Tensores2
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e ij x\u2202 correspondem às derivadas espaciais e temporal 
dos potenciais. 
 Logo, a aplicação das Eqs. (C-36) (no caso, um total de quatro equações, correspondentes 
às grandezas que estabelecem a configuração do campo: \u3a6 e os três componentes iA ) fornece 
 
 
0
0
( ) ( )j jt z\u3a6 \u3a6 \u3a6
\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202+ \u2212 =\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202
L L L (C-44) 
e 
 
0
0
( ) ( )i j j i it A z A A
\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202+ \u2212 =\u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202 \u2202
L L L . (C-45) 
Substituindo 
 
0
0
( )\u3a6
\u2202 =\u2202 \u2202
L , 0 0( )( ) j jj
A\u3b5 \u3a6\u3a6
\u2202 = \u2202 + \u2202\u2202 \u2202
L e \u3c1\u3a6
\u2202 = \u2212\u2202
L 
 
na Eq. (C-44), obtemos a equação de Maxwell que incorpora a lei de Coulomb: 
 
 0 0 00 ( )
j
j
j j
j jE
E
A
z z
\u3b5 \u3a6 \u3c1 \u3b5 \u3c1
\u2212
\u2202\u2202+ \u2202 + \u2202 + = \u2212 + =\u2202 \u2202\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
 0 0E\u3b5 \u3c1\u2212 \u2207 \u22c5 + =
G
 , (C-46) 
onde usamos a Eq. (C-41). Substituindo agora 
 
0 0
0
( )
( ) i ii
A
A
\u3b5 \u3a6\u2202 = \u2202 + \u2202\u2202 \u2202
L , 
0
1 ( )
( ) j i i jj i
A A
A \u3bc
\u2202 = \u2212 \u2202 \u2212 \u2202\u2202 \u2202
L e i
i
J
A
\u2202 =\u2202
L 
 
na Eq. (C-45), obtemos a equação de Maxwell referente à lei de Ampère: 
 
0 0 0
0 0
( )
1 1( ) ( )
i kji k
i
i
i i j i i j i ijk k i
j jE B
B
E
A A A J B J
t z t z
\u3b5 \u3a6 \u3b5\u3bc \u3bc\u2212
\u2207×
\u2202\u2202 \u2202 \u2202\u2202 + \u2202 \u2212 \u2202 \u2212 \u2202 \u2212 = \u2212 + \u2212\u2202 \u2202 \u2202 \u2202
G
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
 \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
 \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
E
E 
0
0
( )i i
i
B E
J
t
\u3b5\u3bc
\u2207 × \u2202\u21d2 = + \u21d2\u2202
G
0
0
1 EB J
t
\u3b5\u3bc
\u2202\u2207 × = + \u2202
GG G
 , 
 
onde usamos as Eqs. (B-20) e (C-42): ( )j i i j kji k kji kA A A B\u2202 \u2212 \u2202 = \u2207 × =
GE E . 
 Vemos, assim, que apenas as equações de Maxwell inomogênas resultam do problema 
variacional acima(\u2217). Mas, para esse problema ser formulado, já se fez uso das equações de 
Maxwell homogêneas: elas fundamentam os potenciais nas Eqs. (C-41) e (C-42). Estas equa-
ções, de fato, harmonizam-se com as equações de Maxwell homogêneas, a que atesta a inexis-
tência de pólos magnéticos e a que expressa a lei de Faraday: 
 
B\u2207 \u22c5 G ( )A= \u2207 \u22c5 \u2207 × G 0= , 
 
(\u2217) A dedução variacional das equações de Maxwell homogêneas pode ser encontrada, por exemplo, nos §§ 17 e 26 
do livro The Classical Theory of Fields (Pergamon Press, Fourth English edition, 1975) de L. D. Landau e M. Li-
fshitz 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 115 
BE
t
\u2202\u2207 × + \u2202
GG ( )
0
( )AA A
t t t
\u3a6 \u3a6\u2202 \u2207 ×\u2202 \u2202= \u2207 × \u2212\u2207 \u2212 + = \u2212\u2207 × \u2207 \u2212 \u2207 ×\u2202 \u2202 \u2202G
GG G
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd
 ( )At
\u2202 \u2207 ×+ \u2202
G
 0= G . 
 
 d) Extremo de integral múltipla com vínculos 
 Consideremos, por fim, o problema de determinar as funções ( )i jx t [ 1,i N= " e 
1,j J= " ] que extremam a integral fundamental 
 
 ( , , ) [ / ]j i i J i i jj jI t x x d t x x t= \u2202 \u2202 \u2261 \u2202 \u2202\u222bD L , (C-47) 
sob condições do tipo 
 ( , , ) 0 [ 1,2 ]j i ik jt x x k K N\u3c6 \u2202 = = <&quot; (C-48) 
 
e também da forma isoperimétrica 
 
 ( , , ) = constante [ 1, , ]j i il j lt x x dt c l K K L\u3c6 \u2202 = = + +\u222bD &quot; . (C-49) 
 
 Como o procedimento a ser adotado é uma junção daqueles já apresentados nas Seçs. (b) e 
(c), faremos as passagens sem muita explicação. Multiplicamos a Eq. (C-48) por ( )k t\u3bb 
( 1, 2 )k K= &quot; e integramos em D, multiplicamos Eq. (C-49) por constantes l\u3bb ( 1, ,l K= + &quot; 
)K L+ , devendo ser observada a soma implícita nos índices repetidos, e adicionamos membro a 
membro as duas equações assim produzidas e a Eq. (C-47) para obter 
 
 J l lI d t c \u3bb= \u2212\u222bD L \u2605 , (C-50) 
onde 
 ( , , , ) ( , , ) ( , , )j i i j i i j i ij m j m m jt x x t x x t x x\u3bb \u3bb \u3c6\u2202 \u2261 \u2202 + \u2202L L\u2605 , (C-51) 
 
em que o índice de somatório m tem os valores 1, 2, , , 1, ,m K K K L M= + + =&quot; &quot; . 
 Usando as Eqs. (C-9a,b) e (C-21) para definir ix\u3b4 e m\u3b4\u3bb como variações em torno das 
expressões ( )ix t , ( )k t\u3bb e l\u3bb para as quais I é estacionário, vemos que deve ser nula a variação 
I\u3b4 decorrente daquelas variações, a qual, de acordo com a Eq. (C-50), é dada por 
 
 0J l lI d t c\u3b4 \u3b4 \u3b4\u3bb= \u2212 =\u222bD L \u2605 , (C-52) 
onde 
 
( )
( )
,
( ) ( )
i i
j mi i
mj
ii
mi ii j j
mj j
x x
x x
xx
x xx t t
\u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4\u3bb\u3bb
\u3b4\u3b4 \u3b4\u3bb\u3bb
\u2202 \u2202 \u2202= + \u2202 + \u2202\u2202 \u2202 \u2202
\u23a7 \u23ab\u2202 \u2202\u2202 \u2202\u2202 \u2202\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4\u23aa \u23aa= \u2212 + +\u23a8 \u23ac\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u2202\u2202 \u2202 \u2202 \u2202\u2202 \u2202 \u2202\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6\u23aa \u23aa\u23a9 \u23ad
L L LL
L LL L
\u2605 \u2605 \u2605\u2605
\u2605 \u2605\u2605 \u2605 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 116 
na qual o último termo surge da eliminação dos ( )ij x\u3b4 \u2202 , através da Eq. (C-33), do mesmo mo-
do como se fez na Eq. (C-34). Com esse resultado, a Eq. (C-52) torna-se 
 
N
00
( )
J i J
kii j
kj
d t x d t
xx t
\u3b4 \u3b4\u3bb\u3bb
\u23a7 \u23ab\u2202\u2202 \u2202\u2202 \u23a1 \u23a4\u23aa \u23aa\u2212 + +\u23a8 \u23ac\u23a2 \u23a5 \u2202\u2202 \u2202\u2202 \u2202 \u23a3 \u23a6\u23aa \u23aa\u23a9 \u23ad\u222b \u222bD D\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
LL L\u2605\u2605 \u2605 
0
0
( )
iJ J
l l ij
l j
xd t c d t
xt
\u3b4\u3b4\u3bb\u3bb
\u2202\u2202 \u2202 \u23a1 \u23a4\u23a1 \u23a4\u2212 + =\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u2202\u23a3 \u23a6 \u2202 \u2202\u2202 \u23a3 \u23a6\u222b \u222bD D\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
 LL
\u2605\u2605
 . 
 
 Nesta equação, a última integral é da mesma forma que a segunda integral na Eq. (C-35) e, 
pelas razões já dadas, se anula. Também indicamos três termos que são nulos porque, sendo coe-
ficientes de grandezas arbitrárias e independentes (as variações), só com a nulidade deles o 
membro direito da equação se anula. Temos, portanto, as três equações 
 
 0 ( 1, , )
( )ii j j
i N
xx t
\u2202\u2202 \u2202 \u23a1 \u23a4\u2212 = =\u23a2 \u23a5\u2202 \u2202\u2202 \u2202 \u23a3 \u23a6 &quot;
LL \u2605\u2605 , (C-53) 
 ( , , ) 0 ( 1, , )j i ij
k
t x x k K\u3c6\u3bb
\u2202 = \u2202 = =\u2202 &quot;
L \u2605 , (C-54) 
 
 ( , , ) ( 1, , )J J j i il j l
l
d t d t t x x c l J J L\u3c6\u3bb
\u2202 = \u2202 = = + +\u2202\u222b \u222bD D &quot;L \u2605 . (C-55) 
 
Reconhecem-se os vínculos nas Eqs. (C-54) e (C-55). Logo, para se obter a solução ( )i jx t do 
problema, devemos resolver o sistema formado pelas equações de vínculo e pela equação de 
Euler-Lagrange com L \u2605 no lugar da função fundamental original L . 
 Como exemplo, considere um sistema quântico onde as forças são conservativas, originá-
rias do potencial ( )V rG . A conservação da energia exprime-se através da constância do valor 
esperado da hamiltoniana em qualquer estado possível: ( ) ( )H r H r dV\u3c8 \u3c8\u2217
\u221e
= \u222bV G G = constan-
te para todo \u3c8 possível. Isto significa que, sob quaisquer variações do estado do sistema consi-
derado (\u3b4\u3c8 e \u3b4\u3c8 \u2217 arbitrários: vide nota ao final), H é estacionário: 0H\u3b4 = . Esta equa-
ção, lembrando que 2 / 2H P m V= +G , com P i= \u2212 \u2207G = , desdobra-se na equação 
2 2[ ( / 2 ) ] 0m V dV\u3b4 \u3c8 \u3c8\u2217
\u221e
\u2212 \u2207 + =\u222bV = , ou 
 
 0dV\u3b4
\u221e
=\u222bV L , com 22 Vm \u3c8 \u3c8 \u3c8 \u3c8\u2217 \u2217= \u2207 \u22c5\u2207 +=L . (C-56) 
 
Note que as derivadas segundas presentes no termo 2\u3c8\u2207 foram eliminadas, um passo necessá-
rio para que a forma da função fundamental se enquadre na formulação (L deve depender de 
derivadas das funções incógnitas que não excedam a primeira ordem). Conseguiu-se isso graças 
ao fato de que 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 117 
2
0
[ ( ) ]dV dV dS dV\u3c8 \u3c8 \u3c8 \u3c8 \u3c8 \u3c8 \u3c8 \u3c8 \u3c8 \u3c8\u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217
\u221e \u221e \u221e \u221e
\u2207 = \u2207 \u22c5 \u2207 \u2212 \u2207 \u22c5\u2207 = \u2207 \u22c5 \u2212 \u2207 \u22c5\u2207\u222b \u222b \u222b \u222bV V S VJJG\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
 , 
 
onde aplicamos o teorema da divergência para obter uma integral de superfície que é nula desde 
que se admita que 0\u3c8 \u2192 &quot;suficientemente rápido&quot; quando | |r \u2192\u221eG . 
 Naturalmente, também devemos impor a condição de normalização 
 
 1dV\u3c6
\u221e
=\u222bV , com \u3c6 \u3c8 \u3c8\u2217= . (C-57) 
 
 Ora, as Eqs. (C-56) e (C-57) definem um problema variacional do tipo que acabamos de 
estudar. Na aplicação da Eq. (C-53), a função L \u2605 , de acordo com a Eq. (C-51) (com \u3bb\u2212 em 
vez de \u3bb), deve ser 
 
 ( )( ) ( ) ( )2 , , , , ,2 j j j j jV zm\u3bb\u3c6 \u3c8 \u3c8 \u3bb \u3c8 \u3c8 \u3c8 \u3c8 \u3c8 \u3c8 \u3bb\u2217 \u2217 \u2217 \u2217\u2202 \u2202 + \u2212 = \u2202 \u2202=L- = L \u2605 , 
 
onde /j jz\u3c8 \u3c8\u2202 \u2261 \u2202 \u2202 , a derivada parcial de \u3c8 em relação à coordenada cartesiana jz . As fun-
ções incógnitas a serem determinadas de modo a satisfazer a Eq. (C-56) e o vínculo na Eq. 
(C-57) são ( )r\u3c8 G e ( )r\u3c8 \u2217 G (vide nota ao final). A essas duas funções correspondem duas equa-
ção de Euler-Lagrange; a que corresponde a \u3c8 \u2217 é 
 
( )2( ) 02( ) jj jj Vz z m\u3bb \u3c8 \u3c8\u3c8 \u3c8\u2217 \u2217\u2202 \u2202\u2202 \u2202\u2212 = \u2212 \u2212 \u2202 = \u21d2\u2202 \u2202\u2202 \u2202 \u2202 =L L\u2605 \u2605 2 22 Vm \u3c8 \u3c8 \u3bb\u3c8\u2212 \u2207 + == , (C-58) 
 
ou seja, a função de onda deve satisfazer a equação de Schödinger