Tensores2
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Tensores2


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Eq. (6-9) são os elementos da matriz 
inversa (também simétrica) da matriz ( )ijg . Em vista disso, reconhecemos no 1
o membro da Eq. 
(6-10) o cálculo de um elemento genérico do produto da matriz ( )ijg pela sua inversa. 
 Usando a Eq. (6-10) podemos mostrar que ijg é um tensor do tipo 20 (cf. Prob. 24). É o 
chamado tensor contravariante fundamental, ou ainda tensor conjugado ou recíproco de ijg (é 
simétrico, conforme já discutimos acima). 
 Duas observações: a) a Eq. (6-10) mostra um fato já comprovado na Eq. (3-5), que o delta 
de Kronecker ji\u3b4 é um tensor. Logo abaixo ficará claro que ijg , ijg e ji\u3b4 representam um 
mesmo objeto geométrico: a métrica, o que justifica chamar ji\u3b4 de tensor fundamental misto; b) 
os co-fatores ijG de ijg formam um tensor relativo contravariante de peso 2 (cf. Prob. 21). 
 
 c) A formação de novos tensores por meio dos tensores fundamentais 
 Os tensores fundamentais ijg e 
ijg podem ser usados nas operações de abaixar e levantar 
índices tensoriais assim definidas: 
 
 mi imT g T\u2261" " " "" " " " e j jn nT g T\u2261" " " "" " " " , (6-12) 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 13 
onde dizemos que o tensor T teve seu índice m abaixado como i na primeira operação e seu ín-
dice n levantado como j na segunda. Dado um tensor, este e os que dele resultam abaixando e 
levantando índices são denominados tensores associados; usamos a mesma letra para denotá-los 
(T nos exemplos acima). Tensores associados são vistos como representações de um mesmo 
objeto geométrico (de fato, a relação ji ijX g X= estabelece um isomorfismo entre os vetores 
covariantes e contravariantes associados) \u2013\u2013 exemplos: (a) ijg , 
ijg e ( )j kji ikg g\u3b4 = são diferen-
tes representações da métrica do espaço; (b) o vetor contravariante jdx e o vetor covariante 
j
i ijdx g dx= representam o mesmo deslocamento infinitesimal PQ
JJJG
 desde o ponto ( )jxP até o 
ponto ( )j jx dx+Q . 
 A liberdade de levantar e abaixar índices exige cuidado com a ordem horizontal na qual os 
índices contravariantes e covariantes são escritos. Por exemplo, em geral, jiX será diferente de 
j
iX , sendo iguais quando 
ijX for simétrico: 
 ( ) 0j j kj jk kj jki i ik ik ikX X g X g X g X X\u2212 = \u2212 = \u2212 = \u21d4 kj jkX X= . 
 
Por esta razão, daqui por diante evitaremos escrever um subíndice e um superíndice na mesma 
linha vertical. (Nos espaços vagos é comum escrever pontos \u2013 e.g: ..
ij
klT ; no caso acima teríamos 
.
j
iX e .
j
iX \u2013\u2013 prática que não adotaremos.) 
Ressalva: Nas coordenadas cartesianas ix\u2032 , o tensor métrico é dado pela Eq. 
(6-7) e, portanto, j ii ijA g A A\u2032 \u2032 \u2032 \u2032= = , mostrando que os componentes cartesianos 
de um vetor não se distinguem quanto ao tipo contravariante ou covariante; isso, 
obviamente, é válido para os componentes cartesianos de um tensor qualquer. Por-
tanto, qualquer que seja o tipo do tensor, seus componentes cartesianos podem ser 
denotados com subíndices apenas, prática comum na literatura e que será adotada 
aqui. 
 
 d) Magnitude de um vetor e ângulo entre vetores 
 O escalar i iX Y obtido pelo produto interno de 
iX com iY reduz-se ao produto escalar 
familiar no sistema de coordenadas cartesianas. Podemos, assim, definir a magnitude | |X de um 
vetor iX ou o seu associado iX através da equação 
 ( )2| | .i i j iji ij i jX X X g X X g X X\u2261 = = (6-13) 
 Podemos também definir o ângulo \u3b8 entre os vetores iA e iB (lembre-se de que estes 
representam objetos geométricos que também podem ser descritos pelos componentes covarian-
tes iA e iB ) como sendo o produto interno dos vetores unitários i\u3b1 e i\u3b2 obtidos a partir daque-
les vetores: 
 
 2 2cos , onde / | | e / | | .i i ii i iA A B B\u3b8 \u3b1 \u3b2 \u3b1 \u3b2\u2261 \u2261 = (6-14) 
 
