u2202 \u2202 \u2202L calculados com a parametrização extremante ( )i jx t . Note que 
 
 ( )( )
i i ii i
i i i
j j j j j j j
x x xx xx x x
t t t t
\u3b4\u3b4 \u2202 \u2212 \u2202\u2202 \u2202 \u2032\u2032\u2202 = \u2202 \u2212 \u2202 = \u2212 = =\u2032 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 , (C-33) 
 
cuja substituição na equação anterior fornece 
 
 
( ) ( )( )
i ii i i
i ii i j i j j
j jj
x xx x x
x xx x t x t t
\u3b4 \u3b4\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4\u2202 \u2202\u2202\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4= + = + \u2212\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u2202 \u2202 \u2202 \u2202\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202
L LL L LL , 
 
( ) ( )
ii
i ii j j
j j
xx
x xx t t
\u3b4\u3b4\u2202 \u2202\u23a7 \u23ab\u2202 \u2202 \u2202\u23aa \u23aa\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4= \u2212 +\u23a8 \u23ac\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u2202 \u2202 \u2202 \u2202\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6\u2202 \u2202 \u2202\u23aa \u23aa\u23a9 \u23ad
L LL (C-34) 
 
Substituindo, por sua vez, esse resultado na Eq. (C-31), obtemos 
 
 0
( ) ( )
iJ i J
i ii j j
j j
xd t x d t
x xx t t
\u3b4\u3b4\u2202 \u2202\u23a7 \u23ab\u2202 \u2202 \u2202\u23aa \u23aa\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4\u2212 + =\u23a8 \u23ac\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u2202 \u2202 \u2202 \u2202\u23a3 \u23a6\u2202 \u2202 \u2202\u23a3 \u23a6\u23aa \u23aa\u23a9 \u23ad\u222b \u222bD DL LL . (C-35) 
 
 Finalmente, tendo em conta que a segunda integral acima é nula (verificaremos isso logo 
adiante) e que todos os ix\u3b4 são arbitrários e independentes um dos outros, concluímos que de-
vemos igualar a zero o termo entre colchetes na primeira integral e assim obter 
 
 0 ( 1, 2 )
( )j i ij
i N
t x x
\u2202 \u2202 \u2202\u23a1 \u23a4 \u2212 = =\u23a2 \u23a5\u2202 \u2202 \u2202 \u2202\u23a3 \u23a6
"L L . (C-36) 
 
Essas N equações foram deduzidas da Eq. (C-31) avaliada com a parametrização extremante 
( )i jx t , a qual, portanto, deve necessariamente satisfazê-las. 
 A maneira de mostrar que a segunda integral na Eq. (C-35) é nula consiste em efetuar a 
integração em jt para obter uma nova integral múltipla (de multiplicidade 1J \u2212 ) cujo integran-
do é o termo [ / ( )]i ij x x\u3b4\u2202 \u2202 \u2202L avaliado em \u2202D , um integrando nulo, portanto, em vista da Eq. 
(C-30b). Esse procedimento de efetuar uma das integrais simples que compõe uma integral múl-
tipla sobre certa região para transformá-la noutra sobre a fronteira dessa região é usado, por 
exemplo, nas demonstrações dos teoremas de Green e de Gauss da Análise Vetorial, a cujo estu-
do aconselhamos o estudante ainda não familiarizado antes de prosseguir(\u2217). No nosso caso (sem 
usar a convenção do somatório), temos 
 
(\u2217) Por exemplo, consulte [1] W. Kaplan, Cálculo Avançado, Vol. I, Seçs. 5-5 e 5-11, Ed. Edgard Blücher Ltda, 
1972; ou [2] R. E. Williamson et. al., Cálculo de Funções Vetoriais, Vol. 2, Seçs. 7-1 e 7-5, LTC Ed. S. A., 1975. 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 112 
1 1 1
1
int egral de multiplicidade 1 sobre ( )
( ) ( )
j
j
j
gJ i iJ j j J j
i ij j
fj jj j
J P
x xd t dt dt dt dt dt
x xt t
\u3b4 \u3b4\u2212 +
=
\u2212
\u2202 \u2202\u2202 \u2202\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4=\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u2202 \u2202 \u2202 \u2202\u2202 \u2202\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6\u2211 \u2211\u222b \u222b \u222b \u222b \u222b \u222bD
D
" "
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
L L
 
1
( )
0 ( )
0
( )
j
j j
j
g
J i
i
j j t fP
d t x
x
\u3b4\u2212
=
\u2217
\u2202\u23a1 \u23a4= =\u23a2 \u23a5\u23a3 \u2202 \u2202 \u23a6\u2211 \u222b
D \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
L . (C-37) 
onde 
\u2022 { }1 1 1 1 1 1 1( ) ( , , , , , ), onde ( , , , , , , )j j J j j j J JjP t t t t t t t t t\u2212 + \u2212 + \u2212\u2261 \u2208 \u2282D D" " " " \ : a projeção 
de D no espaço descrito pelos 1J \u2212 eixos 1 1 1, , , , e j j Jt t t t\u2212 +" " (todos menos o eixo jt ). 
 
\u2022 jf e jg são funções definidas sobre ( )jP D [i.e., Dom( ) Dom( ) ( ) ]j j jf g P= = D de modo 
que { }1 1 1 j 1 1 1( , , , , , , ), com g e ( , , , , , ) ( )j j j J j j j j J jt t t t t f t t t t t P\u2212 + \u2212 +\u2264 \u2264 \u2208=D D" " " " , 
ou seja, de modo que D esteja entre as hipersuperfícies(\u2020) do J\ dadas por j jt f= e 
j jt g= . 
 
 A nulidade do termo indicado com (\u2217) na Eq. (C-37) é justificada pelo fato de que 
j j
i
t f
x\u3b4 = = 0j j
i
t g
x\u3b4 = = , já que as hipersuperfícies 
j jt f= e j jt g= estão contidas na 
fronteira \u2202D de D, na qual, por hipótese, ( ) 0ix\u3b4 \u2202 =D . 
 Admite-se que as funções jf e jg ( 1, , )j J= " possam ser definidas conforme descri-
tas acima para toda a região D ou, não sendo esse o caso, que exista uma partição de D em 
sub-regiões para as quais aquelas funções possam ser definidas. 
 Como exemplo, considere a corda vibrante. A função ( , )y x t [ordenada em função da abs-
cissa e do tempo] que descreve a forma da corda de densidade linear \u3c1 que vibra sob tensão \u3c4 
com seus extremos em x = 0 e x = l fixos é aquela que, segundo o princípio de Hamilton, torna 
mínimo o valor da integral (§) 
 
 2
1 0
t l
t
dx dt\u222b \u222b L , onde 2 2( , , , , ) / 2 / 2t x y y y y y\u3c1 \u3c4\u2032 = \u2212 \u2032\ufffd \ufffdL , (C-38) 
 
sendo usadas as notações: /y y t\u2261 \u2202 \u2202\ufffd e /y y x\u2032 \u2261 \u2202 \u2202 . Temos um problema com uma função in-
cógnita ( 1)N = e dois parâmetros ( 2)J = , para o qual a Eq. (C-36) [com a substituição de no-
tação 1x y\u2192 , 1t t\u2192 e 2t x\u2192 ] fornece 
 
 0 ( ) ( ) 0 0y y y y
t y x y y t x
\u3c1\u3c1 \u3c4 \u3c4
\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2032 \u2032\u2032+ \u2212 = \u21d2 \u2212 \u2212 = \u21d2 =\u2032\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202\ufffd \ufffd\ufffd\ufffd
L L L , (C-39) 
 
(\u2020) No J\ , uma hipersuperfície é o lugar geométrico cujos pontos têm coordenadas que satisfazem uma única equa-
ção: 1 2( , ) 0Jf x x x =" . 
(§) Para uma referência, veja o exemplo que segue a Eq. (2.23) in F. W. Byron Jr. & R. W. Fuller, Mathematics of 
Classical and Quantum Physics, Dover Publications, 1992 (pp. 67-69 desta edição). 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 113 
a conhecida equação da corda vibrante. 
 Observe que a formulação apresentada contempla a hipótese de que a região de integração 
D seja ilimitada ao longo de um ou mais eixos jt ; nesse caso, devemos exigir que 0ix\u3b4 \u2192 
quando cada um desses parâmetros se tornar infinito: jt \u2192 \u221e (ou \u2212\u221e ). Por exemplo, nos pro-
blemas eletromagnéticos em todo o espaço, as densidades de carga elétrica \u3c1 e de corrente elé-
trica J
G
 são consideradas localizadas numa extensão finita do espaço para garantir que os poten-
ciais tendam a zero no infinito. Em tais problemas, as equações de Maxwell resultam da mini-
mização da seguinte integral múltipla [integral no tempo 1 2( , )t t t\u2208 e em todas as posições 
j jr z e=G G do espaço] 
 
 
2
3
1
3
t
t
d r dt\u222b \u222b\ L , onde 2 20 012 2E B J A\u3b5 \u3c1\u3a6\u3bc= \u2212 + \u22c5 \u2212GG G GL . (C-40) 
 
 Usando as conhecidas expressões dos campos elétrico k kE E e=
G G
 e magnético k kB B e=
G G
 
em termos dos potenciais escalar \u3a6 e vetor k kA A e=
G G , 
 
 0 0ou ( / , / )k k k k k k k
AE E A z A A t
t
\u3a6 \u3a6 \u3a6 \u3a6\u2202= \u2212\u2207 \u2212 = \u2212\u2202 \u2212 \u2202 \u2202 \u2261 \u2202 \u2202 \u2202 \u2261 \u2202 \u2202\u2202
GG
 (C-41) 
e 
 ou ( / )k kji j i j i i jB A B A A A z= \u2207 × = \u2202 \u2202 \u2261 \u2202 \u2202
GG E , (C-42) 
 
[observe a notação empregada: 0 f\u2202 é a derivada temporal e j f\u2202 é a derivada da grandeza f em 
relação à coordenada cartesiana jz ], podemos reescrever a expressão de L como segue: 
 
0
0
1
2 2k k k k i i
E E B B J A
\u3b5 \u3c1\u3a6\u3bc= \u2212 + \u2212L 
0
0 0
0
1( ) ( ) ( ) ( )
2 2k k k k kji j i kml m l i i
A A A A J A
\u3b5 \u3a6 \u3a6 \u3c1\u3a6\u3bc= \u2202 + \u2202 \u2202 + \u2202 \u2212 \u2202 \u2202 + \u2212E E 
0
0 0
0
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
2 2k k k k j i j i j i i j i i
A A A A A A J A
\u3b5 \u3a6 \u3a6 \u3c1\u3a6\u3bc \u23a1 \u23a4= \u2202 + \u2202 \u2202 + \u2202 \u2212 \u2202 \u2202 \u2212 \u2202 \u2202 + \u2212\u23a3 \u23a6 
(C-43) 
 
onde usamos a fórmula kji kml jm il kl im\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4= \u2212E E . Numa situação mais genérica que a presente 
(na equação acima, L não depende de 0, e jt z \u3a6\u2202 ), vislumbramos que a dependência de L 
seria dada por 
 
 NN 0 0( , , , , , , , )
i ij
j
j i j i j i
x xt
t z A A A\u3a6 \u3a6 \u3a6
\u2202
= \u2202 \u2202 \u2202 \u2202\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
L L , 
 
onde confrontamos os argumentos de L com os usados no desenvolvimento da teoria para ver 
que os parâmetros jt correspondem ao tempo e às coordenadas cartesianas do vetor posição, as 
coordenadas ix correspondem aos componentes cartesianos dos potenciais (vistos como coor-
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 114 
denadas no espaço de configurações)