 É fácil ver que esses dois conceitos (magnitude e ângulo) são invariantes e se reduzem aos 
conceitos familiares no espaço euclidiano tridimensional. 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 14 
 e) Propriedades do determinante métrico 
 Substituindo ijT por ijg na Eq. (5-2) obtemos 
 2 ;g J g\u2032 = (6-15) 
ou seja, como qualquer determinante de um tensor de 2a ordem covariante, o determinante mé-
trico é um escalar relativo de peso 2. Tirando a raiz quadrada de ambos os membros da equação 
acima obtemos (admitindo 0)g > 
 ,g J g\u2032 = (6-16) 
ou seja, g é um escalar relativo de peso 1. Ele desempenha um papel importante nas integra-
ções; por exemplo, temos que 
 1 2 Invariante .NdV g dx dx dx\u2261 =" (6-17) 
De fato, usando a Eq. (6-16) obtemos 
1 2 1 2 1 2 .N N NdV g dx dx dx g J dx dx dx g dx dx dx dV\u2032 \u2032= = = =\u2032 \u2032 \u2032 \u2032 \u2032 \u2032" " " 
Assim, concluímos que, se \u3c6 for um invariante, então 
 .
V V
dV dV\u3c6 \u3c6
\u2032
\u2032 \u2032 =\u222b \u222b (6-18) 
 A Eq. (6-17) é usada para definir o elemento de volume no NV . Essa definição decorre do 
fato de que aquela equação é obtida naturalmente partindo das coordenadas cartesianas ix\u2032 . Re-
almente, usando a notação ( )ija=A para a matriz com elementos /i jija x x\u2261 \u2202 \u2202\u2032 , vemos que 
2 | | | | det det det det det( )
| | | | | | ,
i l
ik ljk j
k k
ik kj ki kj iji j
x xJ a a
x x
x xa a a a g g
x x
\u2202 \u2202\u2032 \u2032\u2032 = \u22c5 = \u22c5 = \u22c5 = \u22c5 =\u2202 \u2202
\u2202 \u2202\u2032 \u2032= = = = =\u2202 \u2202
A A A A A A\ufffd \ufffd
\ufffd
 
onde usamos propriedades dos determinantes bem conhecidas e também a Eq. (6-4). Portanto, 
partindo do elemento de volume em coordenadas cartesianas ix\u2032 , mudando para as coordenas 
curvilíneas ix e usando J g\u2032 = , verificamos que a definição de dV dada na Eq. (6-17) é con-
sistente: 
 1 2 1 2 1 2N N NdV dx dx dx J dx dx dx g dx dx dx dV\u2032 \u2032= = = \u2261\u2032 \u2032 \u2032" " " . 
 
 
7. Componentes físicos de um tensor 
Equation Section (Next) 
 Num sistema de coordenadas curvilíneas ix ortogonal ( 0ijg = se i j\u2260 ), seja iX um 
vetor qualquer e i\u3be um vetor unitário ( 1)i jijg \u3be \u3be = . Temos a seguinte definição: 
 
 Componente físico do vetor iX na direção de i\u3be \u2261 i j i iij i ig X X X\u3be \u3be \u3be= = . (7-1) 
 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 15 
Essa é uma expressão invariante que, em coordenadas cartesianas iz (nas quais iZ e i\u3b6 são os 
componentes cartesianos dos vetores iX e i\u3be , respectivamente), toma a forma (\u2217) 
 i i i iX Z\u3be \u3b6= . (7-2) 
Sendo esse produto escalar dos vetores iZ e i\u3b6 a projeção ortogonal usual de iZ na direção de 
i\u3b6 , justificada está a definição na Eq. (7-1). 
 No caso de um tensor de 2a ordem, os seus componentes físicos são calculados nas dire-
ções de dois vetores unitários i\u3be e i\u3b7 (que podem coincidir), sendo definidos como segue: 
 ( ), etc.i j ij i jij i j j iT T T\u3be \u3b7 \u3be \u3b7 \u3be \u3b7= = (7-3) 
A extensão da definição de componentes físicos de tensores para os casos de ordem superior a 3 
é óbvia. 
Ressalva: Geralmente, os vetores unitários i\u3be , i\u3b7 ao longo dos quais os com-
ponentes físicos são calculados são aqueles tangentes às curvas coordenadas. Admi-
tiremos que esse é o caso ao nos referirmos aos componentes físicos de um tensor, 
que serão, então, denotados com uma barra em cima: iiX X\u3be \u3be\u2261 , i jj iT T\u3be\u3b7 \u3be \u3b7\u2261 , 
etc. 
Um exemplo para clarear mais as idéias: na notação ordinária, os componentes 
físicos de um vetor X
G
 são, no sistema de coordenadas esféricas, os coeficientes dos 
versores na equação r rX X e X e X e\u3b8 \u3b8 \u3d5 \u3d5= + +
G G G G , pois r r i iX e X r Z= \u22c5 =
GG
, 
X e X\u3b8 \u3b8= \u22c5 =
GG
 i iZ\u3b8 e i iX e X Z\u3d5 \u3d5 \u3d5= \u22c5 =
GG , onde , , e i i i ir Z\u3b8 \u3d5 são os componentes 
cartesianos de re
G , e\u3b8
G , e\u3d5
G e XG , respectivamente. 
 
 Nas Eqs. (7-1) e (7-3) transparece que os componentes físicos de um dado tensor podem 
ser calculados usando seus componentes contravariantes, covariantes ou mistos (esses e os com-
ponentes físicos representam um mesmo objeto geométrico, conforme já afirmamos na Seç. 6c). 
 Calculemos os componentes físicos de um vetor ao longo das curvas coordenadas em ter-
mos de seus componentes contravariantes ou covariantes. Para facilitar a exposição